Метод стохастического градиента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 75: Строка 75:
::<tex>w \, {:=} \, w(1 \, - \, \eta \tau) \, - \, \eta \nabla Q(w)</tex>.
::<tex>w \, {:=} \, w(1 \, - \, \eta \tau) \, - \, \eta \nabla Q(w)</tex>.
*Если функция активации имеет горизонтальные асимптоты, то процесс может попасть в состояние "паралича". При больших значениях скалярного произведения <tex><w, x_i></tex> значение <tex>\varphi^\prime</tex> становится близким к нулю и вектор <tex>w</tex> перестаёт существенно изменяться. Поэтому общей практикой является предварительная нормализация признаков:
*Если функция активации имеет горизонтальные асимптоты, то процесс может попасть в состояние "паралича". При больших значениях скалярного произведения <tex><w, x_i></tex> значение <tex>\varphi^\prime</tex> становится близким к нулю и вектор <tex>w</tex> перестаёт существенно изменяться. Поэтому общей практикой является предварительная нормализация признаков:
-
::<tex>x^j \, {:=} \, \frac{x^j \, - \, x_{\min}^j}{x_{\max}^j \, - \, x_{\min}^j}, \; j = 1, \dots, n</tex>, где <tex>x_{\min}^j, \, x_{\max}^j</tex> - соответственно минимальное и максимальное отклонения j-го признака. Если при этом <tex>w_j \in [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]</tex>, то <tex><w, x> \in [-1,1].</tex> Отметим, что регурялизация (например weights decay) также является способом предотвращения "паралича".
+
::<tex>x^j \, {:=} \, \frac{x^j \, - \, x_{\min}^j}{x_{\max}^j \, - \, x_{\min}^j}, \; j = 1, \dots, n</tex>, где <tex>x_{\min}^j, \, x_{\max}^j</tex> - соответственно минимальное и максимальное отклонения j-го признака. Если при этом <tex>w_j \in [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]</tex>, то <tex><w, x> \in [-1,1].</tex>
 +
::Отметим, что регурялизация (например weights decay) также является способом предотвращения "паралича".
==Сходимость алгоритма==
==Сходимость алгоритма==

Версия 19:27, 9 января 2010

Содержание

Основная идея

Градиентные методы - это широкий класс оптимизационных алгоритмов, используемых не только в машинном обучении. Здесь градиентный подход будет рассмотрен в качестве способа подбора вектора синаптических весов w в линейном классификаторе. Пусть y^*: \: X \to Y - целевая зависимость, известная только на объектах обучающей выборки: X^l \, = \, (x_i,y_i)_{i=1}^l, \; y_i \, = \, y^*(x_i).

Найдём алгоритм a(x, w), аппроксимирующий зависимость y^*. В случае линейного классификатора искомый алгоритм имеет вид:

a(x, w) = \varphi(\sum_{j=1}^n w_j x^j \, - \, w_0),

где \varphi(z) играет роль функции активации (в простейшем случае можно положить \varphi(z) \, = \, sign(z)).

Согласно принципу минимизации эмпирического риска для этого достаточно решить оптимизационную задачу: Q(w) \, = \, \sum_{i=1}^l L(a(x_i, w), \, y_i) \to \min_w, где L(a,y) - заданная функция потерь.

Для минимизации применим метод градиентного спуска (gradient descent). Это пошаговый алгоритм, на каждой итерации которого вектор w изменяется в направлении наибольшего убывания функционала Q (то есть в направлении антиградиента):

w \, {:=} \, w \, - \, \eta \nabla Q(w),

где \eta - положительный параметр, называемый темпом обучения (learning rate).

Возможно 2 основных подхода к реализации градиентного спуска:

  • Пакетный (batch), когда на каждой итерации обучающая выборка просматривается целиком, и только после этого изменяется w. Это требует больших вычислительных затрат.
  • Стохастический (stochastic/online), когда на каждой итерации алгоритма из обучающей выборки каким-то (случайным) образом выбирается только один объект. Таким образом вектор w настраивается на каждый вновь выбираемый объект.

Алгоритм Stochastic Gradient (SG)

Вход:

  • X^l - обучающая выборка
  • \eta - темп обучения
  • \lambda - параметр сглаживания функционала Q

Выход:

  • Вектор весов w

Тело:

  1. Инициализировать веса w_j \; j = 0, \dots, n;
  2. Инициализировать текущую оценку функционала:
    Q \, {:=} \, \sum_{i=1}^l L(a(x_i, w), \, y_i);
  3. Повторять:
    1. Выбрать объект x_i из X^l (например, случайным образом);
    2. Вычислить выходное значение алгоритма a(x_i, w) и ошибку:
      \varepsilon_i \, {:=} \, L(a(x_i, w), \, y_i);
    3. Сделать шаг градиентного спуска:
      w \, {:=} \, w \, - \, \eta L_a^\prime (a(x_i, w), \, y_i) \varphi^\prime (<w, x_i>)x_i;
    4. Оценить значение функционала:
      Q \, {:=} \, (1 \, - \, \lambda)Q \, + \, \lambda\varepsilon_i;
  4. Пока значение Q не стабилизируется и/или веса w не перестанут изменяться.

Порядок выбора объектов

Выше сказано, что в случае стохастического градиентного спуска объекты следует выбирать случайным образом. Однако существуют эвристики, направленные на улучшение сходимости, которые слегка модифицируют обычный случайный выбор:

  • Перемешивание (shuffling). Предлагается случайно выбирать объекты, но попеременно из разных классов. Идея в том, что объекты из разных классов скорее всего менее "похожи", чем объекты из одного класса, поэтому вектор w будет каждый раз сильнее изменяться.
  • Возможен вариант алгоритма, когда выбор каждого объекта неравновероятен, причём вероятность выпадения объекта обратно пропорциональна величине ошибки на объекте. Следует заметить, что при такой эвристике метод становится очень чувствителен к шумам.

Способы инициализации весов

  • Инициализировать вектор w нулями. Этот способ используется во многих системах, но совсем не всегда является лучшим.
  • w_j {:=} rand(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}), где n - размерность пространства признаков. Этот подход существенно более удачен, чем предыдущий, если соответствующим образом нормализовать признаковое описание (см. "Недостатки SG и способы борьбы с ними".)
  • Ещё один подход заключается в том, чтобы решить исходную оптимизационную задачу в случае статистически независимых признаков, линейной функции активации (\varphi) и квадратичной функции потерь (L). Тогда решение имеет вид:
w_j \, {:=} \, \frac{<y, f_j>}{<f_j, f_j>}.

Параметр сглаживания

В алгоритме для оценки функционала Q на каждой итерации используется его приближённое значение по методу экспоненциального сглаживания, откуда \lambda лучше брать порядка \frac{1}{l}. Если длина выборки избыточно большая, то \lambda следует увеличивать.

Известные частные случаи алгоритма

Метод SG (при соответствующем выборе функций активации и потерь) является обобщением следующих широко распространённых эвристик подбора w и алгоритмов классификации:

  1. Адаптивный линейный элемент (Adalines);
  2. Правило Хэбба;
  3. Алгоритм k-средних (K-Means);
  4. Learning Vector Quantization (LVQ).

Преимущества SG

  • Метод приспособлен для динамического (online) обучения, когда обучающие объекты поступают потоком, и надо быстро обновлять вектор w.
  • Алгоритм способен обучаться на избыточно больших выборках за счёт того, что случайной подвыборки может хватить для обучения.
  • Возможны различные стратегии обучения. Если выборка избыточно большая, или обучение происходит динамически, то допустимо не сохранять обучающие объекты. Если выборка маленькая, то можно повторно предъявлять для обучения одни и те же объекты.

Недостатки SG и способы их устранения

  • Алгоритм может не сходиться или сходиться слишком медленно (см. "Сходимость алгоритма".)
  • Как правило, функционал Q многоэкстремален и процесс градиентного спуска может "застрять" в одном из локальных минимумов. Для борьбы с этим используют технику встряхивания коэффициентов (jog of weights). Она заключается в том, чтобы при каждой стабилизации функционала производить случайные модификации вектора w в довольно большой окрестности текущего значения и запускать процесс градиентного спуска из новых точек.
  • При большой размерности пространства признаков n и/или малой длине выборки l возможно переобучение, то есть классификация становится неустойчивой, и вероятность ошибки увеличивается. При этом сильно возрастает норма вектора весов. Для борьбы с данным недостатком используют метод сокращения весов (weights decay). Он заключается в том, чтобы ограничить возможный рост нормы w, добавив к Q(w) штрафное слагаемое: Q_{\tau}(w) \, = \, Q(w) \, + \, \frac{\tau}{2}||w||^2. В результате правило обновления весов принимает вид:
w \, {:=} \, w(1 \, - \, \eta \tau) \, - \, \eta \nabla Q(w).
  • Если функция активации имеет горизонтальные асимптоты, то процесс может попасть в состояние "паралича". При больших значениях скалярного произведения <w, x_i> значение \varphi^\prime становится близким к нулю и вектор w перестаёт существенно изменяться. Поэтому общей практикой является предварительная нормализация признаков:
x^j \, {:=} \, \frac{x^j \, - \, x_{\min}^j}{x_{\max}^j \, - \, x_{\min}^j}, \; j = 1, \dots, n, где x_{\min}^j, \, x_{\max}^j - соответственно минимальное и максимальное отклонения j-го признака. Если при этом w_j \in [-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}], то <w, x> \in [-1,1].
Отметим, что регурялизация (например weights decay) также является способом предотвращения "паралича".

Сходимость алгоритма

Как уже было сказано, сходимость в общем случае не гарантируется, однако установлено, что в случае выпуклой функции Q(w) и при выполненении следующих 3-х условий:

  1. \eta_t \to^{t \to \infty} 0;
  2. \sum_{t=1}^{\infty} \eta_t \, = \, \infty;
  3. \sum_{t=1}^{\infty} \eta_t^2 \, < \, \infty

процесс градиентного спуска будет сходиться. Например, можно положить: \eta_t \, = \, \frac{\eta_0}{t}. Однако, как показывает практика, это не очень удачный способ.

Литература

  1. Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)
  2. Stochastic Learning




Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Ruzik
Преподаватель: Участник:Константин Воронцов
Срок: 6 января 2009

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Личные инструменты