Стохастический процесс

Материал из MachineLearning.

Версия 15:00, 18 июля 2026 (править) Denis Kistanov (Обсуждение | вклад) (Создание страницы) ← К предыдущему изменению		Текущая версия (15:52, 18 июля 2026) (править) (отменить) Denis Kistanov (Обсуждение | вклад) (Другая страница уже существует)
Строка 1:		Строка 1:
-	'''Стохастический процесс''' ('''случайный процесс'''; англ. stochastic process) — семейство [[Случайная величина|случайных величин]] <tex>X=(X_t)_{t\in T}</tex>, заданных на одном [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]] и принимающих значения в общем пространстве состояний. Индекс <tex>t</tex> часто интерпретируется как время, однако им также может быть пространственная координата, вершина графа, масштаб или иной параметр. Стохастические процессы служат математическими моделями систем, эволюция или наблюдения которых содержат случайность: временных рядов, очередей, популяций, сигналов, траекторий частиц, финансовых цен, сетевого трафика и скрытых состояний в моделях машинного обучения.<ref name="kallenberg2021">{{книга	+	#Redirect [[Случайный процесс]]
-	|автор = Kallenberg, O.	+
-	|заглавие = Foundations of Modern Probability	+
-	|издание = 3-е изд.	+
-	|место = Cham	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 2021	+
-	|isbn = 978-3-030-61870-4	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-3-030-61871-1	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	При фиксированном <tex>t</tex> величина <tex>X_t</tex> описывает случайное состояние системы, а при фиксированном элементарном исходе <tex>\omega</tex> функция <tex>t\mapsto X_t(\omega)</tex> называется '''траекторией''', '''реализацией''' или '''выборочной функцией''' процесса. Тем самым один процесс допускает два взаимодополняющих взгляда: как совокупность распределений в разные моменты и как случайно выбранную целую траекторию. В отличие от одной случайной величины, существенна зависимость между значениями при разных индексах.	+
-		+
-	<div style="float:right; margin:0 0 1em 1em;">__TOC__</div>	+
-		+
-	Теория стохастических процессов объединяет [[Теория вероятностей|теорию вероятностей]], [[Математическая статистика|математическую статистику]], [[Функциональный анализ|функциональный анализ]], [[Дифференциальное уравнение|дифференциальные уравнения]] и [[Эргодическая теория|эргодическую теорию]]. В зависимости от задачи изучают конечномерные распределения, регулярность траекторий, времена достижения, стационарность, спектр, предельное поведение, фильтрацию скрытого состояния или управление случайной системой.	+
-		+
-	== История ==	+
-		+
-	Историческими источниками теории были задачи о случайных блужданиях, страховых рисках, демографии, ошибках измерения и флуктуациях физических систем. В 1827 году ботаник Роберт Броун наблюдал нерегулярное движение микроскопических частиц в жидкости и опубликовал подробное описание в 1828 году.<ref name="brown1828">{{статья	+
-	|автор = Brown, R.	+
-	|заглавие = A Brief Account of Microscopical Observations Made in the Months of June, July, and August 1827, on the Particles Contained in the Pollen of Plants; and on the General Existence of Active Molecules in Organic and Inorganic Bodies	+
-	|издание = Philosophical Magazine, Series 2	+
-	|год = 1828	+
-	|том = 4	+
-	|номер = 21	+
-	|страницы = 161—173	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1080/14786442808674769	+
-	}}</ref> В диссертации 1900 года Луи Башелье применил непрерывную случайную модель к колебаниям биржевых цен, предвосхитив использование броуновского движения в математических финансах.<ref name="bachelier1900">{{статья	+
-	|автор = Bachelier, L.	+
-	|заглавие = Théorie de la spéculation	+
-	|издание = Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure	+
-	|год = 1900	+
-	|том = 17	+
-	|страницы = 21—86	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.24033/asens.476	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	В 1905 году Альберт Эйнштейн вывел количественную теорию броуновского движения из молекулярно-кинетических представлений и связал средний квадрат смещения с коэффициентом диффузии.<ref name="einstein1905">{{статья	+
-	|автор = Einstein, A.	+
-	|заглавие = Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen	+
-	|издание = Annalen der Physik	+
-	|год = 1905	+
-	|том = 322	+
-	|номер = 8	+
-	|страницы = 549—560	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1002/andp.19053220806	+
-	}}</ref> В 1906 году Андрей Андреевич Марков показал, что закон больших чисел можно получить для некоторых зависимых величин, связанных в цепь; из этой работы выросла теория [[Марковская цепь|марковских цепей]].<ref name="markov1906">{{статья	+
-	|автор = Марков, А. А.	+
-	|заглавие = Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга	+
-	|издание = Известия Физико-математического общества при Казанском университете, 2-я серия	+
-	|год = 1906	+
-	|том = 15	+
-	|страницы = 135—156	+
-	|ссылка = https://eudml.org/doc/128778	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	Норберт Винер в 1923 году построил меру на пространстве непрерывных функций, дав строгую математическую модель броуновского движения.<ref name="wiener1923">{{статья	+
-	|автор = Wiener, N.	+
-	|заглавие = Differential-Space	+
-	|издание = Journal of Mathematics and Physics	+
-	|год = 1923	+
-	|том = 2	+
-	|номер = 1—4	+
-	|страницы = 131—174	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1002/sapm192321131	+
-	}}</ref> Андрей Николаевич Колмогоров в 1931 году связал переходные вероятности марковских процессов с прямым и обратным дифференциальными уравнениями,<ref name="kolmogorov1931">{{статья	+
-	|автор = Kolmogoroff, A.	+
-	|заглавие = Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung	+
-	|издание = Mathematische Annalen	+
-	|год = 1931	+
-	|том = 104	+
-	|страницы = 415—458	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/BF01457949	+
-	}}</ref> а в монографии 1933 года сформулировал меро-теоретическую аксиоматику вероятности и теорему существования процесса по согласованным конечномерным распределениям.<ref name="kolmogorov1933">{{книга	+
-	|автор = Kolmogoroff, A.	+
-	|заглавие = Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung	+
-	|место = Berlin	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 1933	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-3-642-49888-6	+
-	}}</ref> Александр Яковлевич Хинчин в 1934 году развил корреляционную и спектральную теорию стационарных процессов.<ref name="khinchin1934">{{статья	+
-	|автор = Khintchine, A.	+
-	|заглавие = Korrelationstheorie der stationären stochastischen Prozesse	+
-	|издание = Mathematische Annalen	+
-	|год = 1934	+
-	|том = 109	+
-	|страницы = 604—615	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/BF01449156	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	В 1930—1940-х годах Поль Леви систематизировал процессы с независимыми приращениями, а [[Мартингал|мартингалы]] стали одним из центральных языков анализа случайной эволюции. Киёси Ито в 1944 году определил стохастический интеграл, положив начало исчислению Ито и современной теории [[Стохастическое дифференциальное уравнение|стохастических дифференциальных уравнений]].<ref name="ito1944">{{статья	+
-	|автор = Itô, K.	+
-	|заглавие = Stochastic Integral	+
-	|издание = Proceedings of the Imperial Academy	+
-	|год = 1944	+
-	|том = 20	+
-	|номер = 8	+
-	|страницы = 519—524	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.3792/pia/1195572786	+
-	}}</ref> Монография Джозефа Дуба 1953 года объединила процессы с дискретным и непрерывным временем, условные ожидания, мартингалы, марковские и стационарные процессы в единой меро-теоретической схеме.<ref name="doob1953">{{книга	+
-	|автор = Doob, J. L.	+
-	|заглавие = Stochastic Processes	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = John Wiley & Sons	+
-	|год = 1953	+
-	|isbn = 978-0-471-21813-5	+
-	|ссылка = https://books.google.com/books?id=zbsrAAAAYAAJ	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	Во второй половине XX века теория расширилась за счёт стохастической фильтрации, случайных полей, точечных процессов, процессов взаимодействующих частиц, стохастических уравнений в частных производных и численных методов. В статистике и машинном обучении особое значение получили модели пространства состояний, скрытые марковские модели и гауссовские процессы; в XXI веке стохастические дифференциальные уравнения используются также в непрерывновременных нейросетевых и диффузионных генеративных моделях.	+
-		+
-	== Основная идея ==	+
-		+
-	Детерминированная модель назначает каждому моменту единственное состояние. Стохастическая модель назначает распределение над возможными траекториями. Например, формула <tex>x(t)=x_0+vt</tex> описывает равномерное движение, тогда как процесс <tex>X_t=x_0+vt+\sigma W_t</tex> добавляет накопленное случайное возмущение <tex>W_t</tex>. Параметр <tex>\sigma</tex> задаёт масштаб неопределённости, но зависимость во времени определяется всей совместной структурой процесса, а не только дисперсией каждого <tex>X_t</tex>.	+
-		+
-	Процесс не следует отождествлять с одной наблюдаемой последовательностью. '''Процесс''' — вероятностная модель ансамбля возможных реализаций; '''временной ряд''' — одна конечная, часто зашумлённая и нерегулярно измеренная реализация. Статистический вывод восстанавливает свойства процесса по ограниченным наблюдениям и потому требует предположений, например стационарности, эргодичности, марковости или параметрической формы.	+
-		+
-	=== Классификация ===	+
-		+
-	Основные типы различают по нескольким признакам.	+
-		+
-	* '''По множеству индексов.''' При <tex>T={\bf N}</tex> или <tex>{\bf Z}</tex> время дискретно; при <tex>T=[0,\infty)</tex> или <tex>{\bf R}</tex> — непрерывно. При многомерном индексе получают [[Случайное поле|случайное поле]].	+
-	* '''По пространству состояний.''' Оно может быть конечным или счётным, евклидовым, функциональным, множеством графов, мер или распределений в смысле обобщённых функций.	+
-	* '''По структуре зависимости.''' Выделяют процессы с независимыми приращениями, [[Марковский процесс|марковские процессы]], мартингалы, стационарные и эргодические процессы, процессы с долгой памятью.	+
-	* '''По траекториям.''' Траектории бывают дискретными, непрерывными, кусочно-постоянными, абсолютно непрерывными или càdlàg, то есть непрерывными справа и имеющими пределы слева.	+
-	* '''По закону.''' Важны гауссовские, пуассоновские, ветвящиеся, точечные, процессы восстановления и процессы Леви.	+
-		+
-	Эти классы пересекаются. Например, винеровский процесс одновременно гауссовский, марковский, имеет независимые стационарные приращения и является мартингалом, но сам не стационарен.	+
-		+
-	== Математические основы ==	+
-		+
-	=== Определение и траектории ===	+
-		+
-	Пусть <tex>(\Omega,{\cal F},P)</tex> — вероятностное пространство, <tex>(S,{\cal S})</tex> — измеримое пространство состояний, а <tex>T</tex> — множество индексов. Стохастический процесс — семейство измеримых отображений	+
-		+
-	::<tex>X_t:(\Omega,{\cal F})\longrightarrow(S,{\cal S}),\qquad t\in T.</tex>	+
-		+
-	Эквивалентно, при подходящей сигма-алгебре на пространстве функций процесс можно рассматривать как случайный элемент <tex>X:\Omega\longrightarrow S^T</tex>. Для несчётного <tex>T</tex> измеримость отображения в функциональное пространство и свойства траекторий требуют отдельного внимания: координатная сигма-алгебра сама по себе не гарантирует непрерывности или измеримости траекторий.	+
-		+
-	Два процесса называются '''модификациями''', если для каждого фиксированного <tex>t</tex> их значения совпадают почти наверное. Они '''неразличимы''', если с вероятностью единица совпадают одновременно для всех <tex>t</tex>. При несчётном множестве индексов первое свойство слабее второго. В прикладных моделях обычно выбирают регулярную модификацию — например, непрерывную или càdlàg.	+
-		+
-	=== Конечномерные распределения ===	+
-		+
-	Для любых <tex>t_1,\ldots,t_n\in T</tex> совместный закон вектора	+
-		+
-	::<tex>(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})</tex>	+
-		+
-	называется конечномерным распределением процесса. Совокупность всех таких законов полностью определяет распределение процесса на цилиндрической сигма-алгебре. Если задано семейство мер <tex>\mu_{t_1,\ldots,t_n}</tex>, инвариантное относительно перестановки координат и согласованное при удалении координат, то при стандартных условиях теорема Колмогорова о продолжении гарантирует существование процесса с этими конечномерными распределениями.<ref name="kolmogorov1933" />	+
-		+
-	Согласованность означает, в частности,	+
-		+
-	::<tex>\mu_{t_1,\ldots,t_n}(A_1\mathbin{\times}\cdots\mathbin{\times}A_{n-1}\mathbin{\times}S)=\mu_{t_1,\ldots,t_{n-1}}(A_1\mathbin{\times}\cdots\mathbin{\times}A_{n-1}).</tex>	+
-		+
-	Теорема существования не утверждает, что траектории обладают удобной регулярностью. Один из стандартных критериев непрерывности: если для некоторых <tex>\alpha,\beta,C>0</tex>	+
-		+
-	::<tex>E|X_t-X_s|^\alpha\leq C|t-s|^{1+\beta},</tex>	+
-		+
-	то процесс с вещественным параметром имеет непрерывную модификацию, траектории которой локально гёльдеровы любого порядка меньше <tex>\beta/\alpha</tex>. Это условие достаточное, но не необходимое.<ref name="kallenberg2021" />	+
-		+
-	=== Среднее, ковариация и условные распределения ===	+
-		+
-	Для вещественного процесса с конечными вторыми моментами определяют функцию среднего и ковариационную функцию	+
-		+
-	::<tex>m(t)=E X_t,\qquad K(s,t)={\rm Cov}(X_s,X_t)=E[(X_s-m(s))(X_t-m(t))].</tex>	+
-		+
-	Ковариационная функция симметрична и неотрицательно определена:	+
-		+
-	::<tex>\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_i a_j K(t_i,t_j)\geq0.</tex>	+
-		+
-	Для гауссовского процесса функции <tex>m</tex> и <tex>K</tex> полностью определяют все конечномерные распределения. Для негауссовского процесса совпадение средних и ковариаций, вообще говоря, не означает совпадения законов: различаться могут асимметрия, хвосты и зависимости высших порядков.	+
-		+
-	Информация, накопленная к моменту <tex>t</tex>, формализуется [[Фильтрация (теория вероятностей)|фильтрацией]] <tex>({\cal F}_t)</tex>, то есть возрастающим семейством сигма-алгебр. Процесс называется '''адаптированным''', если <tex>X_t</tex> измерима относительно <tex>{\cal F}_t</tex>. Это исключает использование будущей информации при определении текущего состояния или стратегии.	+
-		+
-	=== Стационарность, корреляция и спектр ===	+
-		+
-	Процесс '''строго стационарен''', если для любых <tex>n</tex>, моментов <tex>t_1,\ldots,t_n</tex> и сдвига <tex>h</tex> векторы	+
-		+
-	::<tex>(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})\quad\hbox{и}\quad(X_{t_1+h},\ldots,X_{t_n+h})</tex>	+
-		+
-	имеют одинаковое распределение. Процесс '''стационарен в широком смысле''', если <tex>m(t)=m</tex>, а ковариация зависит только от лага:	+
-		+
-	::<tex>K(s,t)=R(t-s).</tex>	+
-		+
-	Строгая стационарность при конечных вторых моментах влечёт стационарность в широком смысле, но обратное верно не всегда; для гауссовских процессов оно верно. Нормированная функция <tex>\rho(h)=R(h)/R(0)</tex> называется [[Автокорреляционная функция|автокорреляционной функцией]].	+
-		+
-	По теореме Бохнера непрерывная неотрицательно определённая функция <tex>R</tex> допускает спектральное представление	+
-		+
-	::<tex>R(h)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{ih\lambda}\,F(d\lambda),</tex>	+
-		+
-	где <tex>F</tex> — конечная неотрицательная спектральная мера. Если она имеет плотность <tex>f</tex>, то <tex>f</tex> называют [[Спектральная плотность|спектральной плотностью]]. Эта связь лежит в основе спектрального анализа стационарных процессов и теоремы Винера — Хинчина.<ref name="khinchin1934" />	+
-		+
-	'''Эргодичность''' означает, в грубой интуитивной формулировке, возможность восстанавливать ансамблевые характеристики по одной достаточно длинной траектории. Для стационарного эргодического процесса и интегрируемой функции <tex>g</tex> временные средние при стандартных условиях удовлетворяют	+
-		+
-	::<tex>\frac1n\sum_{t=1}^{n}g(X_t)\longrightarrow E g(X_0)</tex>	+
-		+
-	почти наверное. Стационарность сама по себе эргодичность не гарантирует: смесь нескольких стационарных режимов может сохранять распределение при сдвиге, но одна траектория остаётся в случайно выбранном режиме.	+
-		+
-	=== Марковское свойство и полугруппа ===	+
-		+
-	Адаптированный процесс является марковским, если условное распределение будущего при известном настоящем не зависит от более далёкого прошлого. Для однородного по времени процесса это записывают как	+
-		+
-	::<tex>P(X_{t+s}\in A\mid{\cal F}_t)=P_s(X_t,A),</tex>	+
-		+
-	где <tex>P_s(x,A)</tex> — переходное ядро. Переходные ядра удовлетворяют уравнению Чепмена — Колмогорова	+
-		+
-	::<tex>P_{t+s}(x,A)=\int_S P_t(x,dy)P_s(y,A).</tex>	+
-		+
-	На функциях ядро задаёт полугруппу <tex>P_t f(x)=E_x f(X_t)</tex> с соотношением <tex>P_{t+s}=P_tP_s</tex>. Инфинитезимальный генератор полугруппы определяется на подходящей области функций пределом	+
-		+
-	::<tex>{\cal A}f=\lim_{t\downarrow0}\frac{P_t f-f}{t}.</tex>	+
-		+
-	Обратное уравнение Колмогорова имеет формальный вид <tex>\partial_t u={\cal A}u</tex>, а прямое уравнение описывает эволюцию распределения сопряжённым оператором <tex>{\cal A}^*</tex>. При наличии плотности последнее часто называется уравнением Фоккера — Планка. Связь переходных вероятностей с этими уравнениями была систематически установлена Колмогоровым.<ref name="kolmogorov1931" />	+
-		+
-	=== Мартингалы и моменты остановки ===	+
-		+
-	Интегрируемый адаптированный процесс <tex>(M_t)</tex> называется мартингалом относительно <tex>({\cal F}_t)</tex>, если для <tex>s\leq t</tex>	+
-		+
-	::<tex>E(M_t\mid{\cal F}_s)=M_s.</tex>	+
-		+
-	Мартингал моделирует «честную игру»: при всей текущей информации условный прогноз будущего значения равен настоящему. Если вместо равенства стоит <tex>\geq</tex> или <tex>\leq</tex>, получают субмартингал или супермартингал. Важны [[Момент остановки|моменты остановки]] <tex>\tau</tex>, событие <tex>\{\tau\leq t\}</tex> для которых известно к моменту <tex>t</tex>. Теоремы об остановке, неравенства Дуба и сходимость мартингалов дают средства анализа времен достижения, последовательных процедур и стохастических интегралов.<ref name="doob1953" />	+
-		+
-	Более широкий класс [[Семимартингал|семимартингалов]] допускает разложение на локальный мартингал и процесс конечной вариации. Семимартингалы являются естественными интеграторами классического стохастического исчисления и включают диффузии и многие процессы со скачками.	+
-		+
-	=== Типы сходимости ===	+
-		+
-	Для процессов различают поточечную сходимость случайных величин, сходимость конечномерных распределений и сходимость законов в функциональном пространстве. Последняя требует не только сходимости конечномерных распределений, но и '''плотности''' семейства мер, препятствующей уходу вероятностной массы в слишком нерегулярные траектории. Для непрерывных траекторий обычно используют пространство <tex>C[0,T]</tex> с равномерной нормой, а для càdlàg-траекторий — пространство Скорохода <tex>D[0,T]</tex> со специальными топологиями.	+
-		+
-	Функциональные предельные теоремы сильнее обычных предельных теорем. Например, принцип инвариантности утверждает, что должным образом нормированное случайное блуждание сходится по распределению как случайная функция к винеровскому процессу. Такое приближение объясняет универсальность диффузионных моделей, но не означает равенства дискретной и непрерывной моделей при конечном масштабе.	+
-		+
-	== Основные классы и примеры ==	+
-		+
-	=== Случайное блуждание ===	+
-		+
-	Пусть <tex>\xi_1,\xi_2,\ldots</tex> — независимые одинаково распределённые случайные величины. Процесс	+
-		+
-	::<tex>S_n=S_0+\sum_{k=1}^{n}\xi_k</tex>	+
-		+
-	называется [[Случайное блуждание|случайным блужданием]]. При <tex>P(\xi_k=1)=P(\xi_k=-1)=1/2</tex> получают простое симметричное блуждание. Оно служит базовой моделью накопления независимых возмущений, а после масштабирования приводит к броуновскому движению.	+
-		+
-	=== Пуассоновский процесс ===	+
-		+
-	[[Пуассоновский процесс]] <tex>(N_t)_{t\geq0}</tex> с интенсивностью <tex>\lambda>0</tex> — считающий процесс с <tex>N_0=0</tex>, независимыми стационарными приращениями и законом	+
-		+
-	::<tex>P(N_t-N_s=k)=e^{-\lambda(t-s)}\frac{[\lambda(t-s)]^k}{k!},\qquad 0\leq s<t.</tex>	+
-		+
-	Промежутки между событиями независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметром <tex>\lambda</tex>. Неоднородный пуассоновский процесс допускает интенсивность <tex>\lambda(t)</tex>, а случайные и зависящие от истории интенсивности приводят к процессам Кокса и самовозбуждающимся процессам Хоукса.	+
-		+
-	=== Винеровский процесс ===	+
-		+
-	Стандартный [[Винеровский процесс|винеровский процесс]], или математическое броуновское движение, <tex>(W_t)_{t\geq0}</tex> удовлетворяет условиям: <tex>W_0=0</tex>, имеет независимые стационарные приращения, <tex>W_t-W_s\sim{\cal N}(0,t-s)</tex> при <tex>s<t</tex> и почти наверное непрерывные траектории. Его среднее и ковариация равны	+
-		+
-	::<tex>E W_t=0,\qquad {\rm Cov}(W_s,W_t)=\min(s,t).</tex>	+
-		+
-	Несмотря на непрерывность, траектории почти наверное нигде не дифференцируемы и имеют бесконечную вариацию на любом невырожденном интервале. Квадратичная вариация на <tex>[0,t]</tex> равна <tex>t</tex>; именно это свойство приводит к дополнительному члену во формуле Ито.<ref name="wiener1923" />	+
-		+
-	=== Гауссовские процессы ===	+
-		+
-	Процесс называется [[Гауссовский процесс|гауссовским]], если любой конечный вектор <tex>(X_{t_1},\ldots,X_{t_n})</tex> имеет многомерное нормальное распределение. Его закон задаётся функцией среднего и неотрицательно определённым ядром ковариации. В машинном обучении гауссовский процесс используют как распределение над функциями: после наблюдений условное распределение остаётся гауссовским, что даёт аналитические формулы для регрессии при гауссовском шуме.<ref name="rasmussen2006">{{книга	+
-	|автор = Rasmussen, C. E.; Williams, C. K. I.	+
-	|заглавие = Gaussian Processes for Machine Learning	+
-	|место = Cambridge, MA	+
-	|издательство = MIT Press	+
-	|год = 2006	+
-	|isbn = 978-0-262-18253-9	+
-	|ссылка = https://gaussianprocess.org/gpml/	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	Выбор ковариационного ядра задаёт априорные свойства функций: гладкость, периодичность, характерный масштаб и анизотропию. Не всякая формула является допустимым ядром; матрица <tex>[K(t_i,t_j)]</tex> должна быть неотрицательно определённой для любого конечного набора точек.	+
-		+
-	=== Процесс Орнштейна — Уленбека ===	+
-		+
-	Процесс Орнштейна — Уленбека является решением линейного стохастического дифференциального уравнения	+
-		+
-	::<tex>dX_t=\theta(\mu-X_t)dt+\sigma dW_t,\qquad \theta>0.</tex>	+
-		+
-	Дрейф возвращает состояние к уровню <tex>\mu</tex>, а винеровский член непрерывно вносит шум. При стационарном начальном распределении процесс гауссовский и имеет	+
-		+
-	::<tex>E X_t=\mu,\qquad {\rm Cov}(X_s,X_t)=\frac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta|t-s|}.</tex>	+
-		+
-	Это простейшая непрерывновременная модель возврата к среднему; она используется в физике, финансах, биологии и как компонент гауссовских и пространственно-временных моделей.	+
-		+
-	=== Марковские цепи и скрытые состояния ===	+
-		+
-	В дискретном времени и конечном пространстве состояний марковская цепь задаётся матрицей переходов <tex>P=(p_{ij})</tex>, где <tex>p_{ij}=P(X_{n+1}=j\mid X_n=i)</tex>. Распределение <tex>\pi</tex> стационарно, если <tex>\pi P=\pi</tex>. Неприводимость и апериодичность конечной цепи обеспечивают единственность стационарного распределения и сходимость к нему.	+
-		+
-	В [[Скрытая марковская модель|скрытой марковской модели]] марковская цепь <tex>X_t</tex> непосредственно не наблюдается, а наблюдения <tex>Y_t</tex> условно независимы при заданных состояниях. Алгоритм прямого-обратного прохода вычисляет сглаженные вероятности состояний, алгоритм Витерби — наиболее вероятную последовательность, а алгоритм Баума — Уэлча оценивает параметры как частный случай EM-алгоритма. Такие модели долгое время были основным вероятностным аппаратом распознавания речи и применяются в биоинформатике и анализе последовательностей.<ref name="rabiner1989">{{статья	+
-	|автор = Rabiner, L. R.	+
-	|заглавие = A Tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition	+
-	|издание = Proceedings of the IEEE	+
-	|год = 1989	+
-	|том = 77	+
-	|номер = 2	+
-	|страницы = 257—286	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1109/5.18626	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Процессы Леви, восстановления и точечные процессы ===	+
-		+
-	'''Процесс Леви''' имеет независимые стационарные приращения, начинается в нуле и непрерывен по вероятности. Он обобщает винеровский и пуассоновский процессы, допуская как непрерывную гауссовскую часть, так и скачки. Его одномерные распределения бесконечно делимы, а структура задаётся триплетом Леви — Хинчина.	+
-		+
-	В '''процессе восстановления''' моменты событий образуются суммами независимых положительных времен ожидания. Пуассоновский процесс является частным случаем с экспоненциальными ожиданиями. '''Точечный процесс''' моделирует случайное локально конечное множество событий во времени или пространстве. У процесса Хоукса каждое событие временно повышает условную интенсивность будущих событий; такая кластеризация применяется для землетрясений, транзакций и сетевых событий.<ref name="hawkes1971">{{статья	+
-	|автор = Hawkes, A. G.	+
-	|заглавие = Spectra of Some Self-Exciting and Mutually Exciting Point Processes	+
-	|издание = Biometrika	+
-	|год = 1971	+
-	|том = 58	+
-	|номер = 1	+
-	|страницы = 83—90	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1093/biomet/58.1.83	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Ветвящиеся процессы и случайные поля ===	+
-		+
-	[[Ветвящийся процесс|Ветвящиеся процессы]] описывают популяции, в которых особи независимо порождают случайное число потомков. В процессе Гальтона — Ватсона критическое значение среднего числа потомков отделяет почти неизбежное вымирание от положительной вероятности неограниченного роста.	+
-		+
-	Случайное поле <tex>(X_t)_{t\in T}</tex> имеет многомерный индекс, например <tex>t\in{\bf R}^d</tex>. Оно моделирует изображения, рельеф, температуру, деформации и пространственную зависимость. [[Марковское случайное поле|Марковские случайные поля]] задают локальные условные зависимости на графе; гауссовские случайные поля удобны для пространственной интерполяции и решения обратных задач.	+
-		+
-	== Стохастическое исчисление и диффузии ==	+
-		+
-	=== Интеграл Ито ===	+
-		+
-	Обычный интеграл Римана — Стилтьеса по траектории винеровского процесса, вообще говоря, не определён из-за её бесконечной вариации. Для предсказуемого квадратично интегрируемого процесса <tex>H_t</tex> интеграл Ито строят как предел сумм, где значение подынтегрального процесса берётся в левом конце интервала:	+
-		+
-	::<tex>\int_0^t H_s\,dW_s=\lim_{|\Pi|\longrightarrow0}\sum_i H_{t_i}(W_{t_{i+1}}-W_{t_i}).</tex>	+
-		+
-	Предел понимается сначала в среднем квадратичном. Основное равенство — изометрия Ито:	+
-		+
-	::<tex>E\left(\int_0^t H_s\,dW_s\right)^2=E\int_0^t H_s^2\,ds.</tex>	+
-		+
-	Интеграл Ито является мартингалом при стандартных условиях. Альтернативный интеграл Стратоновича использует симметричные суммы и лучше сохраняет обычные правила дифференцирования, но коэффициент дрейфа при переходе между двумя интерпретациями изменяется.<ref name="karatzas1991">{{книга	+
-	|автор = Karatzas, I.; Shreve, S. E.	+
-	|заглавие = Brownian Motion and Stochastic Calculus	+
-	|издание = 2-е изд.	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 1991	+
-	|isbn = 978-0-387-97655-6	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0949-2	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Стохастические дифференциальные уравнения ===	+
-		+
-	Диффузионный процесс в <tex>{\bf R}^d</tex> часто задают уравнением Ито	+
-		+
-	::<tex>dX_t=b(X_t,t)dt+\sigma(X_t,t)dW_t.</tex>	+
-		+
-	Здесь <tex>b</tex> — коэффициент дрейфа, <tex>\sigma</tex> — матрица диффузии, а запись означает интегральное равенство	+
-		+
-	::<tex>X_t=X_0+\int_0^t b(X_s,s)ds+\int_0^t\sigma(X_s,s)dW_s.</tex>	+
-		+
-	Различают '''сильное решение''', построенное на заданном вероятностном пространстве и заданном винеровском процессе, и '''слабое решение''', для которого разрешено выбирать вероятностное пространство вместе с шумом. Локальная липшицевость коэффициентов и условие линейного роста дают стандартные достаточные условия существования и траекторной единственности сильного решения; существуют более слабые результаты, а при нерегулярных коэффициентах единственность может нарушаться.	+
-		+
-	Для гладкой функции <tex>f(x,t)</tex> формула Ито имеет вид	+
-		+
-	::<tex>df(X_t,t)=\left(f_t+\sum_i b_i f_i+\frac12\sum_{i,j}(\sigma\sigma^T)_{ij}f_{ij}\right)dt+\sum_{i,k}\sigma_{ik}f_i\,dW_t^k.</tex>	+
-		+
-	Вторые производные появляются из-за ненулевой квадратичной вариации. Генератор однородной диффузии равен	+
-		+
-	::<tex>{\cal A}f(x)=\sum_i b_i(x)f_i(x)+\frac12\sum_{i,j}(\sigma(x)\sigma(x)^T)_{ij}f_{ij}(x).</tex>	+
-		+
-	Если распределение <tex>X_t</tex> имеет гладкую плотность <tex>p(x,t)</tex>, то она формально удовлетворяет уравнению Фоккера — Планка	+
-		+
-	::<tex>\frac{\partial p}{\partial t}=-\sum_i\frac{\partial}{\partial x_i}(b_i p)+\frac12\sum_{i,j}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}[(\sigma\sigma^T)_{ij}p].</tex>	+
-		+
-	Связь между стохастическим представлением и дифференциальными уравнениями позволяет вычислять вероятности выхода и ожидания функционалов траектории методами как вероятностного моделирования, так и численного решения уравнений в частных производных.	+
-		+
-	== Моделирование, оценивание и диагностика ==	+
-		+
-	=== Имитация траекторий ===	+
-		+
-	Метод моделирования зависит от класса процесса.	+
-		+
-	* Для конечной марковской цепи на каждом шаге генерируют новое состояние из строки матрицы переходов.	+
-	* Для пуассоновского и более общих событийных процессов моделируют времена ожидания или применяют прореживание по верхней границе интенсивности.	+
-	* Для гауссовского процесса на конечной сетке генерируют многомерный нормальный вектор с заданной ковариационной матрицей; прямое разложение плотной матрицы требует кубического времени по числу точек.	+
-	* Для химической кинетики алгоритм Гиллеспи генерирует точные по закону времена и типы реакций в модели непрерывновременной марковской цепи.<ref name="gillespie1977">{{статья	+
-	|автор = Gillespie, D. T.	+
-	|заглавие = Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions	+
-	|издание = The Journal of Physical Chemistry	+
-	|год = 1977	+
-	|том = 81	+
-	|номер = 25	+
-	|страницы = 2340—2361	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1021/j100540a008	+
-	}}</ref>	+
-	* Для стохастического дифференциального уравнения простейшая схема Эйлера — Маруямы имеет вид	+
-		+
-	::<tex>X_{n+1}=X_n+b(X_n,t_n)\Delta t+\sigma(X_n,t_n)\sqrt{\Delta t}\,Z_n,\qquad Z_n\sim{\cal N}(0,I).</tex>	+
-		+
-	При достаточно регулярных коэффициентах типичный сильный порядок этой схемы равен <tex>1/2</tex>, а слабый — <tex>1</tex>. Сильная ошибка сравнивает приближённую и точную траектории на одном шуме, слабая — ожидания тестовых функций. Для жёстких, вырожденных, отражённых или многомасштабных систем требуются специальные методы; уменьшение шага необходимо проверять экспериментом сходимости.<ref name="kloeden1992">{{книга	+
-	|автор = Kloeden, P. E.; Platen, E.	+
-	|заглавие = Numerical Solution of Stochastic Differential Equations	+
-	|место = Berlin	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 1992	+
-	|isbn = 978-3-540-54062-5	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Оценивание и фильтрация ===	+
-		+
-	Параметры процесса оценивают методом максимального правдоподобия, методом моментов, обобщённым методом моментов, байесовскими методами или по контрастам, построенным из переходных плотностей и спектра. Для непрерывновременного процесса, наблюдаемого на дискретной сетке, точная переходная плотность часто неизвестна; тогда используют приближённое правдоподобие, фильтры, частичное наблюдение, методы Монте-Карло или схемы data augmentation.	+
-		+
-	В модели пространства состояний	+
-		+
-	::<tex>X_t\sim p(x_t\mid x_{t-1}),\qquad Y_t\sim p(y_t\mid x_t)</tex>	+
-		+
-	скрытый процесс <tex>X_t</tex> восстанавливают по наблюдениям <tex>Y_{1:t}</tex>. '''Фильтрация''' оценивает <tex>p(x_t\mid y_{1:t})</tex>, '''прогноз''' — будущее состояние, а '''сглаживание''' использует также последующие наблюдения. Для линейной гауссовской модели все эти распределения гауссовские и рекурсивно вычисляются [[Фильтр Калмана|фильтром Калмана]].<ref name="kalman1960">{{статья	+
-	|автор = Kalman, R. E.	+
-	|заглавие = A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems	+
-	|издание = Journal of Basic Engineering	+
-	|год = 1960	+
-	|том = 82	+
-	|номер = 1	+
-	|страницы = 35—45	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1115/1.3662552	+
-	}}</ref> Для нелинейных или негауссовских моделей применяют расширенный и сигма-точечный фильтры, [[Последовательный метод Монте-Карло|частичные фильтры]] и другие последовательные методы Монте-Карло; их приближения могут иметь существенное смещение или вырождение весов.	+
-		+
-	=== Диагностика модели ===	+
-		+
-	Ни один отдельный график или тест не подтверждает адекватность стохастической модели. Обычно совместно проверяют:	+
-		+
-	* соответствие маргинальных распределений, квантилей, экстремумов и длительностей режимов;	+
-	* автокорреляцию, частную автокорреляцию, спектр и кросс-корреляции;	+
-	* остатки или инновации: после условного моделирования они не должны сохранять предсказуемую структуру;	+
-	* стационарность, сезонность, структурные сдвиги и возможные единичные корни;	+
-	* калибровку вероятностных прогнозов, покрытие предиктивных интервалов и качество вне обучающего периода;	+
-	* чувствительность к шагу дискретизации, частоте наблюдений, начальному состоянию и априорным предположениям;	+
-	* воспроизведение содержательно важных статистик в симуляциях из подогнанной модели.	+
-		+
-	Оценка автокорреляции по короткой траектории имеет большую неопределённость, особенно при медленном смешивании и долгой памяти. Множественное тестирование по многим лагам создаёт ложные обнаружения. Для пространственных процессов аналогичную роль играют вариограмма, пространственные остатки и проверка анизотропии.	+
-		+
-	== Трудности и ограничения ==	+
-		+
-	=== Наблюдаемость и идентифицируемость ===	+
-		+
-	Разные процессы могут порождать почти неразличимые данные на доступной сетке наблюдений. Дрейф и диффузию непрерывновременной модели трудно разделить по короткой или редко измеренной траектории; шум измерения может быть спутан с быстрыми изменениями скрытого состояния. Неидентифицируемость не устраняется выбором более сложного алгоритма оптимизации.	+
-		+
-	=== Нестационарность и неэргодичность ===	+
-		+
-	Реальные системы изменяют режим, тренд, сезонность и механизм генерации данных. Оценки, основанные на стационарности, могут усреднять несовместимые режимы. Даже строго стационарный процесс может быть неэргодическим, поэтому временное среднее одной реализации не обязано оценивать ансамблевое ожидание.	+
-		+
-	=== Выбор масштаба и зависимость ===	+
-		+
-	Марковское свойство зависит от выбранного состояния: процесс, не являющийся марковским в одной координате, может стать марковским после добавления скрытых переменных. Аналогично, независимость приращений и белый шум часто являются приближениями, справедливыми лишь на определённом временном масштабе. Агрегирование, пропуски и нерегулярная частота наблюдений меняют вид зависимости.	+
-		+
-	=== Редкие события и высокая размерность ===	+
-		+
-	Вероятности катастроф, первых выходов и экстремальных нагрузок могут определяться областями, почти не встречающимися в обычной симуляции. Наивный метод Монте-Карло тогда требует недостижимого числа траекторий; применяют выборку по значимости, расщепление траекторий и методы больших уклонений, но их эффективность чувствительна к конструкции предложения. В многомерных процессах дополнительно возникают вычислительная сложность ковариационных матриц, вырождение частичных фильтров и трудность оценки зависимостей.	+
-		+
-	=== Ошибка модели и численная ошибка ===	+
-		+
-	Следует разделять как минимум четыре источника неопределённости: случайность самого процесса, погрешность измерения, статистическую ошибку оценки параметров и ошибку численного приближения. Малая дискретизационная ошибка не делает неверную модель адекватной, а хорошее совпадение нескольких сводных статистик не гарантирует правильного распределения траекторий.	+
-		+
-	Стохастическая зависимость также не равна причинности. Предсказуемость одного ряда по другому может возникнуть из-за общей скрытой причины, отбора данных или нестационарности; причинные утверждения требуют дополнительных предположений или экспериментального дизайна.	+
-		+
-	== Современные направления исследований ==	+
-		+
-	=== Нерегулярные сигналы и сингулярные уравнения ===	+
-		+
-	Теория грубых путей рассматривает дифференциальные уравнения, управляемые очень нерегулярными сигналами, дополняя путь информацией об итерированных интегралах. Она даёт устойчивое, в существенной части детерминированное описание решений и охватывает броуновские и более общие шумы.<ref name="lyons1998">{{статья	+
-	|автор = Lyons, T. J.	+
-	|заглавие = Differential Equations Driven by Rough Signals	+
-	|издание = Revista Matemática Iberoamericana	+
-	|год = 1998	+
-	|том = 14	+
-	|номер = 2	+
-	|страницы = 215—310	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.4171/RMI/240	+
-	}}</ref> Теория регулярностных структур позволяет придавать строгий смысл широкому классу сингулярных нелинейных стохастических уравнений в частных производных, где произведения распределений классически не определены.<ref name="hairer2014">{{статья	+
-	|автор = Hairer, M.	+
-	|заглавие = A Theory of Regularity Structures	+
-	|издание = Inventiones Mathematicae	+
-	|год = 2014	+
-	|том = 198	+
-	|номер = 2	+
-	|страницы = 269—504	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/s00222-014-0505-4	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Долгая память и аномальная диффузия ===	+
-		+
-	Модели с независимыми приращениями не описывают длительную зависимость. Дробное броуновское движение — гауссовский самоподобный процесс с параметром Хёрста <tex>H\in(0,1)</tex> и ковариацией	+
-		+
-	::<tex>{\rm Cov}(B_s^H,B_t^H)=\frac12(s^{2H}+t^{2H}-|t-s|^{2H}).</tex>	+
-		+
-	При <tex>H=1/2</tex> это обычное броуновское движение; при других <tex>H</tex> приращения зависимы и процесс не является семимартингалом в стандартной фильтрации. Дробные и многомасштабные модели применяются к аномальной диффузии и сигналам с долгой памятью, но оценивание <tex>H</tex> чувствительно к трендам, конечной длине ряда и шуму.<ref name="mandelbrot1968">{{статья	+
-	|автор = Mandelbrot, B. B.; Van Ness, J. W.	+
-	|заглавие = Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications	+
-	|издание = SIAM Review	+
-	|год = 1968	+
-	|том = 10	+
-	|номер = 4	+
-	|страницы = 422—437	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1137/1010093	+
-	}}</ref>	+
-		+
-	=== Стохастические модели в машинном обучении ===	+
-		+
-	Современные исследования объединяют вероятностную структуру с обучаемыми компонентами. Нейронные стохастические дифференциальные уравнения параметризуют дрейф или диффузию нейронными сетями; непрерывновременные модели удобны для нерегулярных рядов и скрытой динамики, но требуют устойчивых численных решателей и контроля идентифицируемости.	+
-		+
-	В диффузионных генеративных моделях прямой процесс постепенно добавляет шум к данным, а обученная модель приближает обратную динамику. Непрерывновременная формулировка через стохастические дифференциальные уравнения объединяет несколько дискретных диффузионных и score-based конструкций; обратный дрейф зависит от градиента логарифма промежуточной плотности.<ref name="song2021">{{статья	+
-	|автор = Song, Y.; Sohl-Dickstein, J.; Kingma, D. P.; Kumar, A.; Ermon, S.; Poole, B.	+
-	|заглавие = Score-Based Generative Modeling through Stochastic Differential Equations	+
-	|издание = International Conference on Learning Representations	+
-	|год = 2021	+
-	|ссылка = https://openreview.net/pdf?id=PxTIG12RRHS	+
-	}}</ref> Теоретические вопросы включают ошибку оценки score-функции, дискретизацию обратного процесса, вычислительную стоимость генерации и поведение вне распределения обучения.	+
-		+
-	=== Высокая размерность и сложная структура ===	+
-		+
-	Активно развиваются масштабируемые гауссовские процессы, нелинейная фильтрация, стохастические процессы на графах и многообразиях, высокоразмерные точечные процессы, взаимодействующие системы частиц и стохастическая оптимизация. Общая задача состоит не только в повышении предсказательной точности, но и в сохранении структурных свойств: положительной определённости ковариации, инвариантных мер, ограничений состояния, симметрий и корректной калибровки неопределённости.	+
-		+
-	== Применения ==	+
-		+
-	* '''Машинное обучение и анализ данных.''' Гауссовские процессы задают распределения над функциями, скрытые марковские модели — последовательности скрытых классов, модели пространства состояний — латентную динамику, а диффузионные процессы — механизм генерации сложных данных.	+
-	* '''Обработка сигналов и управление.''' Стохастические модели используются для фильтрации шумных измерений, слежения за объектами, навигации, обнаружения изменений, прогнозирования и оптимального управления.	+
-	* '''Физика и химия.''' Броуновское движение, уравнения Ланжевена, процессы взаимодействующих частиц и стохастические уравнения описывают диффузию, тепловые флуктуации, фазовые переходы и кинетику реакций.	+
-	* '''Биология и медицина.''' Ветвящиеся и популяционные процессы моделируют размножение и эпидемии; процессы рождения и смерти — молекулярные сети; скрытые состояния — последовательности генов и физиологические режимы.	+
-	* '''Теория массового обслуживания и надёжность.''' Считающие процессы описывают поступления заявок и отказы, процессы восстановления — ремонты, а марковские и регенерирующие модели — загрузку и время ожидания.	+
-	* '''Финансы и страхование.''' Диффузии и процессы со скачками моделируют цены и процентные ставки, считающие процессы — убытки и дефолты, а мартингальная теория лежит в основе безарбитражного оценивания производных инструментов.	+
-	* '''Геофизика, климат и телекоммуникации.''' Пространственно-временные поля, процессы экстремумов и самовозбуждающиеся процессы применяют к погоде, землетрясениям, гидрологии, трафику и отказам сетей.	+
-		+
-	Во всех областях интерпретация параметров и область применимости зависят от масштаба наблюдений и механизма получения данных. Одинаковая формальная модель может быть полезной эффективной аппроксимацией в одной задаче и неверной в другой.	+
-		+
-	== См. также ==	+
-		+
-	* [[Теория вероятностей]]	+
-	* [[Случайная величина]]	+
-	* [[Случайное блуждание]]	+
-	* [[Марковская цепь]]	+
-	* [[Марковский процесс]]	+
-	* [[Мартингал]]	+
-	* [[Винеровский процесс]]	+
-	* [[Пуассоновский процесс]]	+
-	* [[Гауссовский процесс]]	+
-	* [[Скрытая марковская модель]]	+
-	* [[Стохастическое дифференциальное уравнение]]	+
-	* [[Случайное поле]]	+
-	* [[Анализ временных рядов]]	+
-	* [[Метод Монте-Карло]]	+
-		+
-	== Примечания ==	+
-		+
-	<references />	+
-		+
-	== Литература ==	+
-		+
-	* {{книга	+
-	|автор = Doob, J. L.	+
-	|заглавие = Stochastic Processes	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = John Wiley & Sons	+
-	|год = 1953	+
-	|isbn = 978-0-471-21813-5	+
-	|ссылка = https://books.google.com/books?id=zbsrAAAAYAAJ	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Kallenberg, O.	+
-	|заглавие = Foundations of Modern Probability	+
-	|издание = 3-е изд.	+
-	|место = Cham	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 2021	+
-	|isbn = 978-3-030-61870-4	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-3-030-61871-1	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Karatzas, I.; Shreve, S. E.	+
-	|заглавие = Brownian Motion and Stochastic Calculus	+
-	|издание = 2-е изд.	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 1991	+
-	|isbn = 978-0-387-97655-6	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0949-2	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Çinlar, E.	+
-	|заглавие = Probability and Stochastics	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 2011	+
-	|isbn = 978-0-387-87858-4	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-0-387-87859-1	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Pavliotis, G. A.	+
-	|заглавие = Stochastic Processes and Applications: Diffusion Processes, the Fokker–Planck and Langevin Equations	+
-	|место = New York	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 2014	+
-	|isbn = 978-1-4939-1322-0	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-1-4939-1323-7	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Kloeden, P. E.; Platen, E.	+
-	|заглавие = Numerical Solution of Stochastic Differential Equations	+
-	|место = Berlin	+
-	|издательство = Springer	+
-	|год = 1992	+
-	|isbn = 978-3-540-54062-5	+
-	|ссылка = https://doi.org/10.1007/978-3-662-12616-5	+
-	}}	+
-	* {{книга	+
-	|автор = Rasmussen, C. E.; Williams, C. K. I.	+
-	|заглавие = Gaussian Processes for Machine Learning	+
-	|место = Cambridge, MA	+
-	|издательство = MIT Press	+
-	|год = 2006	+
-	|isbn = 978-0-262-18253-9	+
-	|ссылка = https://gaussianprocess.org/gpml/	+
-	}}	+
-		+
-	== Ссылки ==	+
-		+
-	* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Stochastic_process Stochastic process в Encyclopedia of Mathematics]	+
-	* [https://gaussianprocess.org/gpml/ Открытая электронная версия Gaussian Processes for Machine Learning]	+
-	* [https://www.jstage.jst.go.jp/article/pjab1912/20/8/20_8_519/_article Оригинальная статья К. Ито «Stochastic Integral» в архиве J-STAGE]	+
-		+
-	[[Категория:Теория вероятностей]]	+
-	[[Категория:Случайные процессы]]	+
-	[[Категория:Анализ временных рядов]]	+
-	[[Категория:Энциклопедия анализа данных]]	+

---

Текущая версия

1. Redirect Случайный процесс