Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Запрошенное действие могут выполнять только участники из групп emailconfirmed, Администраторы.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

'''Метод Бенджамини-Хохберга'''<ref name="mbh1"> Benjamini, Yoav; Hochberg, Yosef (1995). [http://www.math.tau.ac.il/~ybenja/MyPapers/benjamini_hochberg1995.pdf Controlling the false discovery rate: a practical and powerful approach to multiple testing]. [http://en.wikipedia.org/wiki/Journal_of_the_Royal_Statistical_Society], Series B 57 (1): 289–300.</ref><ref name="mbh2"> Hochberg, Y.; Benjamini, Y. (1990). [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/sim.4780090710/abstract More powerful procedures for multiple significance testing]. Statistics in Medicine 9 (7): 811–818.</ref> — один из методов контроля ожидаемой доли ложных отклонений гипотез ([[FDR]]) который утверждает, что при определенных ограничениях на статистики гипотез <tex> T_i</tex> для достижения контроля FDR на уровне <tex>\alpha</tex> достаточно, чтобы отвергались гипотезы <tex>H_i</tex>, для которых <tex>p_i \le \frac{i\alpha}{m}</tex>, где <tex>m</tex> — количество гипотез. == Определение == Пусть <tex>H_{1},...,H_{m}</tex> — семейство гипотез, а <tex>p_{1},...,p_{m}</tex> — соответствующие им достигаемые уровни значимости. Обозначим за <tex>R</tex> - число отвергнутых гипотез, а за <tex>V</tex> - число неверно отвергнутых гипотез, т.е. число ошибок первого рода. Ожидаемая доля ложных отклонений гипотез, или [[FDR]], определяется следующим образом ::<tex>FDR\:=\: \operator{E}\left(\frac{V}{R}[R > 0]\right)</tex> Контроль над FDR на уровне <tex>\alpha</tex> означает, что ::<tex>FDR\:=\: \operator{E}\left(\frac{V}{R}[R > 0]\right) \leq \alpha</tex> ===Метод Бенджамини-Хохберга=== Это нисходящая процедура(по аналогии с [[Метод Холма|методом Холма]] и методом Шидака-Холма) со следующими уровнями значимости ::<tex>\alpha_1 = \frac{\alpha}{m}\:,\:\dots\:,\:\alpha_i = \frac{i\alpha}{m}\:, \:\dots\:, \:\alpha_m = \alpha</tex> Пусть <tex>p_{(1)}\leq \ldots \leq p_{(m)}</tex> — уровни значимости <tex>p_i</tex>, упорядоченные по неубыванию, <tex>H_{(1)}, \ldots, H_{(m)}</tex> — соответствующие <tex>p_{(i)}</tex> гипотезы. Процедура метода Бенджамини-Хохберга определена следующим образом. : Шаг 1. Если <tex>p_{(1)}\geq\frac{\alpha}{m}</tex>, принять гипотезы <tex>H_{(1)}, \ldots, H_{(m)}</tex> и остановиться. Иначе, если <tex>p_{(1)}<\frac{\alpha}{m}</tex>, отвергнуть гипотезу <tex>H_{(1)}</tex> и продолжить проверку оставшихся гипотез на уровне значимости <tex>\frac{2\alpha}{m}</tex>. : Шаг 2. Если <tex>p_{(2)}\geq\frac{2\alpha}{m}</tex>, принять гипотезы <tex>H_{(2)}, \ldots, H_{(m)}</tex> и остановиться. Иначе, если <tex>p_{(2)}<\frac{2\alpha}{m}</tex>, отвергнуть гипотезу <tex>H_{(2)}</tex> и продолжить проверку оставшихся гипотез на уровне значимости <tex>\frac{3\alpha}{m}</tex>. : И т.д. Метод обеспечивает контроль над FDR на уровне <tex>\alpha</tex> при нижеследующих условиях. ===Ограничения=== Статистики <tex>T_i</tex> независимы или выполняется следующее свойство (PRDS<ref name="prds"> Benjamini, Y., & Yekutieli, D. (2001). [http://projecteuclid.org/euclid.aos/1013699998 The control of the false discovery rate in multiple testing under dependency]. Annals of Statistics, 29(4), 1165–1188. </ref> on <tex>T_i,\: i \in M_0</tex>): ::<tex>\operator{P}(X\in D|T_i=x) </tex> не убывает по <tex>x\:\forall i\in M_0</tex>, где <tex>M_0</tex> - множество индексов верных гипотез, <tex>D</tex> - произвольное возрастающее множество, то есть, такое, что из <tex>x\in D</tex> и <tex>y \geq x</tex> следует <tex>y\in D</tex> === Альтернативная постановка === Переходим к модифицированным достигаемым уровням значимости: ::<tex>\tilde p_{(i)}\: =\: \min(1,\: \max(\frac{mp_{(i)}}{i}, \:\tilde p_{(i-1)}))</tex> == Пример == <tex>n=20, \;m=200, \;m_0 = 150;</tex> <tex>X_{ij} \sim N(0,1), \;i=1,\ldots,m_0, \;j=1,\ldots,n;</tex> <tex>X_{ij} \sim N(1,1),\; i=m_0+1,\ldots,m, \;j=1,\ldots,n;</tex> <tex>H_i: EX_{ij} = 0, \;H_i': EX_{ij} \ne 0;</tex> для проверки используем одновыборочный критерий Стьюдента. С поправкой Холма([[метод Холма]]): ::{| class="wikitable" |- | | Верных <tex>H_i</tex> | Неверных <tex>H_i</tex> | Всего |- | Принятых <tex>H_i</tex> | 150 | 24 | 174 |- | Отвергнутых <tex>H_i</tex> | 0 | 26 | 26 |- | Всего | 150 | 50 | 200 |} С методом Бенджамини-Хохберга: ::{| class="wikitable" |- | | Верных <tex>H_i</tex> | Неверных <tex>H_i</tex> | Всего |- | Принятых <tex>H_i</tex> | 148 | 4 | 152 |- | Отвергнутых <tex>H_i</tex> | 2 | 46 | 48 |- | Всего | 150 | 50 | 200 |} == Реализации == * MATLAB: Benjamini and Hochberg/Yekutieli Procedure for Controlling False Discovery Rate <ref name="bhypcfdr"> http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27418-benjamini-hochbergyekutieli-procedure-for-controlling-false-discovery-rate</ref> - реализация на MathWorks.com * R: функция p.adjust<ref name="padj"> http://www.inside-r.org/r-doc/stats/p.adjust</ref> (с параметром <code>method="BH"</code>) из стандартного пакета <code>stats</code> позволяет получить модифицированные уровни значимости с учетом поправки метода Бенджамини-Хохберга. == Ссылки == <references /> == См. также == [[Метод Холма]] [[Метод Бенджамини-Иекутиели]] [[Категория:Прикладная статистика]] [[Категория:Множественная проверка гипотез]]

Возврат к странице Метод Бенджамини-Хохберга.