Логистическая функция

Материал из MachineLearning.

Версия от 07:49, 10 января 2009; Травин Сергей (Обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)
Перейти к: навигация, поиск
Standard logistic sigmoid function
Standard logistic sigmoid function

Логистическая функция или логистическая кривая - самая общая сигмоидальная (S-образная) кривая. Она моделирует кривую роста вероятности некоего события, по мере изменения управляющих параметров (факторов риска).

Вероятность P можно также трактовать как заселенность. Начальная стадия роста логистической кривой приблизительно соответствует экспоненте (показательная функция). Затем, по мере насыщения, рост замедляется, проходит линейную фазу и, наконец, и в зрелом периоде практически останавливается. Простейшая логистическая функция может быть описана формулой:

P(t) = \frac{1}{1 + e^{-t}} \!

где переменную P можно рассматривать как численность населения, а переменную t – как время. Хотя область допустимых значений t совпадает со множеством всех действительных чисел от минус до плюс бесконечности, практически, из-за природы показательной функции exp(−t), достаточно вычислить значения в сравнительно узком интервале [− 6, + 6].

Логистическая функция находит применение в обширном диапазоне областей знания, включая искусственные нейронные сети, биологию, биоматематику, экономику, химию, математическую психологию, вероятность и статистику.

Логистическое дифференциальное уравнение.

Логистическая функция - решение простого нелинейного дифференциального уравнения первого порядка:

\frac{dP}{dt}=P(1-P)  \!

, где P – переменная, зависящая от времени t и с граничным условием P (0) = 1/2. Это уравнение - непрерывная версия логистического отображения. Можно легко найти решение этого уравнения и получить две наиболее распространенных формы записи логистической зависимости после интегрирования:

P(t)=\frac{e^{t}}{e^{t}-e^{c}} или (выбирая постоянную интегрирования) :P(t) = \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \!

Логистическая функция – является обратной по отношению к функции logit (с натуральным логарифмом) и так же может использоваться, чтобы преобразовать логарифм перевеса в вероятность; преобразование от отношения вероятностей регистрации двух альтернатив также принимает форму логистической кривой. Логистическая сигмоидальная функция тесно связана с гиперболическим тангенсом:

2 \, P(t) = 1 + \tanh \left( \frac{t}{2} \right).

Двойная логистическая сигмоидальная кривая.

Double logistic sigmoid curve
Double logistic sigmoid curve

Двойной логистической является функция, подобная логистической функции с многочисленными проявлениями. Его общая формула:

 y = \mbox{sign}(x-d) \, \Bigg(1-\exp\bigg(-\bigg(\frac{x-d}{s}\bigg)^2\bigg)\Bigg),

где d – локальный центр, и s - фактор крутизны. Здесь "sign" представляет функцию знака. Эта кривая основана на Гауссовском распределении, и графически подобна двум идентичным логистическим сигмоидам, соединенным вместе в пункте x = d. Одно из его приложений - нелинейная нормализация выборок, использующая свойство устранения выбросов.

Личные инструменты