Метод Белсли
Материал из MachineLearning.
м (→Анализ коллинеарности) |
м (→Анализ коллинеарности) |
||
Строка 39: | Строка 39: | ||
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :<br/> | Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :<br/> | ||
<tex>X_{S}^{T} X_{N} = O </tex> <br/> | <tex>X_{S}^{T} X_{N} = O </tex> <br/> | ||
- | что обеспечивает возможность ортогонального разложения tex>X</tex> :<br/> | + | что обеспечивает возможность ортогонального разложения <tex>X</tex> :<br/> |
<tex>X=X_{S}+X_{N}</tex><br/> | <tex>X=X_{S}+X_{N}</tex><br/> | ||
Здесь все матрицы имеют размер <tex>n \times p</tex> и полагая что <tex>X</tex> имеет ранг p, <tex>X_{S}</tex> и <tex>X_{N}</tex> имеють ранг s и (p-s) соответственно. | Здесь все матрицы имеют размер <tex>n \times p</tex> и полагая что <tex>X</tex> имеет ранг p, <tex>X_{S}</tex> и <tex>X_{N}</tex> имеють ранг s и (p-s) соответственно. |
Версия 17:26, 28 июня 2010
Линейные регрессионные модели часто используются для исследования зависимости между ответом и признаками, однако результаты часто сомнительны, так как данные не всегда подходящие. Например, при большом количестве признаков часто многие из них сильно зависимы друг от друга, и эта зависимость уменьшает вероятность получения адекватных результатов. Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).
Содержание |
Анализ коллинеарности
Линейная регрессионная модель:
где - n-мерный ветор ответа(зависимой переменной), - n x p (n>p) матрица признаков - p-мерный вектор неизвестных коэффициентов, - p-мерный вектор случайного возмущения с нулевым матожиданием и ковариационной матрицей , где это n x n единичная матрица, а . Будем считать что имеет ранг p.
Если есть коллинеарность между признаками согласно Belsley имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD) чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения определяется как:
Где - n x p ортогональная матрица, - p x p верхняя диагональная матрица, чьи неотрицательные элементы являются сингулярными значениями , - p x p ортогональная матрица, чьи колонки это собственные вектора . Если существует коллинеарная зависимоть, то
будут какие-либо сингулярные значения, скажем, (р - s), которые близки к нулю.
Предположим, что , или просто , элементы матрицы упорядочены так, что
И рассмотрим разбиение
где и диогональные, и недиогональнык блоки нулевые. , или просто , содержит достаточно большие сингулярные значения, а , или , содержит близкие к нулю.
Теперь разделим и соответственно:
где и соответствуют первым s наибольших сингулярных значений, а и содержат веторов соответствующих малым сингулярным значениям.
Матрица ортогональна, т.е , так же как и и . Таким образом :
Т.к V тоже ортогональна, то
Таким образом разложение нам дает:
Обозначим слагаемые в правой части как
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :
что обеспечивает возможность ортогонального разложения :
Здесь все матрицы имеют размер и полагая что имеет ранг p, и имеють ранг s и (p-s) соответственно.