Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Запрошенное действие могут выполнять только участники из групп emailconfirmed, Администраторы.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

'''U-критерий Манна-Уитни''' (Mann-Whitney U test) — [[непараметрический статистический критерий]], используемый для оценки различий между двумя [[выборка]]ми по признаку, измеренному в количественной или порядковой [[шкала измерения|шкале]]. U-критерий является [[ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Другие названия: критерий Манна-Уитни-Уилкоксона (Mann-Whitney-Wilcoxon, MWW), критерий суммы рангов Уилкоксона (Wilcoxon rank-sum test) или критерий Уилкоксона-Манна-Уитни (Wilcoxon-Mann-Whitney test, WMW). == Примеры задач == '''Пример 1.''' Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов&nbsp;А&nbsp;и&nbsp;Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики. '''Пример 2.''' Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами. '''Пример 3.''' Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа&nbsp;А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа&nbsp;Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен. == Описание критерия == Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>. '''Дополнительные предположения:''' * обе выборки [[простая выборка|простые]], объединённая выборка [[независимая выборка|независима]]; * выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F(x)</tex> и <tex>G(y)</tex> соответственно. '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{ x<y \} = 1/2</tex>. '''Статистика критерия:''' # Построить общий [[вариационный ряд]] объединённой выборки <tex>x^{(1)} \leq \cdots \leq x^{(m+n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i),\; r(y_i)</tex> всех элементов обеих выборок в общем вариационном ряду. # Вычислить суммарные ранги обеих выборок и статистику Манна-Уитни <tex>U</tex>: ::<tex>R_x = \sum_{i=1}^m r(x_i);\;\;\;\; U_x = mn + \frac12m(m+1) - R_x;</tex> ::<tex>R_y = \sum_{i=1}^n r(y_i);\;\;\;\; U_y = mn + \frac12n(n+1) - R_y;</tex> ::<tex>U = \min\left\{U_x,U_y\right\}.</tex> Замечание: менее рациональный способ вычисления статистик Манна-Уитни <tex>U_x,\: U_y</tex>: ::<tex>U_x = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i < y_j\right];</tex> ::<tex>U_y = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n \left[ x_i > y_j\right].</tex> '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): [[Изображение:Standard_Normal_Density_-_Double-sided_Critical_Area.png|thumb|Критическая область асимптотического критерия Манна-Уитни.]] * против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2</tex> ::если <tex> U \notin \left[ U_{\alpha/2},\, U_{1-\alpha/2} \right] </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; * против альтернативы <tex>H'_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} > 1/2</tex> ::если <tex> U_x > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; * против альтернативы <tex>H''_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} < 1/2</tex> ::если <tex> U_y > U_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается; где <tex> U_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения Уилкоксона-Манна-Уитни с параметрами <tex>m,\,n</tex>. '''Асимптотический критерий''': нормированная и центрированная статистика Манна-Уитни ::<tex>\tilde U = \frac{U-\frac12mn}{\sqrt{\frac1{12}mn(m+n+1)}}</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение при <tex>m,\,n > 8</tex>. == Свойства и границы применимости U-критерия == Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую [[гипотеза однородности|гипотезу однородности]] <tex>H_{00}:\; F(x)=G(y)</tex>, то есть что две выборки взяты из одного и того же распределения. U-критерий не является состоятельным против общей альтернативы <tex>H_1:\; F(x) \neq G(y)</tex>. Это означает, что гипотеза однородности будет приниматься чаще, чем она на самом деле верна. Существуют ситуации, когда гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, а более сильная гипотеза однородности <tex>H_{00}</tex> не верна [Орлов]. Для проверки [[гипотеза однородности|однородности]] существуют более мощные критерии, в частности, [[критерий Смирнова]] или [[критерий Лемана-Розенблатта]]. Иногда ошибочно считают, что U-критерий проверяет нулевую гипотезу равенства медиан в двух выборках. Существуют распределения, для которых гипотеза <tex>H_{0}</tex> верна, но их медианы различны. U-критерий можно применять для проверки [[гипотеза сдвига|гипотезы сдвига]] в качестве альтернативной <tex>H_{1}:\; F(x)=G(x+r)</tex>, где <tex>r</tex> — некоторая константа, отличная от нуля. При этой альтернативе U-критерий является [[состоятельный критерий|состоятельным]]. Его целесообразно применять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой физической величины. При этом функция распределения <tex>G(x)</tex> описывает погрешности измерения одного значения, а <tex>G(x+r)</tex> — другого. Однако во многих приложениях (в&nbsp;частности, эконометрических) нет особых оснований предполагать, что распределение второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом. U-критерий является непараметрическим аналогом [[Критерий Стьюдента|критерия Стьюдента]]. Если выборки [[Нормальное распределение|нормальные]], то для проверки гипотезы сдвига предпочтительно применить более мощный критерий Стьюдента. == История == Данный метод выявления различий между выборками был предложен в 1945 году Френком Уилкоксоном. В&nbsp;1947 году он был существенно переработан и расширен Манном и Уитни, по именам которых сегодня обычно и называется. == Литература == # ''Mann H. B., Whitney D. R.'' On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. // Annals of Mathematical Statistics. — 1947, №18. — Pp.&nbsp;50-60. # ''Wilcoxon F.'' Individual Comparisons by Ranking Methods. // Biometrics Bulletin&nbsp;1. 1945. — Pp.&nbsp;80–83. # ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.:&nbsp;Экзамен, 2003. — 576&nbsp;с. (§4.5&nbsp;Какие гипотезы можно проверять с&nbsp;помощью двухвыборочного критерия Вилкоксона?) # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с. == Ссылки == * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. * [[Статистика (функция выборки)]] * [[Критерий Стьюдента]] * [http://en.wikipedia.org/wiki/Mann-Whitney_U Mann-Whitney U] (Wikipedia). * [http://ru.wikipedia.org/wiki/U-%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%9C%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D0%B0-%D0%A3%D0%B8%D1%82%D0%BD%D0%B8 U-критерий Манна-Уитни] (Википедия). * [http://msu.edu/course/sw/430/2005/tables/wmw.pdf Таблица критических значений U-критерия Манна-Уитни] * [[Media:Critical_Values_for_the_Mann-Whitney_U-Test.pdf|Critical Values for the Mann-Whitney U-Test; p=5%.]] * [[Media:Critical_Values_for_the_Mann-Whitney_U-Test_p5_1.pdf‎|Критические_значения_критерия_U_Манна.pdf‎; p=5%, 1%]] * [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Homogeneity_averages.pdf О параметрических и непараметрических критериях проверки гипотез об однородности средних и их мощности на сайте Новосибирского государственного технического университета] [[Категория:Статистические тесты]] [[Категория:Непараметрические статистические тесты]]

Возврат к странице Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни.