Байесовские методы машинного обучения (курс лекций, Д.П. Ветров, Д.А. Кропотов)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Убран флаг "Under construction")
(Новая версия презентации к лекции 2)
Строка 25: Строка 25:
''Ликбез'': псевдообращение матриц и нормальное псевдорешение.
''Ликбез'': псевдообращение матриц и нормальное псевдорешение.
-
[[Медиа:BayesML-2009-2.pdf| Презентация (PDF, 579 КБ)]]
+
[[Медиа:BayesML-2009-2a.pdf| Презентация (PDF, 598 КБ)]]
=== Задача выбора модели на примере выбора коэффициента регуляризации, ядровой функции, настройки структурных параметров алгоритма обучения. Основные методы выбора модели. ===
=== Задача выбора модели на примере выбора коэффициента регуляризации, ядровой функции, настройки структурных параметров алгоритма обучения. Основные методы выбора модели. ===

Версия 14:18, 17 сентября 2009


Курс посвящен т.н. байесовским методам машинного обучения (классификации, прогнозирования, восстановления регрессии), которые в настоящее время активно развиваются в мире. Байесовский подход к теории вероятностей является альтернативой классическому частотному подходу. Здесь вероятность интерпретируется как мера незнания, а не как объективная случайность. Простые правила оперирования с вероятностью, такие как формула полной вероятности и формула Байеса, позволяют проводить рассуждения в условиях неопределенности. В этом смысле байесовский подход к теории вероятностей можно рассматривать как обобщение классической булевой логики.

Цели курса:

  • Ознакомление с классическими методами обработки данных, особенностями их применения на практике и их недостатками
  • Представление современных проблем теории машинного обучения
  • Введение в байесовские методы машинного обучения
  • Изложение последних достижений в области практического использования байесовских методов
  • Напоминание основных результатов из смежных дисциплин (теория кодирования, анализ, матричные вычисления, статистика, линейная алгебра, теория вероятностей, случайные процессы)

Курс читается студентам ВМиК МГУ, начиная с 2007 года. Курс не требует от студентов дополнительной математической подготовки, выходящей за пределы первых двух курсов университетского образования, все необходимые понятия вводятся в ходе лекций. В ходе чтения курса студенты будут ознакомлены с передним краем научных исследований в теории машинного обучения и существующими проблемами.

Программа курса

Различные постановки задачи машинного обучения

Обзор задач анализа данных: классификация, регрессия, кластеризация, идентификация, прогнозирование. Примеры. Историческая справка. Основные проблемы теории распознавания образов: переобучение, противоречивость информации, малый объем выборки. Иллюстративные примеры переобучения, связь переобучения и объема выборки.

Ликбез: основные понятия теории вероятностей (математическое ожидание, дисперсия, ковариационная матрица, плотность вероятности, функция правдоподобия)

Презентация (PDF, 555 КБ)

Методы линейной и логистической регрессии и обобщенные линейные модели. Регуляризация обучения.

Метод максимального правдоподобия. Формальные обозначения, генеральная совокупность, критерии качества обучения как точности на генеральной совокупности. Вывод выражения для идеальных решающих правил. Способы введения функции правдоподобия для задачи регрессии и классификации. Выражение для коэффициентов линейной регрессии, хэт-матрица. Метод наименьших квадратов с итеративно-перевзвешивающимися весами. Необходимость ридж-оценивания для избежания вырожденности гессиана.

Ликбез: псевдообращение матриц и нормальное псевдорешение.

Презентация (PDF, 598 КБ)

Задача выбора модели на примере выбора коэффициента регуляризации, ядровой функции, настройки структурных параметров алгоритма обучения. Основные методы выбора модели.

Общая постановка проблемы выбора модели, ее философский характер. Конкретные примеры структурных параметров. Кросс-валидация. Теория Вапника-Червоненкиса, емкость алгоритмов обучения. Принцип минимальной длины описания, его эквивалентность максимуму регуляризованного правдоподобия. Информационные критерии Акаике и Байеса-Шварца, область их применения.

Ликбез: теорема Шеннона и оптимальная длина описания.

Байесовский подход к теории вероятностей. Примеры байесовских рассуждений.

Частотный и вероятностный подходы к теории вероятностей. Интерпретация вероятности как меры нашего незнания, сравнение байесовских рассуждений с логическими. Байесовские сети и основные задачи в них. Пример жизненной ситуации «Джон и колокольчик для воров». Вывод формул для апостериорных вероятностей.

Ликбез: условная вероятность, формула Байеса и ее применение, формула полной вероятности.

Решение задачи выбора модели по Байесу. Обоснованность модели. Полный байесовский вывод.

Вывод формул для принятия решения. Принцип наибольшей обоснованности как метод максимального правдоподобия для моделей. Половинчатость данного подхода, полный вывод по Байесу. Интерпретация понятия обоснованности, ее геометрический смысл, бессмысленность сколь-угодно гибкого решающего правила, иллюстративные примеры, связь с принципом Оккама.

Ликбез: принцип Оккама, ad hoc гипотезы.

Применение принципа наибольшей обоснованности на примере метода релевантных векторов

Метод релевантных векторов, вывод формул для регрессии. Приближение Лапласа для оценки обоснованности в случае задачи классификации, его достоинства и недостатки. Свойства решающего правила RVM.

Ликбез: матричные тождества обращения, тождество Вудбери.

Недиагональная регуляризация обобщенных линейных моделей. Гауссовское и Лапласовское априорные распределения.

Свойства гауссовского и лапласовского регуляризаторов, трудности использования последнего в методе релевантных векторов. Метод релевантных собственных векторов, идея диагонализации правдоподобия. Вывод формул для оценки обоснованности.

Ликбез: Неотрицательно определенные матрицы. Лапласовское распределение.

Общее решение для недиагональной квадратичной регуляризации

Получение выражения для обоснованности в явном виде в семействе произвольных симметричных неотрицательно определенных матриц регуляризации. Условие релевантности.

Ликбез: Дифференцирование по матрице и по вектору.

ЕМ-алгоритм, его теоретические свойства. Примеры применений ЕМ-алгоритма для разделения гауссовской смеси и в методе главных компонент.

Оптимизация неполного правдоподобия. Доказательство сходимости ЕМ-алгоритма. Задача разделения смесей и ее решение с помощью ЕМ-алгоритма. Метод главных компонент, вероятностная постановка задачи минимизации признакового пространства и ее решение с помощью ЕМ-алгоритма.

Ликбез: дивергенция Кульбака-Лейблера, смесь распределений

Приближенные способы вывода. Вариационный подход. Expectation Propagation.

Приближенные методы байесовского вывода. Минимизация Кульбака-Лейблера и факторизованное приближение. Идея вариационного подхода, вывод формул для линейной регрессии. Идея Expectation propagation, вывод формул для пуассоновской фильтрации.

Ликбез: свойства дивергенции Кульбака-Лейблера, гамма-распределение.

Приближенные способы вывода. Методы Монте-Карло с марковскими цепями. Гауссовские процессы в машинном обучении.

Взятие интегралов методами Монте-Карло, голосование по апостериорному распределению вместо точечной оценки. Схема Гиббса. Гибридные методы Монте-Карло. Гауссовские процессы в задачах регрессии и классификации. Выбор наиболее адекватной ковариационной функции.

Ликбез: случайные процессы.

Непрерывное обобщение информационного критерия Акаике и его применение в задаче отбора признаков для линейной регрессии.

Классический критерий Акаике и трудности его использования на практике. Обобщение критерия Акаике на непрерывный случай. Алгоритм автоматического определения значимости на основе непрерывного критерия Акаике.

Ликбез: свойства оценок максимального правдоподобия, информационная матрица Фишера, формула блочного обращения.


Расписание занятий

В 2009 году курс читается по четвергам на факультете ВМиК МГУ, в ауд. 671, начало в 16-20.

ДатаЗанятие
10 сентября 2009Лекция 1 «Различные постановки задачи машинного обучения»
17 сентября 2009Лекция 2 «Вероятностная постановка задачи распознавания образов. Обобщенные линейные модели»
1 октября 2009Лекция 3 «Задачи выбора модели»
8 октября 2009Лекция 4 «Байесовский подход к теории вероятностей. Примеры байесовских рассуждений.»
22 октября 2009Лекция 5 «Решение задачи выбора модели по Байесу. Обоснованность модели.»
29 октября 2009Лекция 6 «Метод релевантных векторов»
5 ноября 2009Лекция 7 «Недиагональная регуляризация обобщенных линейных моделей»
12 ноября 2009Лекция 8 «Общее решение для недиагональной регуляризации»
19 ноября 2009Лекция 9 «ЕМ-алгоритм»
26 ноября 2009Лекция 10 «Приближенные способы вывода. Вариационный подход. Expectation Propagation.»
3 декабря 2009Лекция 11 «Приближенные способы вывода. Методы Монте-Карло с марковскими цепями. Гауссовские процессы в машинном обучении.»
10 декабря 2009Лекция 12 «Непрерывное обобщение информационного критерия Акаике»
17 декабря 2009Экзамен

Литература

  1. Ветров Д.П., Кропотов Д.А. Байесовские методы машинного обучения, учебное пособие по спецкурсу, 2007 (Часть 1, PDF 1.22МБ; Часть 2, PDF 1.58МБ)
  2. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, 2006.
  3. Mackay D.J.C. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms. Cambridge University Press, 2003.
  4. Tipping M. Sparse Bayesian Learning. Journal of Machine Learning Research, 1, 2001, pp. 211-244.
  5. Шумский С.А. Байесова регуляризация обучения. В сб. Лекции по нейроинформатике, часть 2, 2002.
  6. Ветров Д.П., Кропотов Д.А. Алгоритмы выбора моделей и синтеза коллективных решений в задачах классификации, основанные на принципе устойчивости. — М.: УРСС, 2006.
  7. Kropotov D., Vetrov D. On One Method of Non-Diagonal Regularization in Sparse Bayesian Learning. Proc. of 24th International Conference on Machine Learning (ICML'2007).
  8. Kropotov D., Vetrov D. On Equivalence of Information-Based and Bayesian Approaches to Model Selection for Linear Regression Problems. Proc. of 9th International Conference "Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies" (PRIA-9-2008).

См. также

Курс «Структурные методы анализа изображений и сигналов»

Математические методы прогнозирования (кафедра ВМиК МГУ)

Личные инструменты