Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью
Материал из MachineLearning.
(→Введение) |
(→Изложение метода) |
||
Строка 28: | Строка 28: | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == | ||
+ | |||
+ | Предположим, что для вычисления интеграла {{eqref|1}} отрезок <tex>[a, b]</tex> разбит на <tex>N</tex> равных отрезков длины | ||
+ | <tex>h = \frac{b-a}N</tex> и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл <tex>I</tex> | ||
+ | заменяется некоторой квадратурной суммой <tex>I_h</tex>, причем возникающая погрешность зависит от шага сетки <tex>h</tex>. | ||
+ | Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности <tex>I_h - I</tex> по степеням <tex>h</tex>. Предположим, | ||
+ | что для данной квадратурной суммы <tex>I_h</tex> существует разложение: | ||
+ | |||
+ | {{ eqno | 3}} | ||
+ | :<tex>I_h = I_0 + a_1 h^{\alpha _1} + a_2 h^{\alpha _2} + \ldots + a_m h^{\alpha _m} + O(h^{\alpha _{m+1}})</tex>, | ||
+ | |||
+ | где <tex>0 < \alpha _1 < \alpha _2 < \ldots < \alpha _m < \alpha _{m+1}</tex> и коэффициенты <tex>\{ a_i \} \subset \mathbb{R}</tex> не зависят от <tex>h</tex>. | ||
+ | При этом величины <tex>\{ \alpha _i \} \subset \mathbb{R}</tex> предполагаются известными. | ||
+ | Теперь предположим: | ||
+ | :<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex> | ||
+ | |||
+ | Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим) вычислим величину <tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)</tex>. Имеем: | ||
+ | |||
+ | :<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex> | ||
+ | |||
+ | Отсюда | ||
+ | |||
+ | :<tex>I_1(h) = \frac{r^{\alpha _1}I(\frac{h}r) - I(h)}{r^{\alpha _1} - 1} = I_0 + a_2\,\frac{r^{\alpha _1 - \alpha _2} - 1}{r^{\alpha _1} - 1}\,h^{\alpha _2} + \ldots </tex> | ||
+ | |||
+ | то есть имеем более точное приближение к интегралу <tex>I</tex>. | ||
+ | |||
+ | Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде: | ||
+ | |||
+ | :<tex>I_{i+1}(h) = I_i(\frac{h}r) + \frac{I_i(\frac{h}r) - I_i(h)}{r^{\alpha _1} - 1} </tex> | ||
== Анализ метода == | == Анализ метода == |
Версия 06:16, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадартурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та жа квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причем возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удается получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагамое при является наибольшим) вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде: