Алгоритм СТОЛП

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Алгоритм СТОЛП (STOLP) — алгоритм отбора эталонных объектов для метрического классификатора.

Содержание

1 Назначение алгоритма
2 Эталоны
3 Величина риска
4 Алгоритм STOLP
5 Особенности алгоритма
6 Литература
7 См. также

Назначение алгоритма

Пусть дана обучающая выборка $X^l=(x_i, y_i)_{i=1}^l$ , где $x_i$ — объекты, $y_i=y^*(x_i)$ — классы, которым принадлежат эти объекты. Кроме того, задана метрика $\rho \: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$ , такая, что выполняется гипотеза компактности. При классификации объектов метрическим классификатором $a(u, X^l) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \Gamma_y (u, X^l) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^l[y_u^(i)=y]w(i, u)$ , например, методом ближайших соседей необходимо вычислять расстояния от классифицируемого объекта до всех объектов обучающей выборки. Время, затрачиваемое на это для каждого классифицируемого объекта, пропорционально размеру обучающей выборки. Кроме того, оказывается необходимым хранить большой объем данных.

Но не все объекты обучающей выборки равноценны. Среди них есть наиболее типичные представители классов, то есть эталоны; неинформативные объекты, при удалении которых из обучающей выборки качество классификации не изменится; выбросы, или шумовые объекты — объекты, находящиеся в гуще «чужого» класса, только ухудшающие качество классификации.

Поэтому необходимо уменьшить объем обучающей выборки, оставив в ней только эталонные объекты для каждого класса.

Эталоны

Эталоны — это такое подмножество выборки $X^l$ , что все объекты $X^l$ (или их большая часть) классифицируются правильно при использовании в качестве обучающей выборки множества эталонов.
Эталонами i-го класса при классификации методом ближайшего соседа может служить такое подмножество объектов этого класса, что расстояние от любого принадлежащего ему объекта из выборки $X^l$ до ближайшего «своего» эталона меньше, чем до ближайшего «чужого» эталона.

Простой перебор для отбора эталонов не эффективен, так как число способов выбора по t эталонов для каждого класса (число классов k) составляет $\prod_{j=1}^k C_{m_j}^t$ . Алгоритм STOLP позволяет сократить этот перебор

Величина риска

Величина риска (W) — величина, характеризующая степень риска для объекта быть классифицированным не в тот класс, которому он принадлежит.

При использовании метода ближайшего соседа можно считать $W(x_i)=\rho_{in}(x_i)/\rho_{out}(x_i)$ , где $\rho_{in}$ — расстояние от объекта $x_i$ до ближайшего к нему объекта (или эталона) из «своего» класса, $\rho_{out}$ — до ближайшего объекта (или эталона) «чужого» класса.
При использовании любого метрического метода можно положить $W(x_i)=-M(x_i, \Omega)$ , где $M(x_i, \Omega)=\Gamma_{y_i}-\max_{y \in Y \setminus y_i} \Gamma_y (x_i)$ — отступ на объекте $x_i$ при обучающей выборке $\Omega$ , где $\Omega$ — множество эталонов.

Кроме того, в зависимости от используемого метода классификации можно подобрать и другие оценки величины риска. Главное, чтобы они принимали большие значения на объектах-выбросах, меньшие — на объектах, находящихся на границе класса, и еще меньшие — на объектах, находящихся в глубине своего класса.

Алгоритм STOLP

Вход

Выборка $X^l$
Допустимая доля ошибок $l_0$
Порог отсечения выбросов δ
Алгоритм классификации
Формула для вычисления величины риска W.

Описание алгоритма

Отбросить выбросы (объекты $X^l$ с W>δ)
Сформировать начальное приближение $\Omega$ — из объектов выборки $X^l$ выбрать по одному объекту каждого класса, обладающему среди объектов данного класса максимальной величиной риска^[1] либо минимальной величиной риска^[1]
Наращивание множества эталонов (пока число объектов выборки , распознаваемых неправильно, не станет меньше ):
- Классифицировать объекты $X^l$ , используя в качестве обучающей выборки $\Omega$
- Пересчитать величины риска для всех объектов $X^l \setminus \Omega$ с учетом изменения обучающей выборки
- Среди объектов каждого класса, распознанных неправильно, выбрать объекты с максимальной величиной риска и добавить их к $\Omega$

Результат

Множество эталонов $\Omega \in X^l$ для каждого класса представляет собой некоторый набор объектов, находящихся на границе класса, и, если в качестве начального приближения выбирались объекты с минимальной величиной риска, один объект, находящийся в центре класса.

Особенности алгоритма

Результат работы алгоритма — разбиение всего множества объектов $X^l$ на эталонные, шумовые (выбросы) и неинформативные объекты.
Возможен вариант, при котором в обучающей выборке все объекты, принадлежащие одному из классов, имеют W, большую порога отсечения выбросов. Тогда они окажутся отброшены на первом шаге алгоритма. В таком случае имеет смысл сначала сформировать начальное приближение Ω, а потом отбросить объекты с W, большей δ, кроме объектов, входящих в Ω. Но это возможно только при формировании начального приближения множества эталонов из объектов с наименьшей величиной риска, поскольку иначе в начальное приближение попадет большое количество выбросов.
Алгоритм STOLP имеет относительно низкую эффективность (порядка $O(l^2)$ ), так как на каждой итерации для присоединения очередного эталона необходимо заново классифицировать все объекты, еще не ставшие эталонами и считать на них величину риска. Для ускорения работы можно добавлять по несколько далеко отстоящих друг от друга эталонов, не пересчитывая величины риска.

Литература

См. также

Метрический классификатор

Метод ближайших соседей

Отступ

Алгоритм FRiS-СТОЛП

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:LuarSoll

Преподаватель: Участник:Константин Воронцов

Срок: 31 декабря 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A1%D0%A2%D0%9E%D0%9B%D0%9F»

Категории: Метрические алгоритмы классификации | Непроверенные учебные задания

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Алгоритм СТОЛП''' (STOLP) - алгоритм отбора эталонных объектов для [[Метрический классификатор|метрического классификатора]].
+'''Алгоритм СТОЛП''' (STOLP) — алгоритм отбора эталонных объектов для [[Метрический классификатор|метрического классификатора]].
-==Назначение алгоритма==
+== Назначение алгоритма ==
-Пусть дана [[Обучающая выборка|обучающая выборка]] <tex>X^l=(x_i, y_i)_{i=1}^l</tex>, где <tex>x_i</tex> - объекты, <tex>y_i=y^*(x_i)</tex> - классы, которым принадлежат эти объекты. Кроме того, задана [[Метрика|метрика]] <tex>\rho \: X \times X \rightarrow \mathbb{R}</tex>, такая, что выполняется [[Гипотеза компактности|гипотеза компактности]]. При классификации объектов [[Метрический классификатор|метрическим классификатором]], например, [[Метод ближайших соседей|методом ближайших соседей]] необходимо вычислять расстояния от классифицируемого объекта до всех объектов обучающей выборки. При этом время, затрачиваемое на это для каждого классифицируемого объекта, пропорционально размеру обучающей выборки. Кроме того, оказывается необходимым хранить большой объем данных.
+Пусть дана [[Обучающая выборка|обучающая выборка]] <tex>X^l=(x_i, y_i)_{i=1}^l</tex>, где <tex>x_i</tex> — объекты, <tex>y_i=y^*(x_i)</tex> — классы, которым принадлежат эти объекты. Кроме того, задана [[Метрика|метрика]] <tex>\rho \: X \times X \rightarrow \mathbb{R}</tex>, такая, что выполняется [[Гипотеза компактности|гипотеза компактности]]. При классификации объектов [[Метрический классификатор|метрическим классификатором]] <tex>a(u, X^l) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \Gamma_y (u, X^l) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^l[y_u^(i)=y]w(i, u)</tex>, например, [[Метод ближайших соседей|методом ближайших соседей]] необходимо вычислять расстояния от классифицируемого объекта до всех объектов обучающей выборки. Время, затрачиваемое на это для каждого классифицируемого объекта, пропорционально размеру обучающей выборки. Кроме того, оказывается необходимым хранить большой объем данных.
-Но не все объекты обучающей выборки равноценны. Среди них есть и наиболее типичные представители классов, то есть ''эталоны'', и ''неинформативные'' объекты, при удалении которых из обучающей выборки качество классификации не изменится, и ''выбросы'', или ''шумовые объекты'' - объекты, находящиеся в гуще "чужого" класса, только ухудшающие качество классификации.
+Но не все объекты обучающей выборки равноценны. Среди них есть наиболее типичные представители классов, то есть ''эталоны''; ''неинформативные'' объекты, при удалении которых из обучающей выборки качество классификации не изменится; ''выбросы'', или ''шумовые объекты'' — объекты, находящиеся в гуще «чужого» класса, только ухудшающие качество классификации.
 Поэтому необходимо уменьшить объем обучающей выборки, оставив в ней только эталонные объекты для каждого класса.
-==Эталоны==
+== Эталоны ==
-*Эталонами для i-го класса могут служить такие объекты этого класса, что [[Метрика|расстояние]] от любого принадлежащего ему объекта из [[Обучающая выборка|обучающей выборки]] расстояние до ближайшего "своего" эталона больше, чем расстояние до ближайшего "чужого" эталона, то есть все объекты [[Обучающая выборка|обучающей выборки]] [[Классификация|классифицируются]] правильно по набору эталонов.
+* Эталоны — это такое подмножество выборки <tex>X^l</tex>, что все объекты <tex>X^l</tex> (или их большая часть) классифицируются правильно при использовании в качестве обучающей выборки множества эталонов.
-*Кроме того, эталон можно определить как объект с большим положительным [[Отступ|отступом]].
+* Эталонами i-го класса при классификации [[Метод ближайшего соседа|методом ближайшего соседа]] может служить такое подмножество объектов этого класса, что [[Метрика|расстояние]] от любого принадлежащего ему объекта из выборки <tex>X^l</tex> до ближайшего «своего» эталона меньше, чем до ближайшего «чужого» эталона.
-Простой перебор для отбора эталонов не эффективен, так как число способов выбора по t эталонов для каждого класса (число классов k) составляет <tex>\prod_{j=1}^k C_{m_j}^t</tex>. Но перебор вариантов можно сократить при помощи алгоритма STOLP
+Простой перебор для отбора эталонов не эффективен, так как число способов выбора по t эталонов для каждого класса (число классов k) составляет <tex>\prod_{j=1}^k C_{m_j}^t</tex>. Алгоритм STOLP позволяет сократить этот перебор
-==Алгоритм STOLP==
+== Величина риска ==
-===Вход===
+Величина риска (W) — величина, характеризующая степень риска для объекта быть классифицированным не в тот класс, которому он принадлежит.
-*Выборка <tex>X^l</tex>
+* При использовании [[Метод ближайшего соседа|метода ближайшего соседа]] можно считать <tex>W(x_i)=\rho_{in}(x_i)/\rho_{out}(x_i)</tex>, где <tex>\rho_{in}</tex> — расстояние от объекта <tex>x_i</tex> до ближайшего к нему объекта (или эталона) из «своего» класса, <tex>\rho_{out}</tex> — до ближайшего объекта (или эталона) «чужого» класса.
-*Допустимая доля ошибок <tex>l_0</tex>
+* При использовании любого [[Метрический классификатор|метрического метода]] можно положить <tex>W(x_i)=-M(x_i, \Omega)</tex>, где <tex>M(x_i, \Omega)=\Gamma_{y_i}-\max_{y \in Y \setminus y_i} \Gamma_y (x_i)</tex> — [[Отступ|отступ]] на объекте <tex>x_i</tex> при обучающей выборке <tex>\Omega</tex>, где <tex>\Omega</tex> — множество эталонов.
-*Порог отсечения выбросов δ
+Кроме того, в зависимости от используемого метода классификации можно подобрать и другие оценки величины риска. Главное, чтобы они принимали большие значения на объектах-выбросах, меньшие — на объектах, находящихся на границе класса, и еще меньшие — на объектах, находящихся в глубине своего класса.
-Кроме того, известны алгоритм классификации и формула вычисления величины риска (W) для объекта быть распознанным как объект чужого класса.
-===Выход===
+== Алгоритм STOLP ==
-Построить множество эталонов Ω∈X<sup>l</sup>
-===Описание алгоритма===
+=== Вход ===
-* отбросить выбросы (объекты <tex>X^l</tex> с W, большей некоторой константы δ)
+* Выборка <tex>X^l</tex>
-* сформировать начальное приближение Ω - выбрать из каждого класса по объекту, обладающему
+* Допустимая доля ошибок <tex>l_0</tex>
-**либо максимальной величиной риска<ref>{{книга |автор= Загоруйко Н. Г. |заглавие = Прикладные методы анализа данных и знаний. |место = Новосибирск |издательство = ИМ СО РАН |год = 1999}}</ref>
+* Порог отсечения выбросов δ
-**минимальной величиной риска<ref>{{книга |автор = Воронцов К.В. |заглавие = Лекции по метрическим алгоритмам классификации | ссылка = http://www.machinelearning.ru/wiki/images/9/9d/Voron-ML-Metric.pdf}}</ref>
+* Алгоритм классификации
-* наращивание множества эталонов (пока число объектов, распознанных неправильно, не станет меньше <tex>l_0</tex>):
+* Формула для вычисления величины риска W.
-** [[Классификация|классифицировать]] объекты <tex>X^l</tex>, используя в качестве обучающей выборки Ω
-** пересчитать величины риска
-** среди объектов каждого класса, распознанных неправильно, выбрать объекты с максимальным W, добавляемые к Ω
-===Примечания===
+=== Описание алгоритма ===
-* возможен вариант, при котором в [[Обучающая выборка|обучающей выборке]] все объекты, принадлежащие одному из классов, имеют W, большую порога отсечения выбросов. Тогда они окажутся отброшены на первом шаге алгоритма. В таком случае имеет смысл сначала сформировать начальное приближение Ω, а потом отбросить объекты с W, большей δ, кроме объектов, входящих в Ω
+* Отбросить выбросы (объекты <tex>X^l</tex> с W>δ)
-* если для классификации объектов <tex>X^l</tex> при построении множества эталонов используется метод ближайшего соседа, то W можно вычислять как отношение расстояния от данного объекта до ближайшего объекта "своего" класса к расстоянию до ближайшего объекта "чужого" класса
+* Сформировать начальное приближение <tex>\Omega</tex> — из объектов выборки <tex>X^l</tex> выбрать по одному объекту каждого класса, обладающему среди объектов данного класса максимальной величиной риска<ref>{{книга |автор= Загоруйко Н. Г. |заглавие = Прикладные методы анализа данных и знаний. |место = Новосибирск |издательство = ИМ СО РАН |год = 1999}}</ref> либо минимальной величиной риска<ref>{{книга |автор = Воронцов К.В. |заглавие = Лекции по метрическим алгоритмам классификации | ссылка = http://www.machinelearning.ru/wiki/images/9/9d/Voron-ML-Metric.pdf}}</ref>
-* независимо от алгоритма, используемого для классификации <tex>X^l</tex>, в качестве W можно взять <tex>-M(x_i, \Omega)</tex>, где <tex>M(x_i, \Omega)</tex> - [[Отступ|отступ]] на объекте <tex>x_i</tex> при текущем наборе эталонов Ω
+* Наращивание множества эталонов (пока число объектов выборки <tex>X^l</tex>, распознаваемых неправильно, не станет меньше <tex>l_0</tex>):
+** Классифицировать объекты <tex>X^l</tex>, используя в качестве обучающей выборки <tex>\Omega</tex>
+** Пересчитать величины риска для всех объектов <tex>X^l \setminus \Omega</tex> с учетом изменения обучающей выборки
+** Среди объектов каждого класса, распознанных неправильно, выбрать объекты с максимальной величиной риска и добавить их к <tex>\Omega</tex>
-==Особенности алгоритма==
+=== Результат ===
-* Результат работы алгоритма - разбиение всего множества объектов <tex>X^l</tex> на эталонные, шумовые (выбросы) и неинформативные.
+Множество эталонов <tex>\Omega \in X^l</tex> для каждого класса представляет собой некоторый набор объектов, находящихся на границе класса, и, если в качестве начального приближения выбирались объекты с минимальной величиной риска, один объект, находящийся в центре класса.
-* Алгоритм STOLP имеет относительно низкую эффективность, так как на каждой итерации для присоединения очередного эталона необходимо заново классифицировать все объекты, еще не ставшие эталонами и считать на них величину риска. Для ускорения работы можно добавлять по несколько далеко отстоящих друг от друга эталонов, не пересчитывая величины риска.
-==Литература==
+== Особенности алгоритма ==
+* Результат работы алгоритма — разбиение всего множества объектов <tex>X^l</tex> на эталонные, шумовые (выбросы) и неинформативные объекты.
+* Возможен вариант, при котором в [[Обучающая выборка|обучающей выборке]] все объекты, принадлежащие одному из классов, имеют W, большую порога отсечения выбросов. Тогда они окажутся отброшены на первом шаге алгоритма. В таком случае имеет смысл сначала сформировать начальное приближение Ω, а потом отбросить объекты с W, большей δ, кроме объектов, входящих в Ω. Но это возможно только при формировании начального приближения множества эталонов из объектов с наименьшей величиной риска, поскольку иначе в начальное приближение попадет большое количество выбросов.
+* Алгоритм STOLP имеет относительно низкую эффективность (порядка <tex>O(l^2)</tex>), так как на каждой итерации для присоединения очередного эталона необходимо заново классифицировать все объекты, еще не ставшие эталонами и считать на них величину риска. Для ускорения работы можно добавлять по несколько далеко отстоящих друг от друга эталонов, не пересчитывая величины риска.
+== Литература ==
 <references/>
-==См. также==
+== См. также ==
 [[Метрический классификатор]]
@@ Строка 52: / Строка 54: @@
 [[Отступ]]
-[[алгоритм FRiS-СТОЛП]]
+[[Алгоритм FRiS-СТОЛП]]
 [[Категория:Метрические алгоритмы классификации]]
 {{Задание|LuarSoll|Константин Воронцов|31 декабря 2009}}