Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Вы не можете выполнять запрошенное действие.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

== Введение == Ставится задача вычислить интеграл вида {{eqno |1}} ::<tex>J=\int_a^bf(t)dt,</tex> где <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - нижний и верхний пределы интегрирования; <tex>f(t)</tex> - непрерывная функция на отрезке <tex>[a,b]</tex>. Пусть на отрезке интегрирования дана сетка, т.е. имеется совокупность узлов <tex>\left\{{t_i}\right\}_{i = 0}^{N},\; i\in \left[{a, b}\right].</tex> Тогда интервал <tex>[a,b]</tex> разобьется на участки <tex>\tau_i = t_i-t_{i-1},\; i-1,\dots,N.</tex>. Пусть также известны значения функции в узлах этой сетки, т.е. задана таблица <tex>f_i = \left\{{f(t_i)}\right\}_{i = 0}^{N}.</tex> Представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: {{eqno|2}} ::<tex>\int_a^bf(t)dt=\sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt.</tex> Сущность большинства методов вычисления определённых интегралов состоит в замене подынтегральной функции <tex>f(t)</tex> на отрезке <tex>[t_{i-1},\;t_i]</tex> аппроксимирующей функцией <tex>\varphi(t)</tex>, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е. {{eqno |3}} ::<tex>\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi(t)dt+R_i=S_i+R_i,</tex> где <tex>S_i</tex> - приближённое значение интеграла на i-м отрезке, а <tex>R_i</tex> - погрешность вычисления интеграла. Лучше всего изучена замена <tex>f(t)</tex> алгебраическим многочленом. == Изложение метода == Возьмём в {{eqref|3}} в качестве аппроксимирующей функции [[Интерполяция кубическими сплайнами|кубический сплайн]]: {{eqno |4}} ::<tex>\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt+R_i,</tex> где {{eqno|φ}} ::<tex>\varphi_i(t) = a_i+b_i(t-t_{i-1})+c_i(t - t_{i-1})^2 + d_i(t - t_{i-1})^3, \; t \in [t_{i-1},\;t_i]. </tex> Известно, что коэффициенты <tex> a_i, b_i</tex> и <tex>d_i</tex> вычисляются по следующим формулам: {{eqno|5a}} ::<tex> a_i=f_{i-1}</tex> {{eqno|5b}} ::<tex>b_i=\frac{f_i-f_{i-1}}{\tau_i}\;-\;\frac{\tau_i(2c_i+c_{i+1})}{3}</tex> {{eqno|5d}} ::<tex>d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3\tau_i}</tex> А коэффициенты <tex>c_i</tex> являются решением [[СЛАУ]]: {{eqno|5c}} ::<tex>\tau_{i-1}c_{i-1}+2(\tau_{i-1}+\tau_i)c_i+\tau_i c_{i+1}=3\left(\frac{f_i-f_{i-1}}{\tau_i} \; - \; \frac{f_{i-1}-f_{i-2}}{\tau_{i-1}}\right),\;\; 2 \le i \le N</tex> Тогда интеграл {{eqref|4}} запишется как сумма интегралов от сплайнов: ::<tex>J=\int_a^bf(t)dt \approx \sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt=\sum_{i=1}^N\left(a_i\tau_i+{b_i\over2}\tau_i^2+{c_i\over3}\tau_i^3+{d_i\over4}\tau_i^4\right).</tex> Последняя формула упрощается при подстановке в неё выражений {{eqref|5a}}, {{eqref|5b}} и {{eqref|5d}} для коэффициентов <tex>a_i,\;b_i</tex> и <tex>d_i:</tex> {{eqno|6}} ::<tex>J \;\approx \;\sum_{i=1}^N\;\frac{f_i+f_{i-1}}{2}\tau_i\;-\;\sum_{i=1}^N\;\frac{\tau_i^3(c_{i+1}+c_i)}{12}.</tex> Нетрудно видеть, что матрица для решения [[СЛАУ]] {{eqref|5c}} есть трёхдиагональная матрица с диагональным преобладанием. Поэтому коэффициенты <tex>c_i</tex> можно вычислить с помощью метода прогонки. == Анализ метода и ошибок == Анализ формулы {{eqref|6}} показывает, что первый член в правой части совпадает с [[Методы прямоугольников и трапеций|формулой трапеций]]. Следовательно, второй член характеризует поправку к методу трапеций, которую дает использование сплайнов. Как следует из формулы {{eqref|φ}}, коэффициенты <tex>c_i</tex> выражаются через вторые производные <tex>\varphi_i''(t):</tex> ::<tex>c_i=\frac{1}{2}\varphi_i''(t_{i-1})\approx\frac{1}{2}f_{i-1}''.</tex> Это позволяет оценить второй член правой части формулы {{eqref|6}}: ::<tex>\frac{\tau_i^3}{12}(c_{i-1}+c_i)\approx\frac{\tau_i^3}{12}f_*'',</tex> где <tex>f_*''</tex> - вторая производная в некоторой внутренней точке. Полученная оценка показывает, что добавка к формуле трапеций, которую дает использование сплайнов, компенсирует погрешность самой формулы трапеций. == Числовой пример == [[Изображение:Splineint.jpg|thumb|200px| График функции]] Рассмотрим функцию <tex>f(t)=0.6t^3-3t^2+3t.</tex> Вычислим с помощью сплайн-квадратур приближенное значение интеграла ::<tex>\int_0^4f(t)dt=\int_0^4(0.6t^3-3t^2+3t)dt=-1,6</tex> и исследуем поведение погрешности. Результаты работы [[Media:Splineint.zip|программы]] приведены в следующей таблице: ::{| class="standard" !N !J !ε |- !5 | -8.88236 |7.28236 |- !10 | -3.61479 |2.01479 |- !20 | -2.13136 |0.53136 |- !50 | -1.68776 |0.087758 |- !100 | -1.62217 |0.022169 |- !200 | -1.60557 |0.00557 |- !500 | -1.60089 |0.00089 |- !1000 | -1.60022 |0.00022 |- !2000 | -1.60006 |0.00005 |} Здесь N - число отрезков, на которые разбивается интервал [0,4], J - приблизительное значение интеграла, ε - ошибка. Как видно из таблицы, при малых N (особенно при N=5) ошибка невероятно велика. Однако с ростом N ошибка стремительно убывает, и приблизительное значение интеграла сходится к правильному значению. == Рекомендации программисту == ===Пример программы=== Ниже приведен пример программы на языке C++, считающей приближенное значение интеграла с помощью сплайн-квадратур: [[Media:Splineint.zip|Splineint.zip [0.7Кб]]] '''Некоторые комментарии по работе с программой:''' В 5-й строке <code>const int N=100;</code> N - число отрезков <tex>\tau_i.</tex> В 7-й строке <code>const double a=1,b=6;</code> <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - пределы интегрирования. В 49-й строке <code>f[i]=0.6*x*x*x-3*x*x+3*x;</code> f[i] - интегрируемая функция. === Случай с равномерной сеткой === Пусть на отрезке <tex>[a,b]</tex> задана равномерная сетка, т.е. <tex>\tau_1=\tau_2=\dots=\tau_N=\tau.</tex> Тогда выражение {{eqref|6}} перепишется в виде: {{eqno|7}} ::<tex>J\;\approx\;\frac{\tau}{2}(f_0+f_N)+\tau\sum_{i=1}^{N-1}f_i-\frac{\tau^3}{6}\sum_{i=2}^Nc_i.</tex> Просуммируем уравнения {{eqref|5c}} от i=2 до N. Получим: {{eqno|8}} ::<tex> 6\sum_{i=2}^Nc_i=(c_2+c_N)+\frac{3}{\tau^2}(f_0-f_1+f_N-f_{N-1}).</tex> Подставим {{eqref|8}} в {{eqref|7}} и получим окончательное выражение для <tex>J</tex>: ::<tex> J\;\approx\;\tau\sum_{i=2}^{N-2}f_i+\frac{\tau}{12}(5f_0+13f_1+13f_{N-1}+5f_N)-\frac{\tau^3}{36}(c_2+c_N)</tex> Несмотря на то, что <tex>c_2</tex> и <tex>c_N</tex> все равно придется вычислять методом прогонки, точность и скорость вычисления приближенного значения интеграла будут увеличены за счет сокращения числа слагаемых. == Заключение == Итак, мы получили, что погрешность сплайн-квадратуры меньше, чем погрешность метода трапеций. Однако [[алгоритм]] интегрирования с помощью сплайнов сложнее алгоритмов методов трапеций и Симпсона за счет необходимости решения СЛАУ для опрееления коэффициентов сплайнов <tex>c_i.</tex> Также при решении СЛАУ теряется точность. Поэтому рационально использовать сплайн-квадратуры в комплексе, когда сплайны применяются для сглаживания зависимостей, обработки эксперимениальных данных и т.п. == Ссылки == * [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008|Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]] * [[Интерполяция кубическими сплайнами]] == Список литературы == * http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/7/1.html * http://mathalgo.blogspot.com/2007/11/blog-post.html * http://myhomepage.h17.ru/Lect06/lect06.htm#02 * А.Е. Мудров. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск:МП "РАСКО", 1991. [[Категория:Численное интегрирование]] [[Категория:Учебные задачи]]

Возврат к странице Участник:Александр Двойнев/песочница.