Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Вы не можете выполнять запрошенное действие.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

{{Вероятностное распределение| name =Биномиальное распределение| type =Функция| pdf_image =[[Изображение:Binomial distribution pmf.svg|325px]]| cdf_image =[[Изображение:Binomial distribution cdf.svg|325px]]| parameters =<tex>n \geq 0</tex> — число «испытаний»<br /><tex>0\leq p \leq 1</tex> — вероятность «успеха» | support =<tex>k \in \{0,\ldots,n\}\!</tex>| pdf =<tex>{n \choose k}\,p^k q^{n-k} \!</tex>| cdf =<tex>I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!</tex>| mean =<tex>np\!</tex>| median =одно из <tex>\{[np]-1, [np], [np]+1\}</tex>| mode =<tex>\lfloor (n+1)\,p\rfloor\!</tex>| variance =<tex>npq\!</tex>| skewness =<tex>\frac{1-2p}{\sqrt{npq}}\!</tex>| kurtosis =<tex>\frac{1-6pq}{npq}\!</tex>| entropy =<tex> \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \left( \frac{1}{n} \right) </tex>| mgf =<tex>(q + pe^t)^n \!</tex>| char =<tex>(q + pe^{it})^n \!</tex>| }} ==Определение== ''Биномиальное распределение'' &mdash; дискретное распределение вероятностей '''одной''' [[случайная_величина|случайной величины]] <tex>X,</tex> принимающей целочисленные значения <tex>k=0,1,\ldots,n</tex> с вероятностями: ::<tex>P(X=k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}.</tex> Данное распределение характеризуется двумя параметрами: целым числом <tex>n>0,</tex> называемым ''числом испытаний'', и вещественным числом <tex>p,</tex> <tex>0\le p\le 1,</tex> называемом ''вероятностью успеха в одном испытании''. Биномиальное распределение &mdash; одно из основных распределений вероятностей, связанных с последовательностью независимых испытаний. Если проводится серия из <tex>n</tex> независимых испытаний, в каждом из которых может произойти "успех" с вероятностью <tex>p,</tex> то случайная величина, равная числу успехов во всей серии, имеет указанное распределение. Эта величина также может быть представлена в виде суммы <tex>X=X_1+\cdots+X_n</tex> независимых слагаемых, имеющих [[распределение Бернулли]]. ==Основные свойства== [[Характеристическая функция]]: <tex>\phi(t)=(1+p(e^{it}-1))^n.</tex> [[Моменты случайной величины|Моменты]]: *Математическое ожидание: <tex>MX=np.</tex> *Дисперсия: <tex>DX=np(1-p).</tex> *[[Асимметрия]]: <tex>\gamma_1=\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}};</tex> при <tex>p=0.5</tex> распределение симметрично относительно центра <tex>n/2.</tex> ==Асимптотические приближения при больших <tex>n</tex>== Если значения <tex>n</tex> велики, то непосредственное вычисление вероятностей событий, связанных с данной случайной величиной, технически затруднительно. В этих случаях можно использовать приближения биномиального распределения распределением Пуассона и нормальным (приближение Муавра-Лапласа). ===Приближение Пуассона=== Приближение [[распределение Пуассона|распределением Пуассона]] применяется в ситуациях, когда значения <tex>n</tex> большие, а значения <tex>p</tex> близки к нулю. При этом биномиальное распределение аппроксимируется распределением Пуассона с параметром <tex>\lambda=np.</tex> Строгая формулировка: если <tex>n\to\infty</tex> и <tex>p\to 0</tex> таким образом, что <tex>np\to\lambda,</tex> то ::<tex>P(X=k)\to\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0, 1, 2, \ldots</tex> Более того, справедлива следующая оценка. Пусть <tex>Y</tex> &mdash; случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром <tex>\lambda=np.</tex> Тогда для произвольного множества <tex>B\subset\{0,1,2,\ldots\}</tex> справедливо неравенство: ::<tex>|P(X\in B) - P(Y\in B)|\le 2np^2.</tex> ===Нормальное приближение=== Приближение нормальным распределением используется в ситуациях, когда <tex>n\to\infty,</tex> а <tex>p</tex> фиксировано. Это приближение можно рассматривать как частный случай центральной предельной теоремы, применение которой основано на представлении <tex>X</tex> в виде суммы <tex>n</tex> слагаемых. Приближение основано на том, что при указанных условиях распределение нормированной величины ::<tex>X'=\frac{X-MX}{\sqrt{DX}}=\frac{X-np}{\sqrt{npq},</tex> где <tex>q=1-p,</tex> близко к стандартному нормальному. == Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины == === Доказательство первое === Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание <tex>MX=np</tex>, то при условии <tex>n>\frac{1}{p}</tex> математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу <tex>MX=np>1</tex>, что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. [[Аксиоматика Колмогорова]]) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице. Что и требовалось доказать === Доказательство второе - Буняковского === Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. <ref> ''Буняковский В. Я.'' ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с. </ref> По аналогии в разложении полинома В.Я. Буняковский на с.19 получил мультиномиальное (полиномиальное) распределение независимых случайных величин и написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу." ==Литература== <references /> ==См.также== *[[Биномиальное распределение двух случайных величин]] *[[Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] *[[Мультиномиальное распределение независимых случайных величин]] *[[Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин]] *[[Мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] *[[Парадоксы мультиномиального распределения]] [[Категория:Вероятностные распределения]]

• Шаблон:Вероятностное распределение

Возврат к странице Участник:Vitsemgol/Биномиальное распределение одной случайной величины.