м |
м |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| | [http://isi.cbs.nl/glossary/index.htm Глоссарий статистических терминов ISI] | | [http://isi.cbs.nl/glossary/index.htm Глоссарий статистических терминов ISI] |
| - |
| |
| - |
| |
| - | М-оценки — широкий класс статистических оценок, доставляющих минимум суммы каких-либо функций от данных:
| |
| - | ::<tex>\hat{\theta}=\arg\min_{\displaystyle\theta}\left(\sum_{i=1}^N\rho(x_i, \theta)\right) \,\!</tex>
| |
| - | М-оценками являются, в частности, оценки [[Метод наименьших квадратов|наименьших квадратов]], а также многие оценки [[Метод наибольшего правдоподобия|максимального правдоподобия]].
| |
| - |
| |
| - | Функция <tex>\rho</tex> выбирается таким образом, чтобы обеспечить желаемые свойства оценки (несмещённость и эффективность) в условиях, когда данные взяты из известного распределения, и достаточную устойчивость к отклонениям от этого распределения.
| |
| - |
| |
| - | == M-оценки положения распределения ==
| |
| - | Для положения распределения М-оценки задаются следующим образом:
| |
| - | ::<tex>\hat{\theta}=\arg\min_{\displaystyle\theta}\left(\sum_{i=1}^N\rho(x_i - \theta)\right), \,\!</tex>
| |
| - | <tex>\rho(0)=0, \;\; \rho(x)\geq 0 \forall x, \;\; \rho(-x)=\rho(x), \;\; \rho(x_1)\geq\rho(x_2)</tex> при <tex>|x_1|>|x_2|.</tex>
| |
| - |
| |
| - | Задача минимизации приводит к уравнению
| |
| - | ::<tex>\sum_{i=1}^N \psi(x_i-\theta)=0,</tex>
| |
| - | где <tex>\psi</tex> – производная <tex>\rho</tex>.
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | {| class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | ! М-оценка
| |
| - | ! <tex>\rho(x)</tex>
| |
| - | ! <tex>\psi(x)</tex>
| |
| - | ! <tex>w(x)</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Huber
| |
| - | | <tex>\begin{cases}x^2/2, & |x|\leq k \\ k\left(|x|-k/2\right), & |x|>k \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}x, & |x|\leq k \\ k\operatorname{sgn}(x), & |x|>k \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}1, & |x|\leq k \\ \frac{k}{x}, & |x|>k\end{cases}</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! "fair"
| |
| - | | <tex>c^2\left(\frac{|x|}{c}-\log\left(1+\frac{|x|}{c}\right)\right)</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{x}{1+\frac{|x|}{c}}</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{1}{1+\frac{|x|}{c}}</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Cauchy
| |
| - | | <tex>\frac{c}{2}\log\left(1+\left(x/c\right)^2\right)</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{x}{1+\left(x/c\right)^2}</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{1}{1+\left(x/c\right)^2}</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Geman-McClure
| |
| - | | <tex>\frac{x^2/2}{1+x^2}</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{x}{\left(1+x^2\right)^2}</tex>
| |
| - | | <tex>\frac{1}{\left(1+x^2\right)^2}</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Welsch
| |
| - | | <tex>\frac{c^2}{2}\left(1-\exp\left(-\left(x/c\right)^2\right)\right)</tex>
| |
| - | | <tex>x\exp\left(-\left(x/c\right)^2\right)</tex>
| |
| - | | <tex>\exp\left(-\left(x/c\right)^2\right)</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Tukey
| |
| - | | <tex>\begin{cases}\frac{c^2}{6}\left(1-\left(1-\left(x/c\right)^2\right)^3\right), & |x|\leq c \\ \frac{c^2}{6}, & |x|>c \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}x\left(1\left(x/c\right)^2\right)^2 , & |x|\leq c \\ 0 , & |x|>c \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}\left(1\left(x/c\right)^2\right)^2, & |x|\leq c \\ 0, & |x|>c \end{cases}</tex>
| |
| - | |-
| |
| - | ! Andrews
| |
| - | | <tex>\begin{cases}k^2\left(1-\cos\left(x/k\right)\right), & |x|\leq k\pi \\ 2k^2, & |x|>k\pi \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}k\sin\left(x/k\right), & |x|\leq k\pi \\ 0, & |x|>k\pi \end{cases}</tex>
| |
| - | | <tex>\begin{cases}\frac{\sin\left(x/k\right)}{x/k}, & |x|\leq k\pi \\ 0, & |x|>k\pi \end{cases}</tex>
| |
| - | |}
| |
| - | Следующая таблица содержит значения параметров методов, подобранные таким образом, чтобы при применении к стандартному нормальному распределению методы имели 95% эффективность.
| |
| - |
| |
| - | {| class="wikitable"
| |
| - | |-
| |
| - | ! М-оценка
| |
| - | ! Значение параметра
| |
| - | |-
| |
| - | ! Huber
| |
| - | | 1.345
| |
| - | |-
| |
| - | ! "fair"
| |
| - | | 1.3998
| |
| - | |-
| |
| - | ! Cauchy
| |
| - | | 2.3849
| |
| - | |-
| |
| - | ! Welsch
| |
| - | | 2.9846
| |
| - | |-
| |
| - | ! Tukey
| |
| - | | 4.6851
| |
| - | |-
| |
| - | ! Andrews
| |
| - | | 1.339
| |
| - | |}
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | == Ссылки ==
| |
| - | * [http://en.wikipedia.org/wiki/M-estimator M-estimator] - статья из английской Википедии
| |
| - | [[Категория:Прикладная статистика]]
| |
| - |
| |
| | | | |
| | == Категоризация статей == | | == Категоризация статей == |
Женя, я вижу, ты активно работаешь над улучшением статей по статистике. Старайся уделять внимание категоризации статей, которые правишь. Необходимым является наличие хотя бы одной категории в статье, но их может быть и несколько. Подробнее о категоризации можно прочитать здесь: MachineLearning:Категоризация. И вообше, не стесняйся спрашивать, если нужна помощь или что-то не понятно. :) --Yury Chekhovich 22:17, 17 мая 2010 (MSD)
