Методы наивысшей алгебраической точности (Гаусса - Кристоффеля)
Материал из MachineLearning.
Содержание |
Постановка задачи
Рассмотрим задачу поиска определённого интеграла вида
где функция непрерывна на отрезке
, а весовая функция
непрерывна на интервале
.
Выразить интеграл через элементарные функции в общем случае не удаётся, поэтому обычно
заменяют на некоторую аппроксимирующую функцию
. Она подбирается таким образом, чтобы интеграл от неё легко считался в элементарных функциях. Стандартный пример
- некоторый обобщённый интерполяционный многочлен. При этом
заменяется линейным выражением, со значениями в узлах в качестве коэффициентов:
где функция - остаточный член аппроксимации. Подстановкой (2) в (1) получаем формулу численного интегрирования (квадратурную формулу):
,
где называются узлами,
- весами, а
- погрешностью или остаточным членом. Интеграл приближённо заменяется суммой, причём узлы и коэффициенты этой суммы не зависят от
.
Таким образом, задача сводится к отысканию подходящих наборов узлов и весов, таких, чтобы обеспечить минимизацию погрешности
в приемлемое время.
Изложение метода
Параметрами формулы (3) являются узлы и веса. В известных формулах численного интегрирования, таких как формулы трапеций, Симпсона, принято фиксировать положение узлов и по ним находить веса. Таким образом в них не полностью используются возможности общей формулы. Логично предположить, что выбор оптимального положения узлов приведёт к улучшению работы метода.
Итак, формула (3) с n узлами содержит параметров, столько же коэффициентов у многочлена степени
. Значит, параметры можно подобрать так, чтобы квадратурная формула (3)
была точна для любого многочлена степени . Покажем, как находятся узлы и веса этих формул.
Будем считать, что вес положителен , непрерывен на
, может обращаться в нуль или бесконечность на концах отрезка так, чтобы существовал
. Известно[источник?], что при выполнении этих условий существует полная система алгебраических многочленов
, ортогональных на
с заданным весом:
Все нули этих многочленов действительны и расположены на интервале .
Составим по узлам интегрирования многочлен n-й степени . Функция
при
является многочленом степени не выше
. Следовательно, для неё формула Гаусса-Кристоффеля точна. Тогда получим:
так как . Значит многочлен
ортогонален всем многочленам
степени
.
Если разложить в ряд по рассматриваемым ортогональным многочленам и подставить этот ряд в условие ортогональности (5), то получим:
,
,
т.е. все коэффициенты разложения при
. Это значит, что
с точностью до численного множителя совпадает с
. Значит, узлами формулы Гаусса-Кристоффеля являются нули многочленов соответствующей степени
, ортогональных на
с весом
.
Веса интегрирования нетрудно определить, если узлы уже найдены. Функция
есть многочлен степени n-1, т.е. для неё формула Гаусса-Кристоффеля точна. Подставляя её в формулу (3) и учитывая, что эта формула равна нулю во всех узлах, кроме m-го, получим веса формулы Гаусса-Кристоффеля:
Формулы Гаусса-Кристоффеля называют также формулами наивысшей алгебраической точности, поскольку для произвольного многочлена степени выше формула (3) с
узлами уже не может быть точной.
Анализ метода и оценка ошибок
Рассмотрим некоторые частные случаи:
- Собственно формула Гаусса соответствует
. Линейным преобразованием аргумента можно перейти к отрезку
. На нём ортогональны с единичным весом многочлены Лежандра. Если обозначить их узлы и соответствующие веса через
, то обратным линейным преобразованием можно получить узлы и веса для произвольного отрезка
,
.
получаем формулу средних. Погрешность формулы Гаусса (приводится без вывода) пропорциональна той производной, которая соответствует низшей неучтённой формуле аргумента; верхняя граница погрешности равна
.
.
- Формула Эрмита позволяет интегрировать на отрезке
с весом
. При этих условиях ортогональны многочлены Чебышева первого рода
. Соответствующие узлы и веса интегрирования равны:
Отметим, что веса во всех узлах одинаковы. На произвольный отрезок эти узлы и веса преобразуются так же, как в формуле Гаусса. Погрешность формулы Эрмита не превышает
.
Числовой пример
Формулы Гаусса-Кристоффеля рассчитаны на получение очень высокой точности уже при небольшом количестве узлов . Поэтому для них не строят обобщённых формул вида
, как, например, для метода прямоугольников. Приведём примеры конкретных узлов и весов формул Гаусса-Кристоффеля для наиболее употребительных весовых функций. Здесь же указаны пределы интегрирования
и выражения для ортогональных многочленов.
-
:
многочлены Лежандра:
-
:
многочлены Чебышева первого рода:
-
:
многочлены Чебышева второго рода:
Список литературы
- Н.Н.Калиткин. Численные методы М.: Наука, 1978.
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.