Коэффициент корреляции Спирмена

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 21:18, 12 ноября 2008

Содержание

1 Определение
2 Статистическая проверка наличия корреляции
3 Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляции Пирсона
4 Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляциии Кенделла
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Определение

Заданы две выборки $x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)$ .

Обозначим через $L_x$ — число связок в выборке $x$ ;

$T_{x_l}$ — число объектов в $l$ -ой связке, $l=1,\ldots,L_x$ ;

$L_y$ — число связок в выборке $y$ ;

$T_{y_l}$ — число объектов в $l$ -ой связке, $l=1,\ldots,L_y$ ;

Выборкам $x$ и $y$ соответствуют последовательности рангов:

$R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})$ , где $R_{x_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $x$ ;

$R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})$ , где $R_{y_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $y$ .

Коэффициент корреляции Спирмена равен

$\rho=\frac{\sum_{i=1}^n{(R_{x_i}-\frac{n+1}{2})(R_{y_i}-\frac{n+1}{2})}}{\frac{1}{12}(n^3-n)-\Delta},$

где $\Delta=\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{L_{x}}{T_{x_l}(T_{x_l}^2-1)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{L_y}{T_{y_l}(T_{y_l}^2-1)}}$

Коэффициент корреляции Спирмена $\rho$ изменяется от -1 до 1. Равенство $\rho=1$ указывает на строгую линейную корреляцию, $\rho=0$ указывает на отсутствие корреляции.

Статистическая проверка наличия корреляции

Гипотеза $H_0$ : Выборки $x$ и $y$ не коррелируют, $\rho=0$ .

Статистика критерия:

$\frac{\rho\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-\rho^2}}\sim t_{n-2}$ ,

где $t_{n-2}$ — распределение Стьюдента с $n-2$ степенями свободы.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1$ : наличие корреляции

если $\rho > t_{n-2,\alpha}$ , где $t_{n-2,\alpha}$ — $\alpha$ -квантиль распределение Стьюдента с $n-2$ степенями свободы..

Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляции Пирсона

В случае выборок из нормального распределения коэффициент корреляции Спирмена $\rho$ может быть использован для оценки коэффициента корреляции Пирсона $r$ по формуле

$r=sin{\frac{\pi\rho}{2}}$

Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляциии Кенделла

Выборкам $x$ и $y$ соответствуют последовательности рангов:

$R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})$ , где $R_{x_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $x$ ;

$R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})$ , где $R_{y_i}$ — ранг $i$ -го объекта в вариационном ряду выборки $y$ .

Проведем операцию упорядочевания рангов.

Расположим ряд значений $x_i$ в порядке возрастания величины: $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ . Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки $x$ будет представлять собой последовательность натуральных чисел $1,2,\cdots,n$ . Значения $y$ , соответствующие значениям $x$ , образуют в этом случае некоторую последовательность рангов $T=(T_1,\cdots,T_n)$ .

$(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow^{sort} (i,T_i),\; i=1,\cdots,n$ ( $sort$ — операция упорядочевания рангов).

Коэффициент корреляции Спирмена $\rho$ и коэффициент корреляции Кенделла $\tau$ выражаются через ранги $T_i,\; i=1,\cdots,n$ следующим образом:

$\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}$

$\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]$

Коэффициент корреляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.

Утверждение. Если выборки $x$ и $y$ не коррелируют (выполняется гипотеза $H_0$ ), то коэффициент корреляции между величинами $\rho$ и $\tau$ можно вычислить по формуле:

$corr(\rho,\tau)=\frac{2n+2}{\sqrt{4n^2+10n}}$

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Ссылки

Коэффициент корреляции(Википедия)
Корреляционный анализ (Википедия)

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%8D%D1%84%D1%84%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D1%80%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B0»

Категории: Прикладная статистика | Энциклопедия анализа данных | Корреляционный анализ

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{TOCright}}
+==Определение==
 Заданы две выборки <tex>x = (x_1,\ldots,x_n),\;\; y = (y_1,\ldots,y_n)</tex>.
@@ Строка 14: / Строка 15: @@
 ::<tex>\rho=\frac{\sum_{i=1}^n{(R_{x_i}-\frac{n+1}{2})(R_{y_i}-\frac{n+1}{2})}}{\frac{1}{12}(n^3-n)-\Delta},</tex>
 где <tex>\Delta=\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{L_{x}}{T_{x_l}(T_{x_l}^2-1)+\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{L_y}{T_{y_l}(T_{y_l}^2-1)}}</tex>
+Коэффициент корреляции Спирмена <tex>\rho</tex> изменяется от -1 до 1. Равенство <tex>\rho=1</tex> указывает на строгую линейную корреляцию, <tex>\rho=0</tex> указывает на отсутствие корреляции.
+==Статистическая проверка наличия корреляции==
+'''Гипотеза <tex>H_0</tex>:''' Выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют, <tex>\rho=0</tex>.
+'''Статистика критерия:'''
+::<tex>\frac{\rho\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-\rho^2}}\sim t_{n-2}</tex>,
+где <tex>t_{n-2}</tex> — [[распределение Стьюдента]] с <tex>n-2</tex> степенями свободы.
+'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+*против альтернативы <tex>H_1</tex>: наличие корреляции
+:: если <tex>\rho > t_{n-2,\alpha} </tex>, где <tex>t_{n-2,\alpha}</tex> — <tex>\alpha</tex>-квантиль [[распределение Стьюдента]] с <tex>n-2</tex> степенями свободы..
 ==Связь коэффициента корреляции Спирмена с [[коэффициент корреляции Пирсона|коэффициентом корреляции Пирсона]]==
@@ Строка 20: / Строка 35: @@
 :: <tex>r=sin{\frac{\pi\rho}{2}}</tex>
+==Связь коэффициента корреляции Спирмена с [[Коэффициент корреляции Кенделла|коэффициентом корреляциии Кенделла]]==
+Выборкам <tex>x</tex> и <tex>y</tex>  соответствуют последовательности рангов:
+::<tex>R_x=(R_{x_1},\ldots,R_{x_n})</tex>, где <tex>R_{x_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>x</tex>;
+::<tex>R_y=(R_{y_1},\ldots,R_{y_n})</tex>, где <tex>R_{y_i}</tex> — ранг <tex>i</tex>-го объекта в [[вариационный ряд|вариационном ряду]] выборки <tex>y</tex>.
+Проведем операцию упорядочевания рангов.
+Расположим ряд значений <tex>x_i</tex> в порядке возрастания величины: <tex>x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n</tex>. Тогда последовательность рангов упорядоченной выборки <tex>x</tex> будет представлять собой последовательность натуральных чисел <tex>1,2,\cdots,n</tex>. Значения <tex>y</tex>, соответствующие значениям <tex>x</tex>, образуют в этом случае некоторую последовательность рангов <tex>T=(T_1,\cdots,T_n)</tex>.
+::<tex>(R_{x_i},R_{y_i})\rightarrow^{sort} (i,T_i),\; i=1,\cdots,n</tex> (<tex>sort</tex> — операция упорядочевания рангов).
+Коэффициент корреляции Спирмена <tex>\rho</tex> и [[коэффициент корреляции Кенделла]] <tex>\tau</tex> выражаются через ранги <tex>T_i,\; i=1,\cdots,n</tex> следующим образом:
+::<tex>\rho=1-\frac{12}{n^3-n}\sum_{i<j}{(j-i)[T_i>T_j]}</tex>
+::<tex>\tau=1-\frac{4}{n^2-1}\sum_{i<j}[T_i>T_j]</tex>
+Коэффициент корреляции Спирмена учитывает насколько сильна неупорядоченность.
+'''Утверждение.''' Если  выборки <tex>x</tex> и <tex>y</tex> не коррелируют (выполняется гипотеза <tex>H_0</tex>), то коэффициент корреляции между величинами <tex>\rho</tex> и <tex>\tau</tex> можно вычислить по формуле:
+::<tex>corr(\rho,\tau)=\frac{2n+2}{\sqrt{4n^2+10n}}</tex>
 == Литература ==
 # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
-{{UnderConstruction|[[Участник:Tsurko Varvara]] 16:00, 11 ноября 2008 (MSK)}}
+==См. также==
+*[[Коэффициент корреляции Пирсона]]
+*[[Ранговая корреляция]]
+*[[Коэффициент корреляции Кенделла]]
-{{stub}}
+==Ссылки==
+*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Коэффициент_корреляции Коэффициент корреляции](Википедия)
+*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Корреляционный_анализ Корреляционный анализ] (Википедия)
 [[Категория:Прикладная статистика]]
 [[Категория:Энциклопедия анализа данных]]
+[[Категория: Корреляционный анализ]]

Коэффициент корреляции Спирмена

Материал из MachineLearning.

Версия 21:18, 12 ноября 2008

Содержание

Определение

Статистическая проверка наличия корреляции

Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляции Пирсона

Связь коэффициента корреляции Спирмена с коэффициентом корреляциии Кенделла

Литература

См. также

Ссылки

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты