Простой случайный выбор

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Введение
2 Пример реализации простого случайного выбора
- 2.1 Замечание
3 Случай многомерной случайной величины
4 Ссылки
5 Список литературы

Введение

Рассмотрим случайный эксперимент $\Phi$ , связанный с одномерной случайной величиной $\xi$ . Осуществив n' независимых повторений эксперимента $\Phi$ , мы получим последовательность n наблюдений значений величины $\xi$ , которые обозначим $x_1,x_2,\ldots, x_n$ .

Такая последовательность, представляющая собой результат n независимых повторений некоторого случайного эксперимента, является представителем простого, но чрезвычайно важного класса статистических данных.

Рассмотрим случайный эксперимент $\Phi$ такого типа: задано некоторое множество, содержащее конечное число элементов; наш эксперимент заключается в том, что мы выбираем наугад какой-нибудь элемент этого множества, регистрируем значение некоторой определённой характеристики $\xi$ этого элемента и затем возвращаем элемент во множество. Предполагается при этом, что эксперимент организован так, что вероятность быть выбранным одинакова для всех элементов. Будем называть заданное множество генеральной совокупностью, а элементы этого множества - его членами или индивидуумами. Группа индивидуумов, наблюденных при n повторениях эксперимента $\Phi$ , будет называеться случайной выборкой из генеральной совокупности, а описанный процесс выбора - простым случайным выбором.

Пример реализации простого случайного выбора

Часто мы интересуемся не индивидуумами как таковыми, а только значениями характеристической величины $\xi$ и их распределением среди членов совокупности. В таких случаях удобно рассматривать генеральную совокупность, как состоящую не из индивидуумов, а из значений величины $\xi$ . Последовательность n наблюденных значений $x_1,x_2,\ldots, x_n$ будет рассматриваться как случайная выборка из этой совокупности значений $\xi$ . С этой точки зрения мы можем заменить генеральную совокупность урной, содержащей билеты, по одному на каждый член совокупности, с написанными на них соответствующими значениями величины $\xi$ . Эксперимент $\Phi$ будет тогда заключаться в том, что мы наугад выбираем билет, отмечаем написанное на нем значение и возвращаем билет обратно в урну.

Так как в урне содержится лишь конечное число объектов, случайная величина $\xi$ будет иметь конечное число возможных значений, так что её распределение будет дискретного типа. Однако, полагая число N билетов очень большим, можно сколь угодно точно приблизить это распределение к любому наперед заданному распределению, и если N стремится к бесконечности, то ошибку такого приближения можно заставить стремиться к нулю. Таким образом, мы можем интерпретировать любой случайный эксперимент $\Phi$ как случайный выбор индивидуума из бесконечной генеральной совокупности. При этом мы представляем себе урну, содержащую бесконечное количество билетов, на каждом из которых написано некоторое число, причем распределение этих чисел совпадает с распределением случайной величины $\xi$ , связанной с экспериментом $\Phi$ . Каждое осуществление эксперимента $\Phi$ интерпретируется как случайная выборка из бесконечной совокупности чисел, написанных на билетах. Значения $x_1,x_2,\ldots, x_n$ соотвественно будут называться выборочными значениями.

Замечание

Необходимо особо подчеркнуть, что распространение идеи выбора на случай бесконечной генеральной совокупности следует рассматривать как простую иллюстрацию случайного эксперимента; мы прибегаем к ней лишь с целью введения удобной терминологии. Такие понятия, как случайный выбор индивидуумов из бесконечной совокупности, ни в коей мере не следует частью теории.

Имея в виду эту оговорку, часто пользуются терминологией выбора в указанном выше расширенном смысле. Множество наблюденных значений случайной величины с некоторой функцией распределения $F(x)$ , таким образом, часто рассматривается как случайная выборка из совокупности, имеющей функцию распределения $F(x)$ или, как еще иногда говорится, случайная выборка из распределения, соответствующего $F(x)$ .

Случай многомерной случайной величины

Все вышесказанное можно непосредственно распространить на случайные величины любого числа измерений. Тогда каждый индивидуум в нашей воображаемой бесконечной совокупности будет характеризоваться k числами, где k — размерность соответствующей случайной величины, а каждая последовательность наблюденных значений k-мерной случайной величины может интерпретироваться как случайная выборка из k-мерной бесконечной совокупности.

Ссылки

Список литературы

Гаральд Крамер Математические методы статистики. (пер. с английского) Под редакцией А.Н. Колмогорова. - Изд-во. "Мир", Москва, 1975.

— Валентин Голодов 18:38, 29 декабря 2009 (MSK)

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80»

Категория: Математическая статистика

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 == Введение ==
-Рассмотрим случайный эксперимент <tex>\Phi</tex>, связанный с одномерной случайной величиной <tex>\xi</tex>. Осуществив '''n''' независивых повторений эксперимента <tex>\Phi</tex>, мы получим последовательность '''n''' наблюдений значений величины <tex>\xi</tex>, которые обозначим <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>.
+:Рассмотрим случайный эксперимент <tex>\Phi</tex>, связанный с одномерной случайной величиной <tex>\xi</tex>. Осуществив ''n''' независимых повторений эксперимента <tex>\Phi</tex>, мы получим последовательность '''n''' наблюдений значений величины <tex>\xi</tex>, которые обозначим <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex>.
-Такая последовательность, представляющая собой результат '''n''' независимых повторений некоторого случайного эксперимента, является представителем простого, но чрезвычайно важного класса статистических данных.
+:Такая последовательность, представляющая собой результат '''n''' независимых повторений некоторого случайного эксперимента, является представителем простого, но чрезвычайно важного класса статистических данных.
-Рассмотрим случайный эксперимент <tex>\Phi</tex> такого типа: задано некоторое множество, содержащее конечное число элементов; наш эксперимент заключается в том, что мы выбираем наугад какой-нибудь элемент этого множества, регистрируем значение некоторой определённой характеристики <tex>\xi</tex> этого элемента и затем возвращаем элемент в множество. Предполагается при этом, что эксперимент организован так, что '''вероятность быть выбранным одинакова для всех элементов'''. Будем называть заданное множество '''''генеральной совокупностью''''', а элементы этого множества - его '''''членами''''' или '''''индивидуумами'''''. Группа индивидуумов, наблюденных при '''n''' повторениях эксперимента <tex>\Phi</tex>, будет называеться '''''случайной выборкой''''' из генеральной совокупности, а описанный процесс выбора - '''''простым случайным выбором'''''.
+:Рассмотрим случайный эксперимент <tex>\Phi</tex> такого типа: задано некоторое множество, содержащее конечное число элементов; наш эксперимент заключается в том, что мы выбираем наугад какой-нибудь элемент этого множества, регистрируем значение некоторой определённой характеристики <tex>\xi</tex> этого элемента и затем возвращаем элемент во множество. Предполагается при этом, что эксперимент организован так, что '''вероятность быть выбранным одинакова для всех элементов'''. Будем называть заданное множество '''''генеральной совокупностью''''', а элементы этого множества - его '''''членами''''' или '''''индивидуумами'''''. Группа индивидуумов, наблюденных при '''n''' повторениях эксперимента <tex>\Phi</tex>, будет называеться '''''случайной выборкой''''' из генеральной совокупности, а описанный процесс выбора - '''''простым случайным выбором'''''.
 == Пример реализации простого случайного выбора ==
-Часто мы интересуемся не индивидуумами как таковыми, а только значениями характеристической величины <tex>\xi</tex> и их распределением среди членов совокупности. В таких случаях удобно рассматривать генеральную совокупность, как состоящую не из индивидуумов, а из  ''значений величины'' <tex>\xi</tex>. Последовательность '''n''' наблюденных значений <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex> будет рассматриваться как случайная выборка из этой совокупности значений <tex>\xi</tex>. С этой точки зрения мы можем заменить генеральную совокупность урной, содержащей билеты, по одному на каждый член совокупности, с написанными на них соответствующими значениями величины <tex>\xi</tex>. Эксперимент <tex>\Phi</tex> будет тогда заключаться в том, что мы наугад выбираем билет, отмечаем написанное на нем значение и возвращаем билет обратно в урну.
+:Часто мы интересуемся не индивидуумами как таковыми, а только значениями характеристической величины <tex>\xi</tex> и их распределением среди членов совокупности. В таких случаях удобно рассматривать генеральную совокупность, как состоящую не из индивидуумов, а из  ''значений величины'' <tex>\xi</tex>. Последовательность '''n''' наблюденных значений <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex> будет рассматриваться как случайная выборка из этой совокупности значений <tex>\xi</tex>. С этой точки зрения мы можем заменить генеральную совокупность урной, содержащей билеты, по одному на каждый член совокупности, с написанными на них соответствующими значениями величины <tex>\xi</tex>. Эксперимент <tex>\Phi</tex> будет тогда заключаться в том, что мы наугад выбираем билет, отмечаем написанное на нем значение и возвращаем билет обратно в урну.
-Так как в урне содержится лишь конечное число объектов, случайная величина <tex>\xi</tex> будет иметь конечное число возжожных значений, так что её распределение будет дискретногго типа. Однако, полагая число '''N''' билетов очень большим, можно сколь угодно точно приблизить это распределение к любому наперед заданному распределению, и если '''N''' стремится к бесконечности, то ошибку такого приближения можно заставить стремиться к нулю. Таким образом, мы можем интерпретировать любой случайный эксперимент <tex>\Phi</tex> как случайный выбор индивидуума из '''''бесконечной генеральной совокупности'''''. При этом мы представляем себе урну, содержащую бесконечное количество билетов, на каждом из которых написано некоторое число,
+:Так как в урне содержится лишь конечное число объектов, случайная величина <tex>\xi</tex> будет иметь конечное число возможных значений, так что её распределение будет дискретного типа. Однако, полагая число '''N''' билетов очень большим, можно сколь угодно точно приблизить это распределение к любому наперед заданному распределению, и если '''N''' стремится к бесконечности, то ошибку такого приближения можно заставить стремиться к нулю. Таким образом, мы можем интерпретировать любой случайный эксперимент <tex>\Phi</tex> как случайный выбор индивидуума из '''''бесконечной генеральной совокупности'''''. При этом мы представляем себе урну, содержащую бесконечное количество билетов, на каждом из которых написано некоторое число, причем распределение этих чисел совпадает с распределением случайной величины <tex>\xi</tex>, связанной с экспериментом <tex>\Phi</tex>. Каждое осуществление эксперимента <tex>\Phi</tex> интерпретируется как случайная выборка из бесконечной совокупности чисел, написанных на билетах. Значения <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex> соотвественно будут называться '''''выборочными значениями'''''.
-причем распределение этих чисел совпадает с распределением случайной величины <tex>\xi</tex>, связанной с экспериментом <tex>\Phi</tex>. Каждое осуществление эксперимента <tex>\Phi</tex> интерпретируется как случайная выборка из бесконечной совокупности чисел, написанных на билетах. Значения <tex>x_1,x_2,\ldots, x_n</tex> соотвественно будут называться '''''выборочными значениями'''''.
 === Замечание ===
-Необходимо особо подчеркнуть, что распространение идеи выбора на случай '''''бесконечной'''''  генеральной совокупности следует рассматривать как простую иллюстрацию случайного эксперимента;  мы прибегаем к ней лишь с целью введения удобной терминологии. Такие понятия, как случайный выбор индивидуумов из бесконечной совокупности, ни в коей мере не следует частью теории.
+:Необходимо особо подчеркнуть, что распространение идеи выбора на случай '''''бесконечной'''''  генеральной совокупности следует рассматривать как простую иллюстрацию случайного эксперимента;  мы прибегаем к ней лишь с целью введения удобной терминологии. Такие понятия, как случайный выбор индивидуумов из бесконечной совокупности, ни в коей мере не следует частью теории.
-Имея в виду эту оговорку, часто пользуются терминологией выбора в указанном выше расширенном смысле. Множество наблюденных значений случайной величины с некоторой функцией распределения <tex>F(x)</tex>, таким образом, часто рассматривается как ''случайная выборка из совокупности, имеющей функцию распределения <tex>F(x)</tex>'' или, как еще иногда говорится, ''случайная выборка из распределения, соответствующего <tex>F(x)</tex>''.
+:Имея в виду эту оговорку, часто пользуются терминологией выбора в указанном выше расширенном смысле. Множество наблюденных значений случайной величины с некоторой функцией распределения <tex>F(x)</tex>, таким образом, часто рассматривается как ''случайная выборка из совокупности, имеющей функцию распределения <tex>F(x)</tex>'' или, как еще иногда говорится, ''случайная выборка из распределения, соответствующего <tex>F(x)</tex>''.
 == Случай многомерной случайной величины ==
-Все вышесказанное можно непосредственно распространить на случайные величины любого числа измерений. Тогда каждый индивидуум в нашей воображаемой бесконечной совокупности будет характеризоваться '''k''' числами, где '''k''' — размерность соответствующей случайной величины, а каждая последовательность наблюденных значений '''k'''-мерной случайной величины может интерпретироваться как случайная выборка из '''k'''-мерной бесконечной совокупности.
+:Все вышесказанное можно непосредственно распространить на случайные величины любого числа измерений. Тогда каждый индивидуум в нашей воображаемой бесконечной совокупности будет характеризоваться '''k''' числами, где '''k''' — размерность соответствующей случайной величины, а каждая последовательность наблюденных значений '''k'''-мерной случайной величины может интерпретироваться как случайная выборка из '''k'''-мерной бесконечной совокупности.
 == Ссылки ==
 * [[Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)/2009]]
-* [[http://www.statanalyse.org/articles/11-sample Понятие выборки. Основные характеристики выборки. Типы выборки.]]
+* [http://www.statanalyse.org/articles/11-sample Понятие выборки. Основные характеристики выборки. Типы выборки.]
-* [[http://kz-adviser.kz/pub/3-aak/240-vyb Выборка в аудите]]
+* [http://kz-adviser.kz/pub/3-aak/240-vyb Выборка в аудите]
 == Список литературы ==
 * Гаральд Крамер Математические методы статистики. (пер. с английского) Под редакцией А.Н. Колмогорова. - Изд-во. "Мир", Москва, 1975.
+—&nbsp;''[[Участник:Валентин Голодов|Валентин Голодов]] 18:38, 29 декабря 2009 (MSK)''
 [[Категория:Математическая статистика]]
-{{Задание|Валентин Голодов|Vokov|31 декабря 2009}}

Простой случайный выбор

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Введение

Пример реализации простого случайного выбора

Замечание

Случай многомерной случайной величины

Ссылки

Список литературы

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты