Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Запрошенное действие могут выполнять только участники из групп emailconfirmed, Администраторы.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

'''Критерий Краскела-Уоллиса''' предназначен для проверки равенства средних нескольких выборок. Данный критерий является многовыборочным обобщением [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни|критерия Уилкоксона-Манна-Уитни]]. Критерий Краскела-Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Известен так же под названиями: критерий Крускала-Уоллиса, <i>H</i>-критерий Краскела-Уоллиса, Kruskal-Wallis one-way analysis of variance, Kruskal-Wallis test. == Примеры задач == '''Пример 1.''' Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом "Каковы шансы на победу сборной России?" до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т.д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибальной шкале (1 — никаких перспектив, 10 — отвезти в Россию кубок — дело времени). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата. '''Пример 2.''' Выборка состоит из пациентов, у которых был диагностирован неизлечимый рак какого-либо органа. Всем им в качестве поддерживающей терапии был назначен к приёму витамин C (считалось, что он может способствовать выздоровлению раковых больных). Приведены данные об остаточной продолжительности жизни пациентов в днях. То есть выборка состоит из пар вида (пораженный орган, число дней), разделяясь на несколько числовых подвыборок, каждая из которых соответствует своему пораженному органу. Требуется проверить, отличается ли остаточная продолжительность жизни в зависимости от того, какой орган поражён раковой опухолью. == Описание критерия == Заданы <i>k</i> выборок: <tex>X_1=\left\{x_1^1,\dots,x_1^{n_1}\right\}, \dots, X_k=\left\{x_k^1,\dots,x_k^{n_k}\right\}</tex>. Объединённая выборка: <tex>X=X_1\cup X_2\cup \dots \cup X_k</tex>. ''Дополнительные предположения:'' * обе выборки [[Простая выборка|простые]], объединённая выборка [[Независимая выборка|независима]]; * выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений <tex>F_1(x),\dots,F_k(x)</tex>. Проверяется [[нулевая гипотеза]] <tex>H_0:\; F_1(x)=\dots=F_k(x)</tex> при альтернативе <tex>H_1:\; F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\dots=F_k(x-\Delta_{k-1})</tex>. Упорядочим все <tex>N=\sum_{i=1}^k n_i</tex> элементов выборок по возрастанию и обозначим <tex>R_i^j</tex> ранг <i>j</i>-го элемента <i>i</i>-й выборки в полученном [[вариационный ряд|вариационном ряду]]. Статистика критерия Краскела-Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения сравниваемых выборок имеет вид <br /> :: <tex>H=\sum_{i=1}^k \left( 1-\frac{n_i}{N} \right) \left\{ \frac{\bar{R}_i-\frac{N+1}{2}}{\sqrt{\frac{(N-n_i)(N+1)}{12n_i}}} \right\} ^{\frac{1}{2}}=\frac{12}{N(N+1)}\sum_{i=1}^k n_i \left( \bar{R}_i-\frac{N+1}{2} \right) ^2 = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^k \frac{R_i^2}{n_i}-3(N+1),</tex> <br /> где <tex>R_i=\sum_{j=1}^k R_i^j;\: \bar{R}_i=\frac{R_i}{n_i}</tex>. При наличии связанных рангов (т.е. когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику <tex>H*=H\left\{1-\left(\sum_{j=1}^q \frac{T_j}{N^3-N} \right) \right\} ^{-1},</tex> где <tex>T_j=t_j^3-t_j;\; t_j</tex> — размер <i>j</i>-й группы одинаковых элементов; <i>q</i> — количество групп одинаковых элементов. Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости <tex>\alpha</tex>, если <tex>H \ge H_{\alpha}</tex>, где <tex>H_{\alpha}</tex> — критическое значение, при <tex>k \le 5</tex> и <tex>n_i \le 8</tex> вычисляемое по таблицам. При больших значениях применимы различные аппроксимации. При <tex>n_i \ge 15</tex> справедлива аппроксимация распределения статистики <tex>H</tex> <tex>\chi_{k-1}^2</tex>-распределением с <i>k-1</i> степенями свободы, т.е. нулевая гипотеза отклоняется, если <tex>H \ge \chi_{k-1,\alpha}^2</tex>. === Аппроксимация Краскела-Уоллиса === Пусть <br /> ::<tex>M=\frac{N^3-\sum_{i=1}^k n_i^3}{N(N+1)};\; \nu_1=(k-1)\frac{(k-1)(M-k+1)-V}{\frac{1}{2}MV}; \nu_2==\frac{M-k+1}{k-1}\nu_1;\; V=2(k-1)-\frac{2\left\{3k^2-6k+N(2k^2-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}-\frac{6}{5} \sum_{i=1}^k \frac{1}{n_i}.</tex> Тогда статистика <br /> <div align="center"><tex>F=\frac{H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}</tex></div> <br /> будет иметь при отсутствии сдвига распределение Фишера с <tex>\nu_1</tex> и <tex>\nu_2</tex> степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью <tex>\alpha</tex>, если <tex>F>F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)</tex>. === Аппроксимация Имана-Давенпорта === В соответстви с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью <tex>\alpha</tex>, если <tex>J \ge J_{\alpha}</tex>, где <br /> ::<tex>M=\frac{H}{2}\left(1+\frac{N-k}{N-1-H}\right);\; J_{\alpha}=\left\{(k-1)F_{\alpha}(k-1;N-l)+\chi_{\alpha}^2(k-1)\right},</tex> <br /> <tex>\chi_{\alpha}^2(k-1)</tex> — критическое значение статистики хи-квадрат. Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела-Уоллиса. == Критические значения критерия Краскела-Уоллиса при k<=5, n<=8 == [[Изображение:Critical_values_for_Kruskal-Wallis_test.png|left|800px]] <br clear="both" /> == Критические значения критерия Краскела-Уоллиса при k<=6, n<=8 == [[Изображение:Critical_values_for_Kruskal-Wallis_test_k6.png|left|800px]] <br clear="both" /> == См. также == * [[Проверка статистических гипотез]] * [[Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]] * [[Критерий знаков]] * [[Квантили распределения хи-квадрат]] [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D1%85%D0%B8-%D0%BA%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82 (ru_wiki)] == Литература == # ''Kruskal W. H. and Wallis W. A.'' [http://homepages.ucalgary.ca/~jefox/Kruskal%20and%20Wallis%201952.pdf Use of ranks in one-criterion variance analysis.] // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 №260. — Pp.&nbsp;583–621. # ''Ликеш И., Ляга Й.'' Основные таблицы математической статистики. — М.:&nbsp;Финансы и статистика, 1985. # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 466-468&nbsp;с. == Ссылки == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Kruskal-Wallis_one-way_analysis_of_variance Wikipedia: Kruskal-Wallis one-way analysis of variance] [[Категория: Прикладная статистика]] [[Категория: Статистические тесты]] [[Категория:Дисперсионный анализ]]

Возврат к странице Критерий Краскела-Уоллиса.