Коэффициент корреляции Кенделла

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 08:30, 6 ноября 2008

Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.

Заданы две выборки $x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)$ .

Коэффициент корреляции, предложенный Кенделлом равен

$\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]$ ,

где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например, $[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\ 0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right$

Коэффициент $\tau$ принимает значения от -1 до 1. Равенство $\tau=1$ указывает на строгую линейную корреляцию.

Гипотеза $H_0$ : Выборки $x$ и $y$ независимы.

Статистика критерия:

$\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},$

где $D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}$ .

При $n\geq 10$ статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):

$\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)$

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1$ : наличие корреляции

если $|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}}$ , где $u_{\alpha}$ — $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции

В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла $\tau$ может быть использован для оценки обычного коэффициента корреляции $r$ по формуле

$r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}$

Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена

Выборкам $x$ и $y$ соответствуют последовательности рангов:

$R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})$ , где $R_{x_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $x$ ;

$R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})$ , где $R_{y_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $y$ .

Проведем операцию упорядочевания рангов.

Расположим ряд значений $x_i$ в порядке возрастания величины: $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ . Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки $x$ будет представлять собой последовательность натуральных чисел $1,2,\cdots,n$ . Значения $y$ , соответствующие значениям $x$ , образуют в этом случае некоторую последовательность рангов $T=(T_1,\cdots,T_n)$ .

$(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow (i,T_i),\; i=1,\cdots,n$

Коэффициент корриляции Кенделла $\tau$ и коэффициент корриляции Спирмена $\rho$ выражаются через ранги $T_i,\; i=1,\cdots,n$ следующим образом:

$\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}$

$\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]$

Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%9A%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B0»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Корреляцию Кенделла также называют мерой взаимной неупорядоченности или рассогласования.
 Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
 '''[[Коэффициент корреляции]]''', предложенный Кенделлом равен
-:: <tex>\tau_{xy}=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>,
+:: <tex>\tau=1-\frac{4}{n(n-1)}\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n\left[[x_i<x_j]\neq[y_i<y_j]\right]</tex>,
-где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе 0, например,
+где [логическое выражение]=1, если логическое выражение верно, иначе, 0, например,
 <tex>[x_i<x_j]=\left\{ \begin{array}{l} 1, x_i>x_j;\\     0, x_i \geq x_j.\\ \end{array} \right</tex>
+Коэффициент <tex>\tau</tex> принимает значения от -1 до 1. Равенство <tex>\tau=1</tex> указывает на строгую линейную корреляцию.
 '''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> независимы.
 '''Статистика критерия:'''
-::<tex>\frac{\tau_{xy}}{\sqrt{D_{\tau_{xy}}}},</tex>
+::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}},</tex>
-где <tex>D_{\tau_{xy}}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
+где <tex>D_{\tau}=\frac{2(2n+5)}{9n(n-1)}</tex>.
 При <tex>n\geq 10</tex> статистику критерия можно приблизить нормальным распределением с параметрами (0,1):
-::<tex>\frac{\tau_{xy}}{\sqrt{D_{\tau_{xy}}}}\sim N(0,1)</tex>
+::<tex>\frac{\tau}{\sqrt{D_{\tau}}}\sim N(0,1)</tex>
 '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-*против альтернативы <tex>H_1</tex>: выборки зависимы, есть монотонная связь
+*против альтернативы <tex>H_1</tex>: наличие корреляции
-:: если <tex>|\tau_{xy}| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения.
+:: если <tex>|\tau| > \tau_{\alpha}=u_{\alpha}\cdot\sqrt{D_{\tau_{xy}}} </tex>, где <tex>u_{\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль стандартного нормального распределения.
+==Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции==
+В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Кенделла <tex>\tau</tex> может быть использован для оценки обычного [[коэффициент корреляциии|коэффициента корреляции]] <tex>r</tex> по формуле
+:: <tex>r=sin{\frac{\pi\tau}{2}}</tex>
+==Связь коэффициента корреляции Кенделла с [[коэффициент корреляциии Спирмена|коэффициентом корреляциии Спирмена]]==
+Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex>  соответствуют последовательности рангов:
+::<tex>R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})</tex>, где <tex>R_{x_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>x</tex>;
+::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>.
+Проведем операцию упорядочевания рангов.
+Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>.
+::<tex>(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow (i,T_i),\; i=1,\cdots,n</tex>
+Коэффициент корриляции Кенделла <tex>\tau</tex> и коэффициент корриляции Спирмена <tex>\rho</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом:
+::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}</tex>
+::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]</tex>
+Коэффициент корриляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
 == Литература ==
 # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.

Коэффициент корреляции Кенделла

Материал из MachineLearning.

Версия 08:30, 6 ноября 2008

Связь коэффициента корреляции Кенделла с обычным коэфициентом корреляции

Связь коэффициента корреляции Кенделла с коэффициентом корреляциии Спирмена

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты