Просмотр

Материал из MachineLearning.

У вас нет прав на выполнение этой операции по следующим причинам:

• Вы не можете выполнять запрошенное действие.
• Вы должны подтвердить ваш адрес электронной почты перед правкой страниц. Пожалуйста, введите и подтвердите ваш адрес эл. почты на странице настроек.

Вы можете просмотреть и скопировать исходный текст этой страницы:

{{TOCright}} TODO: # Таблица ??? Найти в инете, скопировать и дать ссылку на источник? '''Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) для связных выборок''' (Wilcoxon signed-rank test) — [[непараметрический статистический критерий]], применяемый для оценки различий между двумя '''зависимыми''' выборками, взятыми из закона распределения, отличного от нормального, либо измеренными с использованием [[Теория измерений|порядковой шкалы]]. Критерий является [[Ранговый критерий|ранговым]], поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. == Пример задачи == Первая выборка - температура пациентов до начала лечения. Вторая - температура в точности этих же пациентов после введения лекарства. Требуется выяснить, повлияло ли применение лекарства на температуру больных. Выборки '''связные''', измерены в [[Теория измерений|порядковой шкале]]. == Описание критерия == Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>. '''Дополнительные предположения:''' * Обе выборки [[простая выборка|простые]]. * Выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки). '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \mathbb{P} \{x_i < y_i \} = 1/2</tex>. '''Вычисление статистики критерия:''' # Рассчитать значения разностей пар двух выборок. Нулевые разности далее не учитываются. <tex>N</tex> - количество ненулевых разностей. # Проранжировать модули разностей пар в возрастающем порядке. # Приписать рангам знаки соответствующих им разностей. # Рассчитать сумму <tex>R</tex> положительных рангов. '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): Против альтернативы <tex>H_1:\; \mathbb{P} \{ x_i < y_i \} \neq 1/2</tex>: : если <tex>R</tex> больше табличного значения критерия знаковых рангов Уилкоксона <tex>T^{+}</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 529 с.</ref><ref>Холлендер М., Вулф Д. Непараметрические методы статистики. — Табл. А.4.</ref> с уровнем значимости <tex>\alpha/2</tex> и числом степеней свободы <tex>N</tex>, то нулевая гипотеза отвергается. '''Асимптотический критерий:''' [[Изображение:Standard_Normal_Density_-_Right_Critical_Area.png|thumb|Критическая область критерия Уилкоксона для связных выборок.]] Рассмотрим нормированную и центрированную статистика Уилкоксона: :<tex>\tilde T = \frac{R - \frac{N(N+1)}{4}}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}</tex>; <tex>\tilde T</tex> асимптотически имеет стандартное нормальное распределение. Нулевая гипотеза (против альтернативы <tex>H_1</tex>) отвергается, если <tex> \tilde T \ge \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, где <tex>\Phi_{1-\alpha}</tex> есть <tex>(1-\alpha)</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения. Аппроксимация начинает работать при <tex>N \ge 15</tex>.<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref> '''Поправка:'''<ref>Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. — 223 с.</ref> В 1974 году Р. Иман предложил следующую аппроксимацию, обеспечивающую значительное снижение относительной ошибки для критических значений. Она использует линейную комбинацию нормальной и стьюдентовской квантилей. Положим: <tex>\tilde T ^{*} = \frac12 \tilde T \left[ 1 + \sqrt{(n-1)(n - (\tilde T)^2)} \right]</tex>. Гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается, если <tex>\tilde T ^{*} \ge (x_{1-\alpha}+y_{1-\alpha})/2</tex>, где <tex>x_{1-\alpha},\; y_{1-\alpha}</tex> обозначают соответственно квантили уровня <tex>1-\alpha</tex> стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с <tex>n-1</tex> степенью свободы. '''Случай совпадающих наблюдений:''' При наличии [[Вариационный ряд|связок]] необходимо учесть их с помощью поправки. Выражение в знаменателе нормированной и центрированной статистики Уилкоксона необходимо заменить на следующее: :<tex>\left{ \frac{N(N+1)(2N+1) - \frac{\sum_{j=1}^{g}{t_j(t_j-1)(t_j+1)}}{2}}{24} \right}^{1/2},</tex><ref>Лапач С. Н. Статистика в науке и бизнесе. — 156 с.</ref> :где <tex>g</tex> - количество связок, <tex>t_1, \ldots, t_g</tex> - их размеры. Для элементов связок вычисляется [[Вариационный ряд|средний ранг]]. '''Другие гипотезы:''' <tex>H_0:\; </tex> средняя разница между значениями пар двух выборок равна заданной константе A. <tex>H_1:\; </tex> средняя разница не равна A. В этом случае из каждой разности вычитается значение A, и дальнейшая обработка выполняется по описанной схеме. == Применение критерия == Метод часто используется для сравнения показателей выборки до и после эксперимента, в частности для проверки гипотезы о равенстве медиан в двух зависимых выборках. Вообще говоря, можно строить примеры, когда медианы выборок различны, а гипотеза <tex>H_0</tex> верна, поэтому применять критерий для проверки такой гипотезы следует с осторожностью. Аналогичными недостатками (в своей области применения) обладают [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный|двухвыборочный критерий Вилкоксона]] и [[Критерий_Уилкоксона-Манна-Уитни|U-критерий Манна-Уитни]].<ref>Орлов А. И. Эконометрика. — §4.5.</ref> Критерий является аналогом [[Критерий Стьюдента|t-критерия Стьюдента для связанных выборок]] в случае распределения, отличного от нормального, либо данных, измеренных в количественной шкале. К нормально распределённым совокупностям следует применять более мощный t-критерий. == История == Данный критерий назван именем Френка Уилкоксона (1892-1965). Статья, выпущенная им в 1945 году, содержала также описание [[Критерий_Уилкоксона_двухвыборочный|аналогичного метода]] для случая независимых выборок. == Примечания == <references/> == Литература == # ''Лапач С. Н., Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002. — 164-166 с. # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 457-458 с. # ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003. — §4.5. # ''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003. — 222-227 с. # ''Холлендер М., Вулф Д.'' Непараметрические методы статистики. — М.: Финансы и статистика, 1983. == Ссылки == * [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез. * [[Критерий Уилкоксона двухвыборочный]] — аналог критерия для случая независимых выборок. * [http://en.wikipedia.org/wiki/Wilcoxon_signed-rank_test Wilcoxon signed-rank test] — статья в англоязычной Википедии.

• Шаблон:TOCright

Возврат к странице Участник:Василий Ломакин/Критерий Уилкоксона для связных выборок.