Метод потенциальных функций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 15:04, 6 января 2010

Метод потенциальных функций - метрический классификатор, частный случай метода ближайших соседей. Позволяет с помощью простого алгоритма оценивать вес («важность») объектов обучающей выборки при решении задачи классификации.

Постановка задачи классификации

Приведём краткую постановку задачи классификации в общем виде.

Пусть имеется пространство объектов $X$ и конечное множество классов $Y$ . На множестве $X$ задана функция расстояния $\rho: X \times X \to [0, + \infty]$ . Каждый объект из $X$ относится к некоторому классу из $Y$ посредством отображения $y^*:~X \to Y,$ .

Пусть также задана обучающая выборка пар «объект—ответ»: $X^m = \{(x_1,y_1),\dots,(x_m,y_m)\} \subseteq X \times Y$ .

Требуется построить алгоритм $a(u,X^l)$ , который по заданной выборке $X^l$ аппроксимирует отображение $y^*(u)$ .

Идея метода

Общая идея метода иллюстрируется на примере электростатического взаимодействия элементарных частиц. Известно, что потенциал («мера воздействия») электрического поля элементарной заряженной частицы в некоторой точке пространства пропорционален отношению заряда частицы (Q) к расстоянию до частицы (r): $\varphi(r) \sim \frac{Q}{r}$ .

Метод потенциальных функций реализует полную аналогию указанного выше примера. При классификации объект проверяется на близость к объектам из обучающей выборки. Считается, что объекты из обучающей выборки «заряжены» своим классом, а мера «важности» каждого из них при классификации зависит от его «заряда» и расстояния до классифицируемого объекта.

Основная формула

Перенумеруем объекты обучающей выборки $x_i \in X^l$ относительно удаления от объекта $u$ индексами $x_u^{p}$ ( $p=\overline{1,l}$ ) — то есть таким образом, что $\rho(u,x_u^{(1)}) \leq \rho(u,x_u^{(2)}) \leq \dots \leq \rho(u,x_u^{(l)})$ .

В общем виде, алгоритм ближайших соседей есть:

$a(u) = \mathrm{arg}\max_{y\in Y} \sum_{i=1}^m \bigl[ x_{i; u}=y \bigr] w(i,u)$ , где $w(i,u)$ — мера «важности» (вес) объекта $x_u^{(i)}$ из обучающей выборки относительно классифицируемого объекта $u$ .

Метод потенциальных функций заключается в выборе в качестве $w(i,u)$ весовой функции следующего вида:

$w(i,u)=\gamma(x_u^{(i)}) K \left(\frac{\rho(u,x_u{(i)})}{h(x_u{(i)})}\right)$ , где

$K(r) = \frac{1}{r+a}$ — функция, убывающая с ростом аргумента. Константа $a$ нужна чтобы избежать проблем с делением на ноль. Для простоты обычно полагают $a=1$ .

$\rho(u,x_u{(i)})$ — расстояние от объекта u до i-того ближайшего к u объекта — $x_u^{(i)}$ .

$h(x_u{(i)})$ — параметр. Общий смысл — «ширина потенциала» объекта $x_i \in X^l$ , $\left(i=\overline{1,l}\right)$ . Вводится по аналогии с шириной окна в методе парзеновского окна.

$\gamma(x_u^{(i)})$ — параметр. Общий смысл — «заряд» или степень «важности» объекта $x_i \in X^l$ , $\left(i=\overline{1,l}\right)$ при классификации;

Выбор параметров

Как мы уже заметили, в основной формуле метода потенциальных функций используются две группы параметров: $\{h(x_i)\}$ и $\{\gamma(x_i)\}$ .

«Ширина окна потенциала» $h(x_i)$ выбирается для каждого объекта из эмпирических соображений.

«Важность» $\gamma(x_i)$ объектов выборки можно подобрать, исходя из информации, содержащейся в выборке. Ниже приведён алгоритм, который позволяет «обучать» параметры $(\gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n))$ , то есть подбирать их значения по обучающей выборке $X^l$ .

Алгоритм

Вход

Обучающая выборка из $l$ пар «объект-ответ» — $X^l=\left((x_1,y_1), \dots, (x_l,y_l) \right)$ .

Описание алгоритма

Начало. Инициализация: $\gamma_i:=0$ для всех $i=\overline{1,l}$ ;
Повторять:
- Выбрать очередной объект $x_i$ из выборки $X^l$ ;
- Если $a(x_i) \not= y_i$ , то $\gamma_i:=\gamma_i+1$ ;
Пока $Q(a,X^l) > \varepsilon$ (то есть пока процесс не стабилизируется);
Вернуть значения $\gamma_i$ для всех $i=\overline{1,l}$ .

Результат

Значения параметров $\gamma_i \equiv \gamma(x_i)$ для всех $i=\overline{1,l}$

Преимущества и недостатки

Преимущества метода потенциальных функций:

Метод прост для понимания и алгоритмической реализации;
Порождает потоковый алгоритм;
Хранит лишь часть выборки, следовательно, экономит память.

Недостатки метода:

Порождаемый алгоритм медленно сходится;
Параметры $\{\gamma_i\}$ и $\{h_i\}$ настраиваются слишком грубо;
Значения параметров $(\gamma_1,\dots,\gamma_l)$ зависят от порядка выбора объектов из выборки $X^l$ .

Замечания

Полученные в результате работы алгоритма значения параметров $(\gamma_1,\dots,\gamma_l)$ позволяют выделить из обучающей выборки подмножество эталонов — наиболее значимых с точки зрения классификации объектов. Как нетрудно видеть, теоретически на роль эталона подходит любой объект $x_i$ с ненулевой «значимостью» $\left(\gamma_i>0 \right)$ .

См. также

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:osa

Преподаватель: Участник:Константин Воронцов

Срок: 25 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BF%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9»

Категория: Непроверенные учебные задания

@@ Строка 47: / Строка 47: @@
 «Важность» <tex>\gamma(x_i)</tex> объектов выборки можно подобрать, исходя из информации, содержащейся в выборке. Ниже приведён алгоритм, который позволяет «обучать» параметры <tex>(\gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n))</tex>, то есть подбирать их значения по обучающей выборке <tex>X^l</tex>.
- Вход: Обучающая выборка из <tex>l</tex> пар «объект-ответ» – <tex>X^l=\left((x_1,y_1), \dots, (x_l,y_l) \right)</tex>. <br />
+=== Алгоритм ===
- Выход: Значения параметров <tex>\gamma_i \equiv \gamma(x_i)</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>  <br /> <br />
-.   Начало. Инициализация: <tex>\gamma_i:=0</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>; <br />
+==== Вход ====
-.   Повторять {<br />
+Обучающая выборка из <tex>l</tex> пар «объект-ответ» — <tex>X^l=\left((x_1,y_1), \dots, (x_l,y_l) \right)</tex>. <br />
-.1   Выбрать очередной объект <tex>x_i</tex> из выборки <tex>X^l</tex>;<br />
-.2   Если <tex>a(x_i) \not= y_i</tex>, то <tex>\gamma_i:=\gamma_i+1</tex>;<br />
+==== Описание алгоритма ====
-.   } пока <tex>Q(a,X^l) > \varepsilon</tex> (то есть пока процесс не стабилизируется);<br />
+* Начало. Инициализация: <tex>\gamma_i:=0</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>; <br />
-. Вернуть значения <tex>\gamma_i</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>.
+* Повторять: <br />
+**     Выбрать очередной объект <tex>x_i</tex> из выборки <tex>X^l</tex>;<br />
+**     Если <tex>a(x_i) \not= y_i</tex>, то <tex>\gamma_i:=\gamma_i+1</tex>;<br />
+* Пока <tex>Q(a,X^l) > \varepsilon</tex> (то есть пока процесс не стабилизируется);
+* Вернуть значения <tex>\gamma_i</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>.
+==== Результат ====
+Значения параметров <tex>\gamma_i \equiv \gamma(x_i)</tex> для всех <tex>i=\overline{1,l}</tex>  <br /> <br />
 == Преимущества и недостатки ==