Прикладная алгебра (курс лекций, С.И. Гуров)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Материалы)
(46 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
__NOTOC__
__NOTOC__
-
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля, частично-упорядоченные множества) и её приложениям в кодировании и комбинаторике.
+
Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
Лектор: [[Участник:Sgur|Гуров Сергей Исаевич]]
-
Ассистент: [[Участник:Kropotov|Кропотов Д.А.]]
+
Ассистенты: [[Участник:Kropotov|Кропотов Дмитрий]], Варламова Арина, Добролюбова Ольга
-
Свои вопросы по курсу и пожелания можно направлять письмом по адресу ''sgur@cs.msu.ru''
+
Свои вопросы по курсу можно задавать в [https://t.me/joinchat/FIB6dhRLLmm2tsiEIl_ayw телеграм-чате].
-
В осеннем семестре 2016/2017 уч. г. занятия проходят на ВМК по понедельникам в ауд. П-8, начало в 14-35.
+
В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50. [https://us02web.zoom.us/j/84420243470?pwd=MENSalNkSVg1dW9yaTcrRGcyRDRadz09 Ссылка] на зум-конференцию.
-
[https://goo.gl/forms/gmp3I7iF2rAk05dm1 Опрос по курсу]
+
Видеозаписи отдельных занятий: [https://www.youtube.com/playlist?list=PLVF5PzSHILHQ4YmzPn2eYBUrZina5OrS_ ссылка]
-
== Новости ==
+
<!--
 +
== Практическое задание ==
-
'''08.02.17''': 1-я пересдача по курсу состоится 16 февраля в ауд. 508, начало в 12-15. 2-я пересдача состоится 22 февраля в ауд. 708, начало в 9-00.
+
Студенты, успешно справившиеся с контрольной работой, могут выполнить практическое задание в качестве альтернативы сдачи экзамена по курсу. Задание выполняется на языке python 3. Срок сдачи: 31 декабря, 23:59. За выполнение этого задания можно получить оценку 5, 4 или 0. В случае получения оценки 4 за задание можно сдавать устный экзамен по курсу по обычной схеме. В случае выявления плагиата в коде задания для всех участвующих студентов оценка за задание будет аннулирована, а оценка за экзамен будет снижена на балл.
-
'''06.01.17''': добавлен небольшой опрос по курсу (участие анонимное). Нам важно ваше мнение!
+
Вопросы по заданию можно направлять письмом по адресу ''bayesml@gmail.com''. В название письма обязательно добавлять тег [ВМК ПА18].
-
'''04.01.17''': консультация к экзамену для групп 320, 321, 323 состоится 6-го января в ауд. 523, начало в 15-00. Консультация к экзамену для групп 324, 325, 327, 328 состоится 18-го января в ауд. 579, начало в 16-00.
+
[[Media:AA3_2018_assignment.pdf|Формулировка задания]]
-
'''04.01.17''': выложены результаты переписывания контрольной от 19 декабря. Показ работ пройдёт 6-го января в ауд. 523, начало в 15-00.
+
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Y5w8SvOwq4yeCmHCpk657rJy6DkmPqiCq48MPBaSUr4/edit?usp=sharing Результаты проверки задания]
 +
-->
-
'''27.12.16''': добавлены материалы к экзамену.
+
== Программа курса ==
-
'''16.12.16''': переписывание контрольной работы состоится 19 декабря в ауд. П-13, начало в 18-00.
+
=== Группы, кольца, поля ===
-
 
+
# Группы
-
'''16.12.16''': выложены результаты контрольной работы от 5 декабря. Показ работ и обсуждение задач контрольной состоится 16 декабря в 17-00, ауд. П-13.
+
# Кольца и поля
-
 
+
# Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения
-
'''15.11.16''': контрольная работа по курсу состоится 5 декабря, начало в 14-35. Студенты групп 320, 321 и 323 пишут контрольную в ауд. П-8, остальные — в ауд. П-14.
+
-
 
+
-
== Контрольная работа ==
+
-
 
+
-
В программе курса предусмотрена письменная контрольная работа. Успешное написание контрольной работы является обязательным условием допуска к экзамену по курсу. При отсутствии допуска студент пишет контрольную работу на экзамене и, в случае успеха, сдает экзамен на первой пересдаче. При написании контрольной работы разрешается пользоваться любыми бумажными материалами, а также калькуляторами. Использование электронных устройств (кроме калькуляторов) запрещено.
+
-
 
+
-
[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1Wonyg6X7u6ZTYiYwG8pGPONhhxozsN717hBLpVYKXjs/edit?usp=sharing Результаты контрольной]
+
-
 
+
-
== Экзамен ==
+
-
 
+
-
Экзамен по курсу состоится: 8 января для групп 320, 321, 323 (ауд. П-13, начало в 9-00), 20 января для групп 324, 325, 327, 328 (ауд. П-13, начало в 9-00). К экзамену допускаются только студенты, успешно справившиеся с контрольной работой. На экзамене при подготовке билета разрешается пользоваться любыми материалами (в том числе, с электронных устройств). При непосредственном ответе ничем пользоваться нельзя. При ответе студенту сначала задаются вопросы из теоретического минимума. Ответы на вопросы из этой части предполагают как знание основных определений, так и умение приводить примеры под каждое определение или теорему. <u>Незнание ответа на любой вопрос из части теоретического минимума влечёт за собой неудовлетворительную оценку за экзамен.</u> Далее обсуждается билет и вычислительные задачи.
+
-
 
+
-
[[Media:AA3-2016-theormin.pdf|Теоретический минимум]]
+
-
 
+
-
[[Media:AA3-2016-exam-questions.pdf|Вопросы к экзамену]]
+
-
 
+
-
== Материалы ==
+
-
 
+
-
[[Media:AA3-lecture-notes.pdf|Конспект лекций]] {{важно|(обновлено 05.12.17)}}
+
-
 
+
-
== Программа курса ==
+
-
=== Конечные поля (поля Галуа) ===
+
=== Конечные кольца и поля ===
-
# Группы и кольца (напоминание)
+
# Поля Галуа
-
# Поле вычетов по модулю простого числа
+
# Вычисления в конечных кольцах и полях
-
# Вычисление элементов в конечных полях
+
# Алгебра векторов над конечным полем
-
# Линейная алгебра над конечным полем
+
# Корни многочленов над конечным полем
# Корни многочленов над конечным полем
-
# Существование и единственность поля Галуа из <tex>p^n</tex> элементов
+
# Циклические подпространства колец вычетов
-
# Циклические подпространства
+
-
# Решение задач
+
=== Коды, исправляющие ошибки ===
=== Коды, исправляющие ошибки ===
-
# Помехоустойчивое кодирование, блоковое кодирование, коды Хэмминга
+
# Блоковое кодирование: основные понятия
-
# Групповые (линейные) коды
+
# Линейные коды
 +
# Синдромное декодирование линейных кодов
# Циклические коды
# Циклические коды
# Коды БЧХ
# Коды БЧХ
-
# Решение задач
+
# Декодирование кодов БЧХ
-
=== Теория перечисления Пойя ===
+
=== Алгебраические основы криптографии ===
-
# Действие группы на множестве
+
# Основные понятия
-
# Применение леммы Бернсайда для решения комбинаторных задач
+
# Система шифрования RSA
-
# Применение теоремы Пойя для решения комбинаторных задач
+
# Факторизация натуральных чисел
 +
# Дискретное логарифмирование
 +
# Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера
 +
=== Начала эллиптической криптографии ===
 +
# Эллиптические кривые: введение
 +
# Основные понятия
 +
# Эллиптические кривые в конечных полях
 +
# Криптосистемы на эллиптических кривых
== Литература ==
== Литература ==
-
# Воронин В.П. [http://padabum.com/d.php?id=10281 Дополнительные главы дискретной математики], ф-т ВМК, 2002.
+
# Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М.: МЗ Пресс, 2007.
-
# Гуров С.И. [http://istina.msu.ru/publications/book/641802/ Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: определения, свойства, примеры.] Либроком, 2013.
+
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: В 2-х т.] М.: Мир, 1988.
-
# Журавлев Ю.И., Флеров Ю.А., Вялый М.Н. [http://vyalyy.narod.ru/da2-090419.pdf Дискретный анализ. Основы высшей алгебры.] М3-Пресс, 2007.
+
# Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
-
# Лидл Р., Нидеррайтер Г. [http://www.twirpx.com/file/34003/ Конечные поля: в 2-х т.] Мир, 1988.
+
# Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
-
# Нефедов В.Н., Осипова В.А. [http://www.twirpx.com/file/391140/ Курс дискретной математики], МАИ, 1992.
+
# Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
-
# Ромащенко А.Е., Румянцев А.Ю., Шень А. [ftp://ftp.mccme.ru/users/shen/coding.pdf Заметки по теории кодирования.] МЦНМО, 2011.
+
# Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.
-
# Lin S., Costello D. [http://www.twirpx.com/file/622076/ Error Control Coding Fundamentals and Applications.] Prentice-Hall, 1983.
+
-
# Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодирования. - М.: Мир, 1971.
+
-
# Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. - М.: Мир, 1986.
+
-
# Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. - М.: Связь. - 1979.
+
-
# Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. – М.: Техносфера. - 2006.
+
-
# Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. – М.: Мир. – 1976.
+
== См. также ==
== См. также ==

Версия 13:22, 21 сентября 2020

Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.

Лектор: Гуров Сергей Исаевич

Ассистенты: Кропотов Дмитрий, Варламова Арина, Добролюбова Ольга

Свои вопросы по курсу можно задавать в телеграм-чате.

В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50. Ссылка на зум-конференцию.

Видеозаписи отдельных занятий: ссылка


Программа курса

Группы, кольца, поля

  1. Группы
  2. Кольца и поля
  3. Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения

Конечные кольца и поля

  1. Поля Галуа
  2. Вычисления в конечных кольцах и полях
  3. Алгебра векторов над конечным полем
  4. Корни многочленов над конечным полем
  5. Циклические подпространства колец вычетов

Коды, исправляющие ошибки

  1. Блоковое кодирование: основные понятия
  2. Линейные коды
  3. Синдромное декодирование линейных кодов
  4. Циклические коды
  5. Коды БЧХ
  6. Декодирование кодов БЧХ

Алгебраические основы криптографии

  1. Основные понятия
  2. Система шифрования RSA
  3. Факторизация натуральных чисел
  4. Дискретное логарифмирование
  5. Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера

Начала эллиптической криптографии

  1. Эллиптические кривые: введение
  2. Основные понятия
  3. Эллиптические кривые в конечных полях
  4. Криптосистемы на эллиптических кривых

Литература

  1. Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. М.: МЗ Пресс, 2007.
  2. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. М.: Мир, 1988.
  3. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
  4. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
  5. Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
  6. Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.

См. также

Страница кафедры математических методов прогнозирования ВМК МГУ

Курс «Прикладная алгебра» для студентов ММП

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%A1.%D0%98._%D0%93%D1%83%D1%80%D0%BE%D0%B2%29»
Личные инструменты