Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью
Материал из MachineLearning.
(→Числовой пример) |
(→Заключение) |
||
(10 промежуточных версий не показаны.) | |||
Строка 87: | Строка 87: | ||
<tex>\line(1,0){200}</tex> | <tex>\line(1,0){200}</tex> | ||
- | == | + | === Метод Рунге === |
+ | |||
+ | Пусть существует асимптотическое разложение вида: | ||
+ | |||
+ | <tex>D_N(f) = I_N(f) - I_0 = \alpha _2 h^2 + \alpha _4 h^4 + \alpha _6 h^6 + \ldots</tex>, | ||
+ | |||
+ | где <tex>f(x)</tex> - достаточно гладкая функция, а <tex>hN = b - a</tex>. | ||
+ | |||
+ | Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шагами <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex> соответственно и найдем выражения | ||
+ | <tex>I^{h_1}[f] = I_{N_1}[f]</tex> и <tex>I^{h_2}[f] = I_{N_2}[f]</tex>, <tex>h_1 N_1 = h_2 N_2 = b - a</tex>. Потребуем, | ||
+ | чтобы погрешность для их линейной комбинации: | ||
+ | |||
+ | :<tex>{\tilde D}^{h}(f) = \sigma D^{h_1}(f) + (1 - \sigma)D^{h_2}(f)</tex> | ||
+ | |||
+ | была величиной более высокого порядка по сравнению с <tex>D^{h_1}</tex> и <tex>D^{h_2}</tex>. Если для <tex>D^h = D_N</tex> имеет место формула вида | ||
+ | |||
+ | :<tex> D^{h} = I^{h}[f] - I[f] = \alpha _p h^p + \alpha _q h^q + \ldots,</tex> <tex>q > p</tex>, | ||
+ | |||
+ | то для | ||
+ | |||
+ | :<tex>{\tilde D}^{h} = (\sigma I^{h_1}[f] + (1 - \sigma)I^{h_2}[f]) - I[f]</tex> | ||
+ | |||
+ | получим | ||
+ | |||
+ | :<tex>{\tilde D}^{h}(f) = \alpha _p(\sigma h_1^{p} + (1 - \sigma)h_2^{p}) + \alpha _q (\sigma h_1^{q} + (1 - \sigma)h_2^{q}) + \ldots</tex> | ||
+ | |||
+ | Выберем параметр \sigma из условия <tex>\sigma h_1^{p} + (1 - \sigma)h_2^{p}</tex>: | ||
+ | |||
+ | :<tex>\sigma = \frac{h_2^p}{h_2^p - h_1^p}</tex>. | ||
+ | |||
+ | Имеем | ||
+ | |||
+ | :<tex>{\tilde D}^h(f) = \alpha _q(\sigma h_1^q + (1 - \sigma)h_2^q) + \ldots = O(h^q)</tex>, <tex>h = max(h_1, h_2)</tex>, | ||
+ | |||
+ | причем <tex>\sigma h_1^q + (1 - \sigma)h^q_2 < 0</tex>. Так, если <tex>p = 2, q = 4</tex>, то | ||
+ | <tex>{\tilde D}^{h}(f) = - \alpha _4 h_1^2 h_2^2 + \ldots = O(h^4)</tex>. Таким образом, проведя вычисления на двух сетках | ||
+ | с шагами <tex>h_1</tex> и <tex>h_2 \ne h_1</tex>, мы повысили порядок точности на <tex>2</tex> (на <tex>(q - p)</tex>) для | ||
+ | <tex>{\tilde I} = \sigma I^{h_1} + (1 - \sigma)I^{h_2}</tex>. | ||
+ | |||
+ | === Процесс Эйткена === | ||
+ | |||
+ | Метод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неизвестен порядок главного члена погрешности. Предположим, что для погрешности имеет место представление | ||
+ | |||
+ | :<tex>D^{h}(f) = \alpha _p h^{p} + \alpha _q h^{q} + \ldots</tex>, <tex>q > p</tex>, | ||
+ | |||
+ | так что | ||
+ | |||
+ | :<tex>I^{h}[f] = I[f] + \alpha _p h^p + \alpha _q h^{q} + \ldots</tex> | ||
+ | |||
+ | Проведем вычисления на трех сетках: <tex>h_1 = h</tex>, <tex>h_2 = \rho h</tex>, <tex>h_3 = \rho^{2} h</tex> (<tex>0 < \rho < 1</tex>). Определим <tex>p</tex>. При этом пренебрегаем членом <tex>O(h^q)</tex>. Образуем отношение | ||
+ | |||
+ | :<tex>A = \frac{I^{h_1}[f] - I^{h_2}[f]}{I^{h_2}[f] - I^{h_3}[f]} \approx \frac{h^p_1 - h^p_2}{h^p_2 - h^p_3} = \frac{1 - \rho^p}{\rho^p(1-\rho^p)} = (\frac{1}{\rho})^p</tex> | ||
+ | |||
+ | и найдем | ||
+ | |||
+ | :<tex>p \approx \frac{\ln A}{\ln(\frac{1}{\rho})}</tex>. | ||
+ | |||
+ | Зная приближенное значение <tex>p</tex>, можно методом Рунге повысить порядок точности. Для этого образуем комбинацию | ||
+ | <tex>{\tilde I}^h = \sigma I^{h_1} + (1 - \sigma)I^{h_2}</tex> и выберем <tex>\sigma</tex> так, чтобы <tex> \sigma h_1^p+(1 - \sigma)h_2^p = (\sigma + (1 - \sigma)\rho^p)h^p = 0 </tex>, то есть <tex>\sigma = \frac{\rho^p}{\rho^p - 1} = \frac{1}{1 - A}</tex>. | ||
+ | Тогда для погрешности <tex>{\tilde D}^h = {\tilde I}^h - I</tex> получаем | ||
+ | |||
+ | :<tex> {\tilde D}^h(f) = O(h^q) </tex>. | ||
+ | |||
+ | |||
== Числовой пример == | == Числовой пример == | ||
Строка 95: | Строка 158: | ||
:<tex>\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4</tex> | :<tex>\int^{5}_{1} \ln x\, dx = x \ln x - x |_1^{5} = 5\ln 5 - 4</tex> | ||
- | [[Изображение: | + | [[Изображение:Extrapol.png|thumb|300px]] |
- | В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы: | + | В нижеследующей таблице представлены результаты работы [[Media:Richardson.zip|программы]]: |
- | + | {|class="standard" | |
!r | !r | ||
!Исходная формула | !Исходная формула | ||
- | ! | + | !Экстраполированная формула |
- | ! | + | !Точное значение |
+ | !Погрешность вычислений | ||
+ | !Погрешность формулы | ||
|- | |- | ||
- | + | !2 | |
- | | | + | |3.98277278 |
- | | | + | |4.04665506 |
- | | | + | |4.04718956 |
+ | |0.0005345 | ||
+ | |0.00275556 | ||
|- | |- | ||
- | |4 | + | !4 |
- | | | + | |4.03068449 |
- | | | + | |4.04714980 |
- | | | + | |4.04718956 |
+ | |0.00003976 | ||
+ | |0.00017222 | ||
|- | |- | ||
- | + | !8 | |
- | | | + | |4.04303347 |
- | | | + | |4.04718692 |
- | |4. | + | |4.04718956 |
+ | |0.00000264 | ||
+ | |0.00001076 | ||
|- | |- | ||
- | + | !16 | |
- | | | + | |4.04614856 |
- | | | + | |4.04718939 |
- | |4. | + | |4.04718956 |
+ | |0.00000017 | ||
+ | |0.00000067 | ||
|- | |- | ||
- | + | !32 | |
- | | | + | |4.04692918 |
- | | | + | |4.04718955 |
- | |4. | + | |4.04718956 |
+ | |0.00000001 | ||
+ | |0.00000004 | ||
|- | |- | ||
- | + | !64 | |
- | | | + | |4.04712446 |
- | |4. | + | |4.04718956 |
- | |4. | + | |4.04718956 |
+ | |0 | ||
+ | |0 | ||
|- | |- | ||
- | + | !20384 | |
- | + | |4.04718956 | |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | |4. | + | |
| | | | ||
- | |||
- | |||
- | |||
- | |||
| | | | ||
- | |||
- | |||
- | |||
| | | | ||
| | | | ||
- | |} | + | |} |
- | Здесь <tex>r</tex> - | + | Здесь <tex>r</tex> - коэффициент измельчения шага <tex>h</tex>. Исходная величина шага <tex>h = 2</tex>. |
- | На иллюстрации черная сплошная линия - | + | На иллюстрации черная сплошная линия - исходная формула, красная пунктирная - экстраполированная. |
- | Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна. | + | Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна. Уже при величине шага в <tex>h = \frac{1}{64}</tex> мы можем найти значение интеграла с точностью <tex>10^{-8}</tex>, тогда как в исходной формуле нам для достижения такой точности пришлось бы задать величину шага <tex>h = \frac{1}{10192}</tex>. |
== Рекомендации программисту == | == Рекомендации программисту == | ||
+ | |||
+ | Программируя экстраполяцию Ричардсона следует предпочесть итерацию рекурсии. | ||
+ | Также реализуя многократное экстраполирование итеративно, нам не нужно хранить всю таблицу значений - достаточно иметь в распоряжении два последних столбца. | ||
== Заключение == | == Заключение == | ||
- | + | Мы получили более точные результаты при меньшем количестве вычислений функции, чем в исходном методе. Избавившись от степени, составляющей ошибку, мы пришли к результату, который в противном случае был бы недостижим без значительного уменьшения размера шага. Таким образом, мы преобразовали весьма посредственный алгоритм вычисления интеграла в довольно эффективный. | |
- | + | == Список литературы == | |
+ | * ''А.А.Самарский, А.В.Гулин.'' Численные методы М.: Наука, 1989. | ||
+ | * ''А.А.Самарский.'' Введение в численные методы М.: Наука, 1982. | ||
+ | * [http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Mathematics/18-304Spring-2006/D69D4111-2100-443D-A75D-5D5BE7B4FAA2/0/xtrpltn_liu_xpnd.pdf Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications], mit.edu | ||
+ | == См. также == | ||
+ | * [[Методы прямоугольников и трапеций]] | ||
+ | * [[Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)]] | ||
[[Категория:Численное интегрирование]] | [[Категория:Численное интегрирование]] | ||
[[Категория:Учебные задачи]] | [[Категория:Учебные задачи]] |
Текущая версия
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Общие сведения
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причём возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удаётся получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагаемое при является наибольшим), вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:
Заметим, что - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении . Разумно положить , т.к. большие значения могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.
Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей:
Метод Рунге
Пусть существует асимптотическое разложение вида:
,
где - достаточно гладкая функция, а .
Проведем расчеты на двух равномерных сетках с шагами и соответственно и найдем выражения и , . Потребуем, чтобы погрешность для их линейной комбинации:
была величиной более высокого порядка по сравнению с и . Если для имеет место формула вида
- ,
то для
получим
Выберем параметр \sigma из условия :
- .
Имеем
- , ,
причем . Так, если , то . Таким образом, проведя вычисления на двух сетках с шагами и , мы повысили порядок точности на (на ) для .
Процесс Эйткена
Метод расчета на нескольких сетках применяется для повышения порядка точности даже в том случае, когда неизвестен порядок главного члена погрешности. Предположим, что для погрешности имеет место представление
- , ,
так что
Проведем вычисления на трех сетках: , , (). Определим . При этом пренебрегаем членом . Образуем отношение
и найдем
- .
Зная приближенное значение , можно методом Рунге повысить порядок точности. Для этого образуем комбинацию и выберем так, чтобы , то есть . Тогда для погрешности получаем
- .
Числовой пример
Найдем с помощью квадратурной формулы трапеций приближенное значение интеграла, применив экстраполяцию Ричардсона (данный метод называется методом Ромберга):
В нижеследующей таблице представлены результаты работы программы:
r | Исходная формула | Экстраполированная формула | Точное значение | Погрешность вычислений | Погрешность формулы |
---|---|---|---|---|---|
2 | 3.98277278 | 4.04665506 | 4.04718956 | 0.0005345 | 0.00275556 |
4 | 4.03068449 | 4.04714980 | 4.04718956 | 0.00003976 | 0.00017222 |
8 | 4.04303347 | 4.04718692 | 4.04718956 | 0.00000264 | 0.00001076 |
16 | 4.04614856 | 4.04718939 | 4.04718956 | 0.00000017 | 0.00000067 |
32 | 4.04692918 | 4.04718955 | 4.04718956 | 0.00000001 | 0.00000004 |
64 | 4.04712446 | 4.04718956 | 4.04718956 | 0 | 0 |
20384 | 4.04718956 |
Здесь - коэффициент измельчения шага . Исходная величина шага .
На иллюстрации черная сплошная линия - исходная формула, красная пунктирная - экстраполированная.
Как мы видим, разница между экстраполированными и неэкстраполированными результатами значительна. Уже при величине шага в мы можем найти значение интеграла с точностью , тогда как в исходной формуле нам для достижения такой точности пришлось бы задать величину шага .
Рекомендации программисту
Программируя экстраполяцию Ричардсона следует предпочесть итерацию рекурсии. Также реализуя многократное экстраполирование итеративно, нам не нужно хранить всю таблицу значений - достаточно иметь в распоряжении два последних столбца.
Заключение
Мы получили более точные результаты при меньшем количестве вычислений функции, чем в исходном методе. Избавившись от степени, составляющей ошибку, мы пришли к результату, который в противном случае был бы недостижим без значительного уменьшения размера шага. Таким образом, мы преобразовали весьма посредственный алгоритм вычисления интеграла в довольно эффективный.
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.
- Fundamental Methods of Numerical Extrapolation With Applications, mit.edu