Логистическая функция

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(категория, викификация)
 
Строка 1: Строка 1:
-
[[Image:Logistic-curve.png|thumb|320px|right|Standard logistic sigmoid function]]
+
{{TOCright}}
Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (S-образная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере изменения управляющих параметров (факторов риска).
Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (S-образная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере изменения управляющих параметров (факторов риска).
Строка 10: Строка 10:
Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания, включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию, математическую психологию, вероятность и статистику.
Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания, включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию, математическую психологию, вероятность и статистику.
 +
 +
[[Image:Logistic-curve.png|thumb|320px|right|Логистическая функция (сигмоида)]]
==Логистическое дифференциальное уравнение.==
==Логистическое дифференциальное уравнение.==
Строка 15: Строка 17:
Логистическая функция - решение простого нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:
Логистическая функция - решение простого нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:
-
:<tex>\frac{dP}{dt}=P(1-P) \!</tex>
+
:<tex>\frac{dP}{dt}=P(1-P),</tex>
-
, где P – переменная, зависящая от времени t и с граничным условием P (0) = 1/2. Это уравнение - непрерывная версия логистического отображения.
+
где P – переменная, зависящая от времени t и с граничным условием P (0) = 1/2. Это уравнение - непрерывная версия логистического отображения.
Можно легко найти решение этого уравнения и получить две наиболее распространенных формы записи логистической зависимости после интегрирования:
Можно легко найти решение этого уравнения и получить две наиболее распространенных формы записи логистической зависимости после интегрирования:
Строка 27: Строка 29:
:<tex>2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right).</tex>
:<tex>2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right).</tex>
-
==Двойная логистическая сигмоидальная кривая.==
+
==Двойная логистическая сигмоидальная кривая==
-
[[Image:dsigmoid.png|200px|right|thumb|Double logistic sigmoid curve]]
+
[[Image:dsigmoid.png|200px|right|thumb|Двойная логистическая функция]]
Двойной логистической является функция, подобная логистической функции с многочисленными проявлениями. Его общая формула:
Двойной логистической является функция, подобная логистической функции с многочисленными проявлениями. Его общая формула:
Строка 50: Строка 52:
* [http://8020world.com/jcmendez/2007/04/business/modeling-market-adoption-in-excel-with-a-simplified-s-curve Моделирование в Excel с упрощенной кривой s]
* [http://8020world.com/jcmendez/2007/04/business/modeling-market-adoption-in-excel-with-a-simplified-s-curve Моделирование в Excel с упрощенной кривой s]
* [http://mathworld.wolfram.com/SigmoidFunction.html MathWorld: Функция Сигмоид]
* [http://mathworld.wolfram.com/SigmoidFunction.html MathWorld: Функция Сигмоид]
 +
 +
[[Категория:Регрессионный анализ]]

Текущая версия

Содержание

Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (S-образная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере изменения управляющих параметров (факторов риска).

Вероятность P можно также трактовать как заселенность. Начальная стадия роста логистической кривой приблизительно соответствует экспоненте (показательная функция). Затем, по мере насыщения, рост замедляется, проходит линейную фазу и, наконец, и в зрелом периоде практически останавливается. Простейшая логистическая функция может быть описана формулой:

P(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}} \!

где переменную P можно рассматривать как численность населения, а переменную t – как время. Хотя область допустимых значений t совпадает со множеством всех действительных чисел от минус до плюс бесконечности, практически, из-за природы показательной функции exp(−t), достаточно вычислить значения в сравнительно узком интервале [− 6, + 6].

Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания, включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию, математическую психологию, вероятность и статистику.

Логистическая функция (сигмоида)
Логистическая функция (сигмоида)

Логистическое дифференциальное уравнение.

Логистическая функция - решение простого нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:

\frac{dP}{dt}=P(1-P),

где P – переменная, зависящая от времени t и с граничным условием P (0) = 1/2. Это уравнение - непрерывная версия логистического отображения. Можно легко найти решение этого уравнения и получить две наиболее распространенных формы записи логистической зависимости после интегрирования:

P(t)=\frac{e^{t}}{e^{t}-e^{c}} или (выбирая постоянную интегрирования) :P(t) = \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \!

Логистическая функция – является обратной по отношению к функции logit (с натуральным логарифмом) и так же может использоваться, чтобы преобразовать логарифм перевеса в вероятность; преобразование от отношения вероятностей регистрации двух альтернатив также принимает форму логистической кривой. Логистическая сигмоидальная функция тесно связана с гиперболическим тангенсом:

2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right).

Двойная логистическая сигмоидальная кривая

Двойная логистическая функция
Двойная логистическая функция

Двойной логистической является функция, подобная логистической функции с многочисленными проявлениями. Его общая формула:

 y = \mbox{sign}(x-d) \, \Bigg(1-\exp\bigg(-\bigg(\frac{x-d}{s}\bigg)^2\bigg)\Bigg),

где d – локальный центр, и s - фактор крутизны. Здесь "sign" представляет функцию знака. Эта кривая основана на Гауссовском распределении, и графически подобна двум идентичным логистическим сигмоидам, соединенным вместе в пункте x = d. Одно из его приложений - нелинейная нормализация выборок, использующая свойство устранения выбросов.

Так же смотри

Литература

1. Kingsland, S. E. (1995) Modeling nature ISBN 0-226-43728-0 2. Weisstein, Eric W. "Logistic Equation". From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Retrieved on 2008-10-21.

Внешние ссылки

Личные инструменты