Метод секущих

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 14:43, 5 декабря 2008

Содержание

1 Введение
2 Изложение метода
- 2.1 Геометрическая интерпретация
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
- 4.1 Критерий останова
- 4.2 Ошибки округления
5 Файлы
6 Ссылки
7 Список литературы

Введение

Пусть задана функция $f(x)$ действительного переменного. Требуется найти корни уравнения

(1)

$f(x)=0.$

Задача нахождения корней уравнения (1) обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, то есть выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.

Изложение метода

Метод секущих получается из метода касательных заменой $f'(x^k)$ разностным приближением:

$f'(x^k) \approx \frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.$

В результате получим формулу итерационного процесса:

(1)

$x^{k+1}=x^k-\frac{x^k-x^{k-1}}{f(x^k)-f(x^{k-1})}f(x^k), \;k=1,2,\ldots$

Метод секущих является двухшаговым, то есть новое приближение $x^{k+1}$ определяется двумя предыдущими итерациями $x^k$ и $x^{k-1}.$ В методе (1) необходимо задавать два начальных приближения $x^0$ и $x^1.$

Скорость сходимости метода будет линейной: $|x^{k+1}-x*|=O(k^k-x*).$

Геометрическая интерпретация

Метод секущих

Заметим, что уравнение для секущей, проходящей через точки $M'(x^{k-1},f(x^{k-1}))$ и $M''(x^k, f(x^k))$ , будет выглядть так:

$\frac{y-f(x^k)}{x-x^k}=\frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.$

Положив $y=0$ и $x=x^{k+1},$ можно получить формулу (1). Это означает, что $x^{k+1}$ — это абсцисса точки пересечения нашей секущей с осью ОХ. Иначе говоря, на отрезке $[x^{k-1},x^k]$ функция $f(x)$ интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение $x^{k+1}$ принимается корень этого многочлена.

Числовой пример

График функции

Рассмотрим функцию $f(x)= cos(x)-x+1.$ С помощью метода (1) найдем корень уравнения $f(x)=0.$ Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «Файлы».

Возьмём в качестве начальных приближений $x^0=4, \; x^1=3$ и точность $\eps=10^{-6}.$ В итоге за 8 итераций получим корень $x* \approx 1.283429.$

Файлы

sekush.zip

Ссылки

Список литературы

Н. В. Соснин. Численные методы. Конспект лекций (сост. Д. В. Ховратович, Е. А. Попов)
Самаский А. А., Гулин А. В. Численные Методы. Учеб. пособие для вузов. — М.:Наука, 1989.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%83%D1%89%D0%B8%D1%85»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Введение ==
 Пусть задана функция <tex>f(x)</tex> действительного переменного. Требуется найти корни уравнения
 {{eqno|1}}
-::<tex>f(x)=0.</tex>
+:: <tex>f(x)=0.</tex>
-Задача нахождения корней уравнения {{eqref|1}} обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, т.е. выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.
+Задача нахождения корней уравнения {{eqref|1}} обычно решается в 2 этапа. На первом этапе проводится отделение корней, то есть выделение отрезков, содержащих только один корень. На втором этапе, используя начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнить значение отыскиваемого корня.
 == Изложение метода ==
 Метод секущих получается из [[Метод касательных (Ньютона-Рафсона)|метода касательных]] заменой <tex>f'(x^k)</tex> разностным приближением:
-::<tex>f'(x^k) \approx \frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.</tex>
+:: <tex>f'(x^k) \approx \frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.</tex>
 В результате получим формулу итерационного процесса:
 {{eqno|1}}
-::<tex>x^{k+1}=x^k-\frac{x^k-x^{k-1}}{f(x^k)-f(x^{k-1})}f(x^k), \;k=1,2,\ldots</tex>
+:: <tex>x^{k+1}=x^k-\frac{x^k-x^{k-1}}{f(x^k)-f(x^{k-1})}f(x^k), \;k=1,2,\ldots</tex>
-Метод секущих является ''двухшаговым'', т.е. новое приближение <tex>x^{k+1}</tex> определяется двумя предыдущими итерациями <tex>x^k</tex> и <tex>x^{k-1}.</tex> В методе {{eqref|1}} необходимо задавать ''два'' начальных приближения <tex>x^0</tex> и <tex>x^1.</tex>
+Метод секущих является ''двухшаговым'', то есть новое приближение <tex>x^{k+1}</tex> определяется двумя предыдущими итерациями <tex>x^k</tex> и <tex>x^{k-1}.</tex> В методе {{eqref|1}} необходимо задавать ''два'' начальных приближения <tex>x^0</tex> и <tex>x^1.</tex>
 Скорость сходимости метода будет ''линейной'': <tex>|x^{k+1}-x*|=O(k^k-x*).</tex>
-===Геометрическая интерпретация===
+=== Геометрическая интерпретация ===
 [[Изображение:sekush.JPG|thumb|200px|Метод секущих]]
-Заметим, что уравнение для секущей, проходящей через точки <tex>M'(x^{k-1},f(x^{k-1}))</tex> и <tex>M''(x^k,f(x^k))</tex>, будет выглядть так:
+Заметим, что уравнение для секущей, проходящей через точки <tex>M'(x^{k-1},f(x^{k-1}))</tex> и <tex>M''(x^k, f(x^k))</tex>, будет выглядть так:
-::<tex>\frac{y-f(x^k)}{x-x^k}=\frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.</tex>
+:: <tex>\frac{y-f(x^k)}{x-x^k}=\frac{f(x^k)-f(x^{k-1})}{x^k-x^{k-1}}.</tex>
-Положив <tex>y=0</tex> и <tex>x=x^{k+1},</tex> можно получить формулу {{eqref|1}}. Это означает, что <tex>x^{k+1}</tex> - это абсцисса точки пересечения нашей секущей с осью ОХ. Иначе говоря, на отрезке <tex>[x^{k-1},x^k]</tex> функция <tex>f(x)</tex> интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение <tex>x^{k+1}</tex> принимается корень этого многочлена.
+Положив <tex>y=0</tex> и <tex>x=x^{k+1},</tex> можно получить формулу {{eqref|1}}. Это означает, что <tex>x^{k+1}</tex> — это абсцисса точки пересечения нашей секущей с осью ОХ. Иначе говоря, на отрезке <tex>[x^{k-1},x^k]</tex> функция <tex>f(x)</tex> интерполируется многочленом первой степени и за очередное приближение <tex>x^{k+1}</tex> принимается корень этого многочлена.
 == Числовой пример ==
+[[Изображение:kasatex.jpg|thumb|200px|График функции]]
+Рассмотрим функцию <tex>f(x)= cos(x)-x+1.</tex> С помощью метода {{eqref|1}} найдем корень уравнения <tex>f(x)=0.</tex> Исходный код программы, ищущей корень уравнения методом секущих, выложен в разделе «'''Файлы'''».
+Возьмём в качестве начальных приближений <tex>x^0=4, \; x^1=3</tex> и точность <tex>\eps=10^{-6}.</tex> В итоге за 8 итераций получим корень <tex>x* \approx 1.283429.</tex>
 == Рекомендации программисту ==
-== Заключение ==
+=== Критерий останова ===
+Как правило, берут один из следующих критериев останова:
+# <tex>f(x^k)< \eps</tex> — значение функции на данной итерации стало меньше заданого ε.
+# <tex>\left|x^k-x^{k-1}\right| < \eps</tex> — изменение х<sup>k</sup> в результате итерации стало меньше заданого ε.
+=== Ошибки округления ===
+В методе секущих, как и в других итерационных методах решения уравнений, ошибка округления ''не накапливается''. Общая ошибка округления равна ошибке, возникшей в последней итерации, и не зависит от арифметических операций, выполнявшихся в предыдущих итерациях.
+== Файлы ==
+[[Медиа:Sekush.zip | sekush.zip]]
 == Ссылки ==
 * [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008|Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]]
-== Список литературы ==
+* [[Метод касательных (Ньютона-Рафсона)]]
-*[http://mmphome.1gb.ru/index.php?pid=show&id=79 Н.В.Соснин.  Численные методы. Конспект лекций (сост. Д.В.Ховратович, Е.А.Попов)]
-*Самаский А.А., Гулин А.В. Численные Методы. Учеб. пособие для вузов. - М.:Наука, 1989.
-{{Stub|}}
+== Список литературы ==
+* [http://mmphome.1gb.ru/index.php?pid=show&id=79 Н. В. Соснин. Численные методы. Конспект лекций (сост. Д. В. Ховратович, Е. А. Попов)]
+* Самаский А. А., Гулин А. В. Численные Методы. Учеб. пособие для вузов. — М.:Наука, 1989.

Метод секущих

Материал из MachineLearning.

Версия 14:43, 5 декабря 2008

Содержание

Введение

Изложение метода

Геометрическая интерпретация

Числовой пример

Рекомендации программисту

Критерий останова

Ошибки округления

Файлы

Ссылки

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты