Группировка категорий и сегментация признаков в логистической регрессии (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 12:09, 28 октября 2010

Группировка категорий и сегментация признаков — методы, позволяющие упростить и одновременно улучшить регрессионную модель. В частности, группировка категорий позволяет понять взаимосвязь значений признаков и использовать линейные модели для нелинейных зависимостей.

Постановка задачи

Дана задача кредитного скоринга. Регрессионная модель - логистическая регрессия. Требуется найти множество активных признаков. Затем сегментировать линейные признаки, сгруппировать номинальные и ординарные. При этом надо применить как новые алгоритмы, так и классические. Сравнить оба подхода, вычислить статистическую значимость производных признаков.

Описание данных

Используются реальные данные (GERMAN_UIC) о выдаче или не выдаче банком кредитов. Всего приведены 24 признака для 1000 человек и информация о том, выдан ли впоследствии кредит. Формально данные можно представить следующим образом:

Набор данных: $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n},\ y\in\mathbb{R}$

$\mathbf{D} = \{(\mathbf{x}^{1},y^{1}),\ldots,(\mathbf{x}^{i},y^{i}),\ldots,(\mathbf{x}^{m},y^{m})\}$

Целевая переменная: $\mathbf{y} = (y^{1},\ldots,y^{m})^{T}$

Модель: $P(y^{i}|\mathbf{x}^i) = (\sigma(\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle))^{y^{i}}(1 - \sigma(\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle))^{1 - y^{i}}\$ где $\sigma(\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle) = \frac{1}{1 + \exp(-\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle)}$

Индексы: $\{1,\ldots,m\} = \mathbf{L}\cup\mathbf{T}$ - разбиение на обучающую и контрольную выборки. $\{1,\ldots,n\} = \mathbf{F}$ - индексы признаков.

Описание алгоритмов

Поиск активных признаков

Сначала находится множество активных признаков. Для этого решается задача максимизации правдоподобия, или эквивалентно - минимизация его логарифма, взятого с противополжным знаком

$-\ln(P(\mathbf{y}|\mathbf{x})) = - \sum_{i\subseteq\mathbf{L}}(y^{i}\ln(\sigma(\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle)) + (1 - y^{i})\ln(1 - \sigma(\langle\mathbf{w},\mathbf{x}^{i}\rangle))) = S_{\mathbf{L},\mathbf{A}}(\mathbf{w})$

Здесь под строкой $\mathbf{x}^{i}$ подразумевается строка из условия, но с удаленными координатами, номера которых не входят во множество индексов $A$ . Вектор $\mathbf{w}$ соответствующей длины. Множество активных признаков - $\mathbf{A}\subseteq\mathbf{F}$ . Тогда задача нахождения множества активных признаков и соответствующего им вектора весов записывается в виде

$\mathbf{w}_{\mathbf{A}} = \underset{\mathbf{w}}{\operatorname{argmin}}(S_{\mathbf{L},\mathbf{A}}(\mathbf{w}))$

$\mathbf{A} = \underset{\mathbf{A}^{*}\in2^{\mathbf{F}}}{\operatorname{argmin}}(S_{\mathbf{T},\mathbf{A}^{*}}(\mathbf{w}__{\mathbf{A}^{*}}))$

Для решения задачи поиска множества активных признаков предлагается следующий подход. Все линейные признаки заведомо считаются активными. В данном случае их всего 3, и впоследствии они будут сегментированы. Далее используется простой жадный алгоритм, удаляющий на каждом шаге признак, без которого значение правдоподобия наиболее оптимально. В логистической регрессии добавляется постоянный признак, а вектор весов находится с помощью алгоритма Ньютона - Рафсона. В данном эксперименте считается, что удаленными должны быть около половины всех признаков.

Сегментация линейных признаков

Пусть значения линейного признака $\mathbf{x}_{i}$ характеризуются числами из отрезка $[a_{i},b_{i}]$ . Вводится разбиение отрезка $[a_{i},b_{i}]$ , на $k$ отрезков одинаковой длины $a_{i} = x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n_{k}} = b_{i}$ . Строится кусочно - линейная функция $f(x) = a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|$ . Значения признака - значение функции в соответствующей точке отрезка $[a_{i},b_{i}]$ . Коэффициенты $f(x)$ подобираются так, чтобы $f(x_{2m - 1}) = 0,\ f(x_{2m}) = 1$ где $m\in\mathbb N$ . На каждом шаге алгоритма случайным образом изменяется значение $x_{i}$ , но так, чтобы не изменить порядок чисел разбиения. Коэффициенты $f(x)$ изменяются соответсвующим образом. Если для новой функции $f(x)$ значение $S_{\mathbf{L},\mathbf{A}}(\mathbf{w})$ уменьшается, то сохраняется изменение $x_{i}$ . Алгоритм заканчивает работу по достижении первого минимума.

Группировка категорий

Пусть номинальный признак $\mathbf{x}_{i}$ характеризуются числами из множества категорий $\tex\{1,\ldots,c\}$ . Ему в соответствие ставится множество $\Gamma$ такое, что $1 \le |\Gamma| \le c$ . Требуется найти такую сюръективную функцию $h_{\Gamma}:\{1,\ldots,c\}\to\Gamma$ и соответствующее ей множество $\Gamma = \{1,\ldots,c^{*}\}$ , которая минимизирует функцию $S_{\mathbf{T},\mathbf{A}$ при замене для $\mathbf{x}_{i}$ : $\tex\{1,\ldots,c\}$ на $\tex\{h_{\Gamma}(1),\ldots,h_{\Gamma}(c)\}$ . В данном случае признаков и категорий достаточно мало, поэтому эффективен полный перебор.

Вычислительный эксперимент

Выполнение алгоритма

Визуализация результатов

Результат выполнения алгоритма поиска множества активных признаков. Линейные признаки для удобства перенесены в начало.

Активные признаки.
1,2,3,4,5,6,9,10,16,20

Исследование свойств алгоритма

Исходный код

Смотри также

Литература

Siddiqi N. Credit Risk Scorecards: Developing and Implementing Intelligent Credit Scoring. John Wiley & Sons, Inc. 2006
Bishop C. Pattern Recognition And Machine Learning. Springer. 2006.

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Никита Животовский

Преподаватель: Участник:В.В. Стрижов

Срок: ?

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0_%D0%BA%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%B8_%D1%81%D0%B5%D0%B3%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B2_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»

Категории: Непроверенные учебные задания | Учебные материалы

@@ Строка 19: / Строка 19: @@
 <tex>\{1,\ldots,n\} = \mathbf{F}</tex> - индексы признаков.
 == Описание алгоритмов ==
+=== Поиск активных признаков ===
 Сначала находится множество активных признаков. Для этого решается задача максимизации правдоподобия, или эквивалентно - минимизация его логарифма, взятого с противополжным знаком
@@ Строка 29: / Строка 30: @@
 <tex>\mathbf{A} = \underset{\mathbf{A}^{*}\in2^{\mathbf{F}}}{\operatorname{argmin}}(S_{\mathbf{T},\mathbf{A}^{*}}(\mathbf{w}__{\mathbf{A}^{*}}))</tex>
-Для решения задачи поиска множества активных признаков предлагается следующий подход. Все линейные признаки заведомо считаются активными. В данном случае их всего 3, и впоследствии они будут сегментированы. Далее используется простой жадный алгоритм, удаляющий на каждом шаге признак, без которого значение правдоподобия наиболее оптимально. В данном эксперименте считается, что удалить надо около половины всех признаков.
+Для решения задачи поиска множества активных признаков предлагается следующий подход. Все линейные признаки заведомо считаются активными. В данном случае их всего 3, и впоследствии они будут сегментированы. Далее используется простой жадный алгоритм, удаляющий на каждом шаге признак, без которого значение правдоподобия наиболее оптимально. В логистической регрессии добавляется постоянный признак, а вектор весов находится с помощью алгоритма [[Алгоритм Ньютона-Рафсона|Ньютона - Рафсона]]. В данном эксперименте считается, что удаленными должны быть около половины всех признаков.
+=== Сегментация линейных признаков ===
+Пусть значения линейного признака <tex>\mathbf{x}_{i}</tex> характеризуются числами из отрезка <tex>[a_{i},b_{i}]</tex>. Вводится разбиение отрезка <tex>[a_{i},b_{i}]</tex>, на <tex>k</tex> отрезков одинаковой длины <tex>a_{i} = x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n_{k}} = b_{i}</tex>. Строится кусочно - линейная функция <tex>f(x) = a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|</tex>. Значения признака - значение функции в соответствующей точке отрезка <tex>[a_{i},b_{i}]</tex>. Коэффициенты <tex>f(x)</tex> подобираются так, чтобы <tex>f(x_{2m - 1}) = 0,\ f(x_{2m}) = 1</tex> где <tex>m\in\mathbb N</tex>. На каждом шаге алгоритма случайным образом изменяется значение <tex>x_{i}</tex>, но так, чтобы не изменить порядок чисел разбиения. Коэффициенты <tex>f(x)</tex> изменяются соответсвующим образом. Если для новой функции <tex>f(x)</tex> значение <tex>S_{\mathbf{L},\mathbf{A}}(\mathbf{w})</tex> уменьшается, то сохраняется изменение <tex>x_{i}</tex>. Алгоритм заканчивает работу по достижении первого минимума.
+=== Группировка категорий ===
+Пусть номинальный признак <tex>\mathbf{x}_{i}</tex> характеризуются числами из множества категорий <tex>\tex\{1,\ldots,c\}</tex>. Ему в соответствие ставится множество <tex>\Gamma</tex> такое, что <tex>1 \le |\Gamma| \le c</tex>. Требуется найти такую сюръективную функцию <tex>h_{\Gamma}:\{1,\ldots,c\}\to\Gamma</tex> и соответствующее ей множество <tex>\Gamma = \{1,\ldots,c^{*}\}</tex>, которая минимизирует функцию <tex>S_{\mathbf{T},\mathbf{A}</tex> при замене для <tex>\mathbf{x}_{i}</tex>: <tex>\tex\{1,\ldots,c\}</tex> на <tex>\tex\{h_{\Gamma}(1),\ldots,h_{\Gamma}(c)\}</tex>. В данном случае признаков и категорий достаточно мало, поэтому эффективен полный перебор.
 == Вычислительный эксперимент ==
@@ Строка 52: / Строка 56: @@
 # [[Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)]]
 # [[Логистическая регрессия (пример)]]
+# [[Логистическая функция]]
+# [[Регрессионный анализ]]
+# [[Алгоритм Ньютона-Рафсона]]
+# [[Метод наименьших квадратов]]
 == Литература ==
 * Siddiqi N. Credit Risk Scorecards: Developing and Implementing Intelligent Credit Scoring. John Wiley & Sons, Inc. 2006