Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Запрошенное действие могут выполнять только участники из групп emailconfirmed, Администраторы.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

'''Псевдообратные матрицы''' — обобощение обратных матриц в линейной алгебре. Псевдообратная матрица к матрице <tex>A</tex> обозначается <tex>A^+</tex>. Псевдообращение можно понимать как наилучшую апроксимацию (по методу наименьших квадратов) решения соответствующей системы линейных уравнений. Псевдообращение определено для любых матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычислена с помощью собственного представления матрицы. == Определение == <tex>A^+</tex> называется псевдообратной матрицей для матрицы <tex>A</tex>, если она удовлетворяет следующим критериям: # <tex>A A^+A = A;</tex> # <tex>A^+A A^+ = A^+</tex> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<tex>A^+</tex> является слабым обращением в мультипликативной полугруппе); # <tex>(AA^+)^* = AA^+</tex> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (это означает, что <tex>AA^+</tex> — эрмитова матрица); # <tex>(A^+A)^* = A^+A</tex> &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<tex>A^+A</tex> - тоже эрмитова матрица). Здесь <tex>M^*</tex> - эрмитова сопряжённая матрица ''M''. Для матриц над полем действительных чисел <tex>M^* = M^T</tex>. == Происхождение == По методу наименьших квадратов для решения несовместной СЛАУ <tex>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</tex>, состоящей из&nbsp;<tex>M</tex> уравнений с <tex>N</tex> неизвестными, необходимо решить уравнение <center><tex>A^TA\mathbf{x}=A^T\mathbf{b},</tex></center> называемое <i>нормальным уравнением</i>. Пусть столбцы матрицы&nbsp;<tex>A</tex> линейно независимы, тогда она обратима и система имеет единственное решение <center><tex>\mathbf{x}=(A^TA)^{-1}A^T\mathbf{b}.</tex></center> Таким образом мы приходим к понятию псевдообращения действительных матриц: <center><tex>A^+=(A^TA)^{-1}A^T.</tex></center> == Свойства == * Псевдообращение обратимо, более того, эта операция обратна самой себе:<br> <tex>(A^+)^+ = A </tex>. * Псевдообращение коммутирует с транспонированием, сопряжением и эрмитовым сопряжением: <br> <tex>(A^T)^+ = (A^+)^T</tex>,<br> <tex>(\overline{A})^+ = \overline{A^+} </tex>,<br> <tex>(A^*)^+ = (A^+)^* .</tex> * Псевдообратное произведения матрицы <tex>A</tex> на скаляр <tex>\alpha</tex> равно соответствующему произведению матрицы <tex>A^+</tex> на обратное число <tex>\alpha^{-1}</tex>:<br> <tex>(\alpha A)^+ = \alpha^{-1} A^+ </tex>, для <tex>\alpha</tex> &ne; 0. * Если псевдообратная матрица для <tex>A^*A</tex> уже известна, она может быть использовано для вычисления <tex>A^+</tex>:<br> <tex>A^+ = (A^*A)^+A^* </tex> . * Аналогично, если матрица <tex>(AA^*)^+</tex> уже известна:<br> <tex>A^+ = A^*(AA^*)^+ </tex> . == Особые случаи == * Если '''столбцы''' матрицы <tex>A</tex> линейно независимы, тогда матрица <tex>A^* A</tex> обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой :<tex>A^+ = (A^* A)^{-1} A^*.</tex> Отсюда следует что <tex>A^+</tex> - левая обратная матрица для ''A'': &nbsp; <tex> A^+ A = I</tex> . * Если '''строки''' матрицы <tex>A</tex> линейно независимы, тогда матрица <tex>A A^*</tex> обратима. В таком случае псевдообратная матрица задаётся формулой :<tex>A^+ = A^*(A A^*)^{-1}.</tex> Отсюда следует, что <tex>A^+</tex> — правая обратная матрица для ''A'': &nbsp; <tex>A A^+ = I</tex> . * Если '''и столбцы и строки''' линейно независимы (что верно для квадратных невырожденных матриц), псевдообращение равно обращению: :<tex>A^+ = A^{-1} .</tex> * Если ''A'' и ''B'' таковы, что произведение <tex>AB</tex> определено, и ** либо <tex>A^* A = I</tex>, ** либо <tex>B B^* = I</tex>, ** либо '''столбцы''' <tex>A</tex> линейно независимы и '''строки''' <tex>B</tex> линейно независимы, тогда <tex>(AB)^+ = B^+ A^+</tex>. * Псевдообращение можно применять и к скалярам, и к векторам. Псевдообратный к скаляру <tex>x</tex> — ноль, если <tex>x</tex> — ноль, и обратный к <tex>x</tex> в противном случае: <center><tex>x^+ = \left\{\begin{matrix} 0, & x=0; \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matrix}\right. </tex></center> * Псевдообратный для нулевого вектора - транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный для иного вектора - сопряжённый транспонированный вектор, делённый на квадрат своей длины: <center><tex>x^+ = \left\{\begin{matrix} 0^T, & x = 0;\\ {x^* \over x^* x}, & x \ne 0. \end{matrix}\right. </tex></center> Для доказательства достаточно проверить, что эти величины удовлетворяют определению псевдообратных. == Вычисление == Простейший вычислительный путь получения псевдообратной матрицы — использование собственного представления матрицы (СПМ). Если <tex>A = U\Sigma V^*</tex> — собственное представление ''A'', тогда <tex>A^+ = V\Sigma^+ U^*.</tex> Для диагональной матрицы, такой как <tex>\Sigma</tex>, псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали. Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц. Если псевдоинверсия известна для некой матрицы и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена с помощью специальных алгоритмов, требующих меньшего количества расчётов. В частности, если аналогичная матрица отличается от начальной на один изменённый, добавленный или удалённый столбец или строку — существуют накопительные алгоритмы, которые могут использовать взаимосвязь между матрицами. == См. также == * [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008|Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]] * [[Метод наименьших квадратов|Метод наименьших квадратов]] * [[Решение переопределённой СЛАУ|Решение переопределённой СЛАУ]]

Возврат к странице Псевдообратная матрица.