Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2016, ФУПМ/1
Материал из MachineLearning.
м (Новая: Ниже под обозначением <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot F_1+ \left(1-p\right)\cdot F_2</tex> понимается выборка объёма <tex>n</tex> из смеси ...) |
м |
||
Строка 12: | Строка 12: | ||
::Гилязев: <tex>F = U[-a,a]</tex>— непрерывное равномерное распределение; <tex>a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и Шапиро-Уилка. | ::Гилязев: <tex>F = U[-a,a]</tex>— непрерывное равномерное распределение; <tex>a=0.1\,:\,0.05\,:\,5, \;\; n=50, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и Шапиро-Уилка. | ||
::Гончаров: <tex>F = St(2)</tex> — распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; <tex>n=10\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона. | ::Гончаров: <tex>F = St(2)</tex> — распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; <tex>n=10\,:\,1\,:\,100, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона. | ||
+ | ::Скорняков: <tex>F = L\left(0,1\right)</tex> — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига <tex>0</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; <tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=10\,:\,1\,:\,100.</tex> Сравнить критерии Шапиро-Уилка и Андерсона-Дарлинга. | ||
* <tex>X^n, \;\; X\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=p_0,</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq p_0;</tex><br> <tex>p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,100.</tex> | * <tex>X^n, \;\; X\sim Ber(p); </tex><br> <tex>H_0\,:\, p=p_0,</tex><br> <tex>H_1\,:\, p\neq p_0;</tex><br> <tex>p=0\,:\,0.01\,:\,0.5, \;\; n=5\,:\,1\,:\,100.</tex> | ||
Строка 17: | Строка 18: | ||
::Дойничко: <tex>p_0=0.25</tex>; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий. | ::Дойничко: <tex>p_0=0.25</tex>; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий. | ||
::Досаев:<tex>p_0=0.1</tex>; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий. | ::Досаев:<tex>p_0=0.1</tex>; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий. | ||
+ | ::Черных:<tex>p_0=0.25</tex>; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и критерий, получаемый инверсией доверительного интервала Уилсона. | ||
* <tex>X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2.</tex> | * <tex>X^n, \;\; X\sim N(\mu,\sigma); </tex><br> <tex>H_0\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> равно нулю,<br> <tex>H_1\,:</tex> среднее значение <tex>X</tex> не равно нулю;<br> <tex>\mu=0\,:\,0.01\,:\,2.</tex> | ||
Строка 27: | Строка 29: | ||
::Исаченко: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,100,</tex> сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий. | ::Исаченко: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,100,</tex> сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий. | ||
::Керимов: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30,</tex> сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона. | ::Керимов: <tex>\mu_2=0\,:\,0.01\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=30,</tex> сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона. | ||
- | + | ::Крошнин: <tex>\mu_2=0.5, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,100,</tex> сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий. | |
- | + | ::Мусинов: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 0.5\,:\,0.02\,:\,2, \;\; n_2=20,</tex> сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики. | |
::Назаров: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики. | ::Назаров: <tex>\mu_2=0\,:\,0.02\,:\,2, \;\; \sigma_2 = 1, \;\; n_2=5\,:\,1\,:\,40,</tex> сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики. | ||
Строка 46: | Строка 48: | ||
::Родионов: <tex>F = L\left(\mu,\frac1{\sqrt{2}}\right)</tex> — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>\frac1{\sqrt{2}}; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> | ::Родионов: <tex>F = L\left(\mu,\frac1{\sqrt{2}}\right)</tex> — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига <tex>\mu</tex> и коэффициентом масштаба <tex>\frac1{\sqrt{2}}; \;\; \sigma=1, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> | ||
::Силин: <tex>F = \mu + St(3)</tex> — сдвинутое на <tex>\mu</tex> распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> | ::Силин: <tex>F = \mu + St(3)</tex> — сдвинутое на <tex>\mu</tex> распределение Стьюдента с тремя степенями свободы; <tex>\sigma = \sqrt{3}, \;\; p=0\,:\,0.01\,:\,1.</tex> | ||
- | + | ::Аленькин: <tex>F = U\left[-a+\mu, a+\mu\right]</tex> — непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma=1, \;\; p=0.7, \;\; a=0.1\,:\,0.05\,:\,5.</tex> | |
* Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;</tex> <br><tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.</tex> <br> | * Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности. <br> <tex>X^n, \;\; X \sim p\cdot N(0,\sigma^2)+ \left(1-p\right)\cdot F; </tex> <br> <tex>H_0\,:\; \mathbb{D}X=\sigma_0^2</tex> <br> <tex>H_1\,:\; \mathbb{D}X\neq\sigma_0^2;</tex> <br><tex>p=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n=50.</tex> <br> | ||
Строка 57: | Строка 59: | ||
::Шишковец: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right]</tex> — непрерывные равномерные распределения; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex> | ::Шишковец: <tex>F_1 = U\left[-\sqrt{3}, \sqrt{3}\right], \;\; F_2 = U\left[-\sigma_2\sqrt{3}, \sigma_2\sqrt{3}\right]</tex> — непрерывные равномерные распределения; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1= 1 - p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex> | ||
::Королёв: <tex>F_1 = St(3)</tex> — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.</tex> | ::Королёв: <tex>F_1 = St(3)</tex> — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы; <tex>\sigma_1^2=3, \;\; \sigma_2^2=1.5\,:\,0.05\,:\,6, \;\; p_1=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; p_2 = 1, \;\; n_1=n_2=30.</tex> | ||
- | + | ::Ефимов: <tex>F_1 = F_2 = U\left[-3, 3\right]</tex> — непрерывное равномерное распределение; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.5\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2 = 0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=50.</tex> | |
::Мищенко: <tex>F = L\left(0,1\right)</tex> — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига <tex>0</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=30.</tex> | ::Мищенко: <tex>F = L\left(0,1\right)</tex> — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига <tex>0</tex> и коэффициентом масштаба <tex>1; <tex>\sigma_1=1, \;\; \sigma_2=0.2\,:\,0.01\,:\,2, \;\; p_1=p_2=0\,:\,0.01\,:\,1, \;\; n_1=n_2=30.</tex> | ||
Версия 07:23, 15 марта 2016
Ниже под обозначением понимается выборка объёма из смеси распределений и с весами и соответственно (при генерации каждой выборки используется случайный датчик — если его значение не превосходит , то добавляем в выборку элемент, взятый из , иначе — элемент, взятый из ).
Анализ поведения схожих критериев
Требуется исследовать поведение указанной пары статистических критериев, подходящих для решения одной и той же задачи, сравнить мощность и достигаемые уровни значимости и сделать выводы о границах применимости критериев. Необходимо для каждого из критериев построить графики зависимости достигаемых уровней значимости и оценок мощностей от параметров, и показать, в каких областях изменения параметров предпочтительнее использовать тот или иной критерий. Для получения более гладких графиков рекомендуется применять оба критерия к одним и тем же выборкам, а не генерировать их отдельно для каждого.
-
неверна.
- Бетлей: — непрерывные равномерные распределения; Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
- Биктайров: Сравнить критерии Смирнова и Крамера-фон Мизеса.
-
неверна.
- Бочкарев: — стандартное распределение Коши; Сравнить критерии Шапиро-Уилка и хи-квадрат Пирсона.
- Гилязев: — непрерывное равномерное распределение; Сравнить критерии Харке-Бера и Шапиро-Уилка.
- Гончаров: — распределение Стьюдента с двумя степенями свободы; Сравнить критерии Харке-Бера и хи-квадрат Пирсона.
- Скорняков: — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига и коэффициентом масштаба Сравнить критерии Шапиро-Уилка и Андерсона-Дарлинга.
- Двинских: ; сравнить z-критерии в версиях Вальда и множителей Лагранжа.
- Дойничко: ; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и точный критерий.
- Досаев:; сравнить z-критерий в версии Вальда и точный критерий.
- Черных:; сравнить z-критерий в версии множителей Лагранжа и критерий, получаемый инверсией доверительного интервала Уилсона.
-
среднее значение равно нулю,
среднее значение не равно нулю;
- Емельянов: сравнить критерии знаков и знаковых рангов.
- Жариков: сравнить критерий знаковых рангов и одновыборочный t-критерий.
- Задаянчук: сравнить одновыборочные t- и z-критерии.
- Златов: сравнить одновыборочные t- и перестановочный критерии.
-
средние равны,
средние не равны;
- Исаченко: сравнить версии t-критерия для равных и неравных дисперсий.
- Керимов: сравнить t-критерий для неравных дисперсий и критерий Манна-Уитни-Уилкоксона.
- Крошнин: сравнить t- и z-критерии для неравных дисперсий.
- Мусинов: сравнить критерий Манна-Уитни-Уилкоксона и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
- Назаров: сравнить t-критерий для неизвестных равных дисперсий и перестановочный критерий с разностью средних в качестве статистики.
- Нейчев: сравнить критерии Фишера и Ансари-Брэдли.
- Нурдинов: сравнить критерии Ансари-Брэдли и Зигеля-Тьюки.
Анализ устойчивости критериев к нарушению предположений
Требуется исследовать поведение указанного критерия в условиях нарушения лежащих в его основе предположений. Оценить мощность и достигаемый уровень значимости критерия при различных значениях параметров, сделать выводы об устойчивости.
- Двухвыборочный t-критерий для равных дисперсий, нарушение предположения о равенстве дисперсий.
- Переберина:
- Подкопаев:
- Одновыборочный t-критерий, нарушение предположения о нормальности.
- Решетова: — непрерывное равномерное распределение;
- Родионов: — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига и коэффициентом масштаба
- Силин: — сдвинутое на распределение Стьюдента с тремя степенями свободы;
- Аленькин: — непрерывное равномерное распределение;
- Одновыборочный критерий хи-квадрат для гипотезы о дисперсии, нарушение предположения о нормальности.
- Соломатин: — распределение Стьюдента с тремя степенями свободы;
- Стогний: — непрерывное равномерное распределение;
- Чащин: — сдвинутое на 2 распределение хи-квадрат с 2 степенями свободы;
- Критерий Фишера для проверки равенства дисперсий, нарушение предположения о нормальности.
- Шайдуллин: — непрерывное равномерное распределение;
- Шишковец: — непрерывные равномерные распределения;
- Королёв: — распределение Стьюдента с тремя степенью свободы;
- Ефимов: — непрерывное равномерное распределение;
- Мищенко: — распределение Лапласа с коэффициентом сдвига и коэффициентом масштаба
- Критерий знаковых рангов Уилкоксона, нарушение предположения о симметричности распределения относительно медианы.
- Новиков: где — стандартное логнормальное распределение;
- Смирнов: где — распределение хи-квадрат с 4 степенями свободы;
Ссылки
- psad.homework@gmail.com
- Практические задания для студентов ФУПМ МФТИ
- Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)