Международный стандарт представления чисел с плавающей точкой в ЭВМ
Материал из MachineLearning.
(→Введение) |
(→Числа с плавающей точкой) |
||
Строка 40: | Строка 40: | ||
Использование нормализованных форм решает проблему неединственности представления чисел с плавающей точкой. | Использование нормализованных форм решает проблему неединственности представления чисел с плавающей точкой. | ||
(Однако, при такой договорённости возникает интересный вопрос — как представлять 0?) | (Однако, при такой договорённости возникает интересный вопрос — как представлять 0?) | ||
+ | |||
+ | ===Машинный эпсилон=== | ||
+ | Как известно, существует 2 вида погрешностей вычисления — абсолютная и относительная ([[Ошибки вычислений]]). | ||
+ | Под относительной погреностью понимается отношение | ||
+ | |||
+ | ::<tex>\delta(\tilde a)=\frac{|\tilde a-a|}{a},</tex> | ||
+ | |||
+ | где <tex>\tilde a</tex> – значение, полученное при округлении, а <tex>a</tex> - точное значение вычислений. | ||
+ | |||
+ | Представим, что результатом округления действительного числа стало число | ||
+ | <tex>$d.dd\dots d\times\beta^e$</tex>. | ||
+ | Худшему случаю округления соответствует абсолютная погрещность, равная | ||
+ | <tex>$0.00 \dots 0\beta'\times\beta^e$</tex>, где <tex>\beta'=\beta/2</tex>. В мантиссе результата округления <tex>p</tex> позиций , в мантиссе абсолютной погрешности <tex>p+1</tex> позиция. | ||
== Стандарт IEEE == | == Стандарт IEEE == |
Версия 08:57, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Практически любой язык программирования даёт возможность использовать в вычислениях дробные числа. Когда дело касается программной реализации численных методов или любых других вычислений на ЭВМ, важным вопросом является внутреннее представление чисел, с которым приходится работать программисту. От этого главным образом зависит точность вычислений,а также их скорость.
В этом отчёте будут рассматриваться те аспекты представления чисел в ЭВМ, которые важны пользователям, желающим активно работать с дробными величинами. Вначале будут введены общепринятые понятия для дальнейшего изложения материала. Будет достаточно подробно рассмотрен наиболее часто используемый стандарт IEEE 754. В заключение будут приведены способы доступа к основным параметрам представления дробных чисел в ряде языков программирования (C,C++,Fortran,Pascal).
Числа с плавающей точкой
Числа с плавающей точкой - общепринятая форма представления дробных чисел в ЭВМ. Основными параметрами такой формы представления является основание степени (base) и точность (precision). При этом всегда требуется, чтобы основание степени было целым чётным числом. Если и , то число 0.1 представляется в виде . Однако, очевидно, что при определённых параметрах некоторые числа не удастся представить точно. Например, при и то же самое число 0.1 представляется приблизительно в виде (поскольку в бинарном представлении число 0.1 имеет бесконечный вид).
В общем случае при заданных параметрах запись вида представляет число
При этом называется мантиссой числа и состоит из позиций. В дальнейшем под числом с плавающей точкой мы будем понимать дробные числа точно представимые в смысле данной формы.
Существуют ещё два важных параметра — максимальный и минимальный показатели степени и . Таким образом, при фиксированных параметрах мы можем представить разных чисел с учётом знака.
Здесь возникает проблема - что делать с числами, не представимыми точно. Чаще всего такая ситуация возникает при попытке представить числа, имеющие слишком длинное или вообще бесконечное представление (пример с 0.1). В этом случае нужное нам число лежит где-то между двумя числами с плавающей точкой и будет представляться одним из них. Реже встречается попытка использовать числа, меньшие чем , или большие чем . Подробнее об этих случаях речь пойдёт в разделе "Стандарт IEEE".
Введём ещё одну договорённость. Пока что представление чисел с плавающей точкой неуникально. Например, при и число 0.1 можно представить как и как . Представление числа, в старшей позиции которого стоит цифра, отличная от нуля , мы будем называть нормализованным. Использование нормализованных форм решает проблему неединственности представления чисел с плавающей точкой. (Однако, при такой договорённости возникает интересный вопрос — как представлять 0?)
Машинный эпсилон
Как известно, существует 2 вида погрешностей вычисления — абсолютная и относительная (Ошибки вычислений). Под относительной погреностью понимается отношение
где – значение, полученное при округлении, а - точное значение вычислений.
Представим, что результатом округления действительного числа стало число . Худшему случаю округления соответствует абсолютная погрещность, равная , где . В мантиссе результата округления позиций , в мантиссе абсолютной погрешности позиция.
Стандарт IEEE
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- David Goldberg. What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. ACM Computing Surveys, Vol. 23, No. 1 (March 1991), pages 5--48.