Задача XOR

Задача XOR (исключающее ИЛИ) — классическая задача в области нейронных сетей и машинного обучения, которая иллюстрирует фундаментальное ограничение однослойного персептрона и демонстрирует необходимость использования многослойных архитектур для решения нелинейно разделимых проблем. Суть задачи заключается в построении классификатора для логической функции XOR, которая возвращает истинное значение (1), если её два бинарных входа различны, и ложное (0), если они совпадают. Задача XOR является простейшим случаем функции чётности (PARITY) для двух бит и широко используется как педагогический пример для объяснения принципов работы и ограничений нейросетей.

Постановка задачи

Даны четыре точки в двумерном пространстве признаков, соответствующие всем возможным комбинациям бинарных входов $x_1, x_2 \in \{0, 1\}$ :

$(0, 0) \rightarrow 0$
$(0, 1) \rightarrow 1$
$(1, 0) \rightarrow 1$
$(1, 1) \rightarrow 0$

Эти точки располагаются в углах единичного квадрата. Точки, принадлежащие разным классам (0 и 1), расположены по диагонали. Задача состоит в том, чтобы найти классификатор, который правильно разделит эти два класса.

Нелинейная разделимость

Ключевое свойство задачи XOR заключается в том, что она не является линейно разделимой. Это означает, что невозможно провести одну прямую линию на плоскости, которая бы разделила точки двух классов. Доказательство этого факта может быть выполнено геометрически или алгебраически. Например, любая попытка провести линию, разделяющую точки (0,0) и (1,1) от точек (0,1) и (1,0), обречена на неудачу, поскольку эти множества не являются выпуклыми и разделимыми гиперплоскостью.

Ограничения однослойного персептрона

Персептрон, предложенный Фрэнком Розенблаттом в 1957 году, представляет собой простейшую нейронную сеть, состоящую из одного слоя искусственных нейронов. Его выход для вектора признаков $\mathbf{x}$ вычисляется как $y = \sigma(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b)$ , где $\sigma$ — ступенчатая функция активации, $w_i$ — веса, $b$ — смещение.

Решение, которое может найти персептрон, эквивалентно построению линейной разделяющей поверхности (прямой на плоскости или гиперплоскости в многомерном пространстве). Было математически доказано, что персептрон не может выучить функцию XOR, поскольку она не является линейно разделимой. Это означает, что какой бы набор весов $w_1, w_2, b$ ни был выбран, всегда найдётся по крайней мере одна точка, которая будет классифицирована неверно.

Историческое значение: «Зима ИИ»

Доказательство неспособности персептрона решить задачу XOR стало центральным аргументом в книге Марвина Минского и Сеймура Пейперта «Персептроны» (1969 год). Авторы провели строгий математический анализ возможностей и ограничений однослойных персептронов. Хотя Минский и Пейперт знали, что добавление скрытого слоя может решить проблему, они указали на отсутствие в то время эффективного алгоритма обучения для таких сетей.

Критика, прозвучавшая в книге, оказала разрушительное влияние на область исследований нейронных сетей. Финансирование этой области было резко сокращено, а интерес к нейронным сетям практически угас на долгие годы. Этот период в истории искусственного интеллекта получил название «первая зима ИИ», которая длилась примерно с 1969 по середину 1980-х годов.

Решение задачи с помощью многослойного персептрона

Проблема XOR решается с помощью добавления одного или нескольких скрытых слоёв нейронов, что приводит к созданию многослойного персептрона (MLP). Ключевая идея заключается в том, чтобы разложить нелинейную функцию XOR на комбинацию более простых, линейно разделимых функций.

Как именно работает скрытый слой? Рассмотрим архитектуру с двумя нейронами в скрытом слое и одним выходным нейроном. Каждый нейрон скрытого слоя вычисляет взвешенную сумму своих входов и пропускает её через нелинейную функцию активации (например, сигмоиду или гиперболический тангенс).

Пример конкретных весов. Пусть скрытый слой состоит из двух нейронов:

Первый нейрон (назовём его $h_1$ ) настроен на распознавание ситуации, когда хотя бы один вход равен 1, но не оба одновременно (это можно сделать, задав веса $w_{11}=1, w_{12}=1$ и смещение $b_1=-0.5$ ). Тогда $h_1$ активируется (даёт выход близкий к 1) для точек (0,1) и (1,0), но не для (0,0) и (1,1). Это фактически реализует функцию OR без случая (1,1).
Второй нейрон (назовём его $h_2$ ) настроен на распознавание ситуации, когда оба входа равны 1. Веса $w_{21}=1, w_{22}=1$ и смещение $b_2=-1.5$ дают активацию, близкую к 1, только для точки (1,1). Это реализует функцию AND.

Теперь выходной нейрон комбинирует сигналы $h_1$ и $h_2$ . Если мы зададим веса $w_{out,1}=1$ , $w_{out,2}=-1$ и смещение $b_{out}=0.5$ , то выходной нейрон вычислит разность $h_1 - h_2$ , что даёт 1 для точек (0,1) и (1,0) (где $h_1=1, h_2=0$ ) и 0 для (0,0) и (1,1) (в первом случае оба 0, во втором $h_1=1, h_2=1$ и разность равна 0).

Таким образом, скрытый слой преобразует исходное пространство признаков $(x_1, x_2)$ в новое двумерное пространство $(h_1, h_2)$ , в котором точки становятся линейно разделимыми. В этом новом пространстве четыре точки располагаются следующим образом: (0,0) переходит в (0,0), (1,1) — в (1,1) (эти два класса лежат на диагонали), а (0,1) и (1,0) — в (1,0) и (0,1) соответственно. Теперь их можно разделить прямой линией. Обучение такой сети стало возможным благодаря разработке и популяризации алгоритма обратного распространения ошибки (backpropagation) в 1986 году, что положило конец «зиме ИИ» и привело к возрождению интереса к нейронным сетям.

Теорема о универсальной аппроксимации

Способность многослойных нейронных сетей решать задачу XOR является частным случаем более общего результата — теоремы о универсальной аппроксимации. Согласно этой теореме, многослойный персептрон с по крайней мере одним скрытым слоем и нелинейной функцией активации может аппроксимировать любую непрерывную функцию на компактном множестве с любой желаемой точностью. Это теоретическое обоснование делает MLP мощным инструментом для решения широкого круга задач, выходящих за рамки простой линейной классификации.

Альтернативные подходы к решению задачи XOR

Хотя многослойный персептрон является классическим решением, задача XOR может быть решена и другими методами, которые не используют нейронные сети:

Признаки высшего порядка (полиномиальные признаки). Можно вручную добавить нелинейные комбинации исходных признаков, например, перемножить $x_1$ и $x_2$ . Тогда линейный классификатор в пространстве признаков $(x_1, x_2, x_1 x_2)$ легко разделит точки, поскольку функция XOR может быть выражена как $x_1 + x_2 - 2 x_1 x_2$ . Это пример ручного инжиниринга признаков, который, однако, не масштабируется на сложные задачи.

Метод опорных векторов (SVM) с ядром. SVM с нелинейным ядром (например, RBF-ядро или полиномиальное ядро) способен решить XOR, поскольку ядро неявно отображает данные в пространство признаков более высокой размерности, где они становятся линейно разделимыми. Для XOR достаточно полиномиального ядра второй степени.

Метод k ближайших соседей (k-NN). Этот непараметрический алгоритм классификации решает XOR «естественным образом», поскольку он не строит линейной разделяющей поверхности, а основывается на голосовании ближайших соседей. Для четырех точек XOR при $k=1$ или $k=3$ классификация будет безошибочной (при условии правильного выбора метрики).

Деревья решений. Двоичное дерево решений может идеально разделить XOR, последовательно задавая вопросы о значениях признаков. Например, первое разбиение по $x_1$ , второе — по $x_2$ . Это показывает, что древовидные модели не страдают от проблемы линейной неразделимости.

Эти альтернативы подчёркивают, что задача XOR является не столько «проблемой» для машинного обучения в целом, сколько иллюстрацией ограничений конкретного класса моделей (линейных классификаторов и однослойных сетей).

Современное значение

Задача XOR сохраняет своё значение и в современных исследованиях. Она используется как простой тестовый полигон для изучения:

Динамики обучения нейронных сетей с помощью стохастического градиентного спуска (SGD).
Явления переобучения и обобщения в различных архитектурах.
Анализа поведения сетей в условиях «нулевого зазора» (zero-margin), когда данные лежат непосредственно на разделяющей поверхности.

Таким образом, задача XOR, начав свой путь как демонстрация фатального недостатка ранних нейросетей, превратилась в фундаментальный учебный пример и важный инструмент для понимания принципов глубокого обучения.

См. также

Примечания

Литература

Minsky, M., & Papert, S. (1969). Perceptrons. MIT Press.
Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., & Williams, R. J. (1986). Learning representations by back-propagating errors. Nature, 323(6088), 533-536.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_XOR»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Задача XOR ==
-'''Задача XOR''' (или '''проблема исключающего ИЛИ''') — классическая задача в области [[Искусственные нейронные сети|искусственных нейронных сетей]] и [[Машинное обучение|машинного обучения]], которая иллюстрирует ограничения однослойных [[Персептрон|персептронов]] и демонстрирует необходимость использования многослойных архитектур для решения нелинейно разделимых проблем . Эта задача сыграла ключевую роль в истории развития нейросетевых технологий, став одной из причин так называемой «зимы искусственного интеллекта» в 1970-х годах .
+'''Задача XOR''' (исключающее ИЛИ) — классическая задача в области [[искусственные нейронные сети|нейронных сетей]] и [[машинное обучение|машинного обучения]], которая иллюстрирует фундаментальное ограничение [[персептрон|однослойного персептрона]] и демонстрирует необходимость использования [[многослойный персептрон|многослойных архитектур]] для решения нелинейно разделимых проблем. Суть задачи заключается в построении классификатора для логической функции XOR, которая возвращает истинное значение (1), если её два бинарных входа различны, и ложное (0), если они совпадают. Задача XOR является простейшим случаем функции [[четность|чётности]] (PARITY) для двух бит и широко используется как педагогический пример для объяснения принципов работы и ограничений нейросетей.
-=== Определение ===
+== Постановка задачи ==
-Задача XOR представляет собой реализацию [[Логическая функция|логической функции]] «исключающее ИЛИ» (XOR) с помощью [[Нейронная сеть|нейронной сети]]. Функция принимает два [[Бинарные данные|бинарных]] входа и возвращает единицу тогда и только тогда, когда ровно один из входов равен единице .
+Даны четыре точки в двумерном пространстве признаков, соответствующие всем возможным комбинациям бинарных входов <tex>x_1, x_2 \in \{0, 1\}</tex>:
+* <tex>(0, 0) \rightarrow 0</tex>
+* <tex>(0, 1) \rightarrow 1</tex>
+* <tex>(1, 0) \rightarrow 1</tex>
+* <tex>(1, 1) \rightarrow 0</tex>
-Таблица истинности для функции XOR выглядит следующим образом :
+Эти точки располагаются в углах единичного квадрата. Точки, принадлежащие разным классам (0 и 1), расположены по диагонали. Задача состоит в том, чтобы найти классификатор, который правильно разделит эти два класса.
-{| class="wikitable" style="text-align:center;"
+== Нелинейная разделимость ==
-|+ Таблица истинности XOR
-|-
-! x₁ !! x₂ !! x₁ ⊕ x₂
-|-
-| 0 || 0 || 0
-|-
-| 0 || 1 || 1
-|-
-| 1 || 0 || 1
-|-
-| 1 || 1 || 0
-|}
-=== Нелинейная разделимость ===
+Ключевое свойство задачи XOR заключается в том, что она не является [[линейная разделимость|линейно разделимой]]. Это означает, что невозможно провести одну прямую линию на плоскости, которая бы разделила точки двух классов. Доказательство этого факта может быть выполнено геометрически или алгебраически. Например, любая попытка провести линию, разделяющую точки (0,0) и (1,1) от точек (0,1) и (1,0), обречена на неудачу, поскольку эти множества не являются выпуклыми и разделимыми гиперплоскостью.
-Главная причина, по которой задача XOR представляет сложность для однослойного персептрона, заключается в том, что она не является [[Линейная разделимость|линейно разделимой]] . Это означает, что невозможно провести одну прямую линию на плоскости (или [[Гиперплоскость|гиперплоскость]] в многомерном пространстве), которая разделила бы точки с выходом 0 и выходом 1 .
+== Ограничения однослойного персептрона ==
-Рассмотрим четыре точки на плоскости, соответствующие всем возможным комбинациям входов:
+[[Персептрон]], предложенный [[Фрэнк Розенблатт|Фрэнком Розенблаттом]] в 1957 году, представляет собой простейшую нейронную сеть, состоящую из одного слоя [[искусственный нейрон|искусственных нейронов]]. Его выход для вектора признаков <tex>\mathbf{x}</tex> вычисляется как <tex>y = \sigma(w_1 x_1 + w_2 x_2 + b)</tex>, где <tex>\sigma</tex> — ступенчатая функция активации, <tex>w_i</tex> — веса, <tex>b</tex> — смещение.
-* (0,0) и (1,1) принадлежат классу 0 (выход равен 0)
-* (0,1) и (1,0) принадлежат классу 1 (выход равен 1)
-Эти два множества точек не могут быть разделены прямой линией, что делает XOR классическим примером нелинейно разделимой задачи .
+Решение, которое может найти персептрон, эквивалентно построению линейной разделяющей поверхности (прямой на плоскости или гиперплоскости в многомерном пространстве). Было математически доказано, что персептрон не может выучить функцию XOR, поскольку она не является линейно разделимой. Это означает, что какой бы набор весов <tex>w_1, w_2, b</tex> ни был выбран, всегда найдётся по крайней мере одна точка, которая будет классифицирована неверно.
-=== Историческое значение ===
+=== Историческое значение: «Зима ИИ» ===
-Задача XOR приобрела широкую известность благодаря книге [[Марвин Минский|Марвина Минского]] и [[Сеймур Пейперт|Сеймура Пейперта]] «Персептроны» (1969 год) . В этой работе авторы математически доказали, что однослойный персептрон не способен решить задачу XOR .
+Доказательство неспособности персептрона решить задачу XOR стало центральным аргументом в книге [[Марвин Минский|Марвина Минского]] и [[Сеймур Пейперт|Сеймура Пейперта]] «'''Персептроны'''» (1969 год). Авторы провели строгий математический анализ возможностей и ограничений однослойных персептронов. Хотя Минский и Пейперт знали, что добавление скрытого слоя может решить проблему, они указали на отсутствие в то время эффективного алгоритма обучения для таких сетей.
-Этот результат имел далеко идущие последствия :
+Критика, прозвучавшая в книге, оказала разрушительное влияние на область исследований нейронных сетей. Финансирование этой области было резко сокращено, а интерес к нейронным сетям практически угас на долгие годы. Этот период в истории искусственного интеллекта получил название «'''[[Зима ИИ|первая зима ИИ]]'''», которая длилась примерно с 1969 по середину 1980-х годов.
-* Он продемонстрировал фундаментальные ограничения однослойных нейронных сетей.
-* Книга Минского и Пейперта способствовала снижению интереса к исследованиям в области нейронных сетей.
-* Начался период, известный как «зима искусственного интеллекта» (примерно 1969–1986 годы), характеризующийся сокращением финансирования и уменьшением количества публикаций в этой области .
-Важно отметить, что Минский и Пейперт указывали на ограничения только однослойных персептронов, а не всех нейронных сетей. Однако их работа часто интерпретировалась более широко .
+== Решение задачи с помощью многослойного персептрона ==
-=== Решение ===
+Проблема XOR решается с помощью добавления одного или нескольких '''[[скрытый слой|скрытых слоёв]]''' нейронов, что приводит к созданию '''[[многослойный персептрон|многослойного персептрона]]''' (MLP). Ключевая идея заключается в том, чтобы разложить нелинейную функцию XOR на комбинацию более простых, линейно разделимых функций.
-Задача XOR может быть решена с использованием [[Многослойный персептрон|многослойного персептрона]] (MLP), содержащего хотя бы один [[Скрытый слой|скрытый слой]] .
+Как именно работает скрытый слой? Рассмотрим архитектуру с двумя нейронами в скрытом слое и одним выходным нейроном. Каждый нейрон скрытого слоя вычисляет взвешенную сумму своих входов и пропускает её через нелинейную функцию активации (например, сигмоиду или гиперболический тангенс).
-==== Архитектура решения ====
+'''Пример конкретных весов'''. Пусть скрытый слой состоит из двух нейронов:
+* Первый нейрон (назовём его <tex>h_1</tex>) настроен на распознавание ситуации, когда хотя бы один вход равен 1, но не оба одновременно (это можно сделать, задав веса <tex>w_{11}=1, w_{12}=1</tex> и смещение <tex>b_1=-0.5</tex>). Тогда <tex>h_1</tex> активируется (даёт выход близкий к 1) для точек (0,1) и (1,0), но не для (0,0) и (1,1). Это фактически реализует функцию '''OR''' без случая (1,1).
+* Второй нейрон (назовём его <tex>h_2</tex>) настроен на распознавание ситуации, когда оба входа равны 1. Веса <tex>w_{21}=1, w_{22}=1</tex> и смещение <tex>b_2=-1.5</tex> дают активацию, близкую к 1, только для точки (1,1). Это реализует функцию '''AND'''.
+Теперь выходной нейрон комбинирует сигналы <tex>h_1</tex> и <tex>h_2</tex>. Если мы зададим веса <tex>w_{out,1}=1</tex>, <tex>w_{out,2}=-1</tex> и смещение <tex>b_{out}=0.5</tex>, то выходной нейрон вычислит разность <tex>h_1 - h_2</tex>, что даёт 1 для точек (0,1) и (1,0) (где <tex>h_1=1, h_2=0</tex>) и 0 для (0,0) и (1,1) (в первом случае оба 0, во втором <tex>h_1=1, h_2=1</tex> и разность равна 0).
-Типичная архитектура для решения задачи XOR включает :
+Таким образом, скрытый слой преобразует исходное пространство признаков <tex>(x_1, x_2)</tex> в новое двумерное пространство <tex>(h_1, h_2)</tex>, в котором точки становятся линейно разделимыми. В этом новом пространстве четыре точки располагаются следующим образом: (0,0) переходит в (0,0), (1,1) — в (1,1) (эти два класса лежат на диагонали), а (0,1) и (1,0) — в (1,0) и (0,1) соответственно. Теперь их можно разделить прямой линией. Обучение такой сети стало возможным благодаря разработке и популяризации '''[[алгоритм обратного распространения ошибки|алгоритма обратного распространения ошибки]]''' (backpropagation) в 1986 году, что положило конец «зиме ИИ» и привело к возрождению интереса к нейронным сетям.
-* Входной слой: 2 нейрона (для x₁ и x₂)
-* Скрытый слой: 2 нейрона (обычно с нелинейной [[Функция активации|функцией активации]])
-* Выходной слой: 1 нейрон
-Математически решение можно представить как композицию более простых логических операций :
+=== Теорема о универсальной аппроксимации ===
-. Первый нейрон скрытого слоя вычисляет логическое [[ИЛИ]] (OR).
-. Второй нейрон скрытого слоя вычисляет логическое [[И (логика)|И]] (AND).
-. Выходной нейрон комбинирует результаты: XOR = OR И НЕ (AND).
-Такая архитектура позволяет создавать нелинейные разделяющие поверхности, способные корректно классифицировать все четыре точки из таблицы истинности XOR .
+Способность многослойных нейронных сетей решать задачу XOR является частным случаем более общего результата — '''[[теорема о универсальной аппроксимации|теоремы о универсальной аппроксимации]]'''. Согласно этой теореме, многослойный персептрон с по крайней мере одним скрытым слоем и нелинейной функцией активации может аппроксимировать любую непрерывную функцию на компактном множестве с любой желаемой точностью. Это теоретическое обоснование делает MLP мощным инструментом для решения широкого круга задач, выходящих за рамки простой линейной классификации.
-==== Альтернативные подходы ====
+== Альтернативные подходы к решению задачи XOR ==
-Задача XOR также может быть решена с помощью:
+Хотя многослойный персептрон является классическим решением, задача XOR может быть решена и другими методами, которые не используют нейронные сети:
-* Добавления [[Признак (машинное обучение)|признаков]] высшего порядка (например, x₁·x₂) к однослойной сети .
-* Использования [[Ядровой метод|ядерных методов]] для преобразования данных в пространство большей размерности, где они становятся линейно разделимыми .
-=== Значение для машинного обучения ===
+* '''Признаки высшего порядка (полиномиальные признаки)'''. Можно вручную добавить нелинейные комбинации исходных признаков, например, перемножить <tex>x_1</tex> и <tex>x_2</tex>. Тогда линейный классификатор в пространстве признаков <tex>(x_1, x_2, x_1 x_2)</tex> легко разделит точки, поскольку функция XOR может быть выражена как <tex>x_1 + x_2 - 2 x_1 x_2</tex>. Это пример ручного инжиниринга признаков, который, однако, не масштабируется на сложные задачи.
-Задача XOR имеет большое педагогическое и историческое значение в машинном обучении :
+* '''Метод опорных векторов (SVM) с ядром'''. [[Метод опорных векторов|SVM]] с нелинейным ядром (например, [[радиальное базисное ядро|RBF-ядро]] или полиномиальное ядро) способен решить XOR, поскольку ядро неявно отображает данные в пространство признаков более высокой размерности, где они становятся линейно разделимыми. Для XOR достаточно полиномиального ядра второй степени.
-# '''Демонстрация ограничений''': Наглядно показывает, что линейные модели не могут решать все задачи, и подчеркивает важность нелинейных преобразований.
+* '''Метод k ближайших соседей ([[k-NN]])'''. Этот непараметрический алгоритм классификации решает XOR «естественным образом», поскольку он не строит линейной разделяющей поверхности, а основывается на голосовании ближайших соседей. Для четырех точек XOR при <tex>k=1</tex> или <tex>k=3</tex> классификация будет безошибочной (при условии правильного выбора метрики).
-# '''Обоснование глубины''': Иллюстрирует, почему необходимы глубокие архитектуры с несколькими слоями. Однослойная сеть не может решить XOR, в то время как двухслойная решает эту задачу тривиально .
-# '''Иерархическое обучение''': Пример показывает, как сложные функции могут быть построены как композиция более простых функций, что является основой [[Глубокое обучение|глубокого обучения]] .
-# '''Теоретическое обоснование''': Задача XOR является простейшим случаем более общей проблемы [[Функция чётности|функции чётности]] (parity function), которая также не является линейно разделимой при любом числе входов, кроме тривиальных случаев .
-=== См. также ===
+* '''Деревья решений'''. Двоичное [[дерево решений]] может идеально разделить XOR, последовательно задавая вопросы о значениях признаков. Например, первое разбиение по <tex>x_1</tex>, второе — по <tex>x_2</tex>. Это показывает, что древовидные модели не страдают от проблемы линейной неразделимости.
-* [[Персептрон]]
+Эти альтернативы подчёркивают, что задача XOR является не столько «проблемой» для машинного обучения в целом, сколько иллюстрацией ограничений конкретного класса моделей (линейных классификаторов и однослойных сетей).
+== Современное значение ==
+Задача XOR сохраняет своё значение и в современных исследованиях. Она используется как простой тестовый полигон для изучения:
+* Динамики обучения нейронных сетей с помощью [[стохастический градиентный спуск|стохастического градиентного спуска]] (SGD).
+* Явления [[переобучение|переобучения]] и обобщения в различных архитектурах.
+* Анализа поведения сетей в условиях «нулевого зазора» (zero-margin), когда данные лежат непосредственно на разделяющей поверхности.
+Таким образом, задача XOR, начав свой путь как демонстрация фатального недостатка ранних нейросетей, превратилась в фундаментальный учебный пример и важный инструмент для понимания принципов глубокого обучения.
+== См. также ==
+* [[Искусственный нейрон]]
 * [[Многослойный персептрон]]
-* [[Алгоритм обратного распространения ошибки]]
-* [[Универсальная теорема аппроксимации]]
-* [[Функция активации]]
 * [[Линейная разделимость]]
+* [[Алгоритм обратного распространения ошибки]]
+* [[Метод опорных векторов]]
+* [[Теорема о универсальной аппроксимации]]
+* [[Функция четности]]
+* [[Зима ИИ]]
-=== Примечания ===
+== Примечания ==
 <references />
-=== Литература ===
+== Литература ==
+* Minsky, M., & Papert, S. (1969). ''Perceptrons''. MIT Press.
-* Minsky, M., & Papert, S. (1969). ''Perceptrons: An Introduction to Computational Geometry''. MIT Press.
+* Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., & Williams, R. J. (1986). Learning representations by back-propagating errors. ''Nature'', 323(6088), 533-536.
-* Rumelhart, D. E., Hinton, G. E., & Williams, R. J. (1986). Learning representations by back-propagating errors. ''Nature'', 323(6088), 533-536.
-* Bishop, C. M. (2006). ''Pattern Recognition and Machine Learning''. Springer.
-* Goodfellow, I., Bengio, Y., & Courville, A. (2016). ''Deep Learning''. MIT Press.

Задача XOR

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание