Метод Белсли

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 15:27, 28 августа 2010

Belsley, Kuh и Welsch предложили метод анализа мультиколлинеарности основанный на индексах обусловленности(the scaled condition indexes) и дисперсионных долях(the variance-decomposition proportions).

Коллеги, пожалуйста, сделайте пояснения к выкладкам. Статью трудно читать. Очень нужен список литературы: откуда взят этот материал? --Strijov 18:53, 27 августа 2010 (MSD)

Разложение линейной модели

Рассматривается линейная регрессионная модель:
$y=X \beta + \varepsilon,$ (1)
где $y$ -– $n$ -мерный вектор зависимой переменной, $X$ -- $n \times p$ , $(n>p)$ матрица признаков, $\beta$ -- $p$ -мерный вектор неизвестных коэффициентов, параметров линейной регрессионной модели. Предполагается, что $n$ -мерный вектор случайного возмущения $\varepsilon$ имеет нулевое матожидание и ковариационную матрицу ${\sigma}^2 I$ , где $I$ -- $n \times n$ единичная матрица, а ${\sigma}^2>0$ . Будем считать что $X$ имеет ранг $p$ . Если есть коллинеарность между признаками согласно Бэлсли имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD), чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения $X$ определяется как:
$X=UDV^T.$ (2)
Здесь матрица $U$ -- $n \times p$ ортогональная. Матрица $D$ -- $p \times p$ диагональная прямоугольная, на диагонали которой стоят неотрицательные числа, сингулярными значениями $X$ . Диагональной прямоугольной назовем матрицу, ненулевые элементы которой имеют координаты вида $(i,i), i \in {1, \dots, p}.$ Матрица $V$ -- $p \times p$ ортогональная, ее столбцы -- собственные вектора $X^T X$ . Существование коллинеарной зависимости влечет близость к нулю некоторых сингулярных значений. Будем считать, что $(р - s)$ сингулярных значений близки к нулю. Предположим, что $d_{jj}$ , или просто $d_{j}$ , элементы матрицы $D$ упорядочены так, что
$d_{1} \geq d_{2} \geq ...\geq d_{s} \geq ... \geq d_{p} \geq 0$
Рассмотрим разбиение
$D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix}.$ (3) Для такого разбиения $D_{s\times s}$ и $D_{(p-s)\times (p-s)}$ -- диагональные матрицы, а оставшиеся два недиагональных блока -- нулевые. Матрица $D_{s\times s} = D_S$ содержит достаточно большие сингулярные значения, а $D_{(p-s)\times (p-s)} = D_N$ содержит близкие к нулю сингулярные значения. Теперь разделим $U$ и $V$ :
$U=(U_{n\times s} U_{n \times (p-s)}) = (U_S U_N)$
$V=(V_{p\times s} V_{p \times (p-s)}) = (V_S V_N),$ (4)
где $U_{S}$ и $V_{S}$ соответствуют первым $s$ наибольшим сингулярным значениям, а $U_{N}$ и $V_{N}$ содержат $(p-s)$ векторов, соответствующих малым сингулярным значениям. Матрица $U$ ортогональна, т.е. $U^T U=I_{p \times p}$ , так же как и $U_{S}$ и $U_{N}$ . Таким образом
выполнено $U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}$
$U^{T}_{N} U_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$U^{T}_{S} U_{N}=O_{s \times (p-s)}$
$U^{T}_{N} U_{S}=O_{(p-s) \times s}$ (5)
Так как $V$ тоже ортогональная, то верно
$V^{T}_{S} V_{S}=I_{s \times s}$
$V^{T}_{N} V_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}$
$V^{T}_{S} V_{N}=O_{s \times (p-s)}$
$V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}.$ (6)
Здесь $O_n$ -- нулевая матрица размера $n$ . Таким образом, используя (2)-(6), запишем разложение:
$X=UDV^T=U_{S} D_{S} V_{S}^T + U_{N} D_{N} V_{N}^T$ (7)
Обозначим слагаемые в правой части как
$X_{S}=U_{S} D_{S} V_{S}^T$

$X_{N}=U_{N} D_{N} V_{N}^T$ (8)
Заметим что получившиеся матрицы ортогональны:
$X_{S}^{T} X_{N} = O,$ (9)
что обеспечивает возможность ортогонального разложения $X$ :
$X=X_{S}+X_{N}.$ (10)
Согласно нашим предположениям $X$ имеет ранг $p$ , и, следовательно, $X_{S}$ и $X_{N}$ имеют ранг $s$ и $(p-s)$ соответственно. Тогда для разложения (2) :
$X(V_{S} V_{N})=(U_{S} U_{N}) \begin{pmatrix} D_{S} & O \\ O & D_{N} \\ \end{pmatrix}$ (11)
Далее получаем
$X V_{S}=X_{S} V_{S}=U_{S} D_{S}$ (12)
и
$X V_{N}=X_{N} V_{N}=U_{N} D_{N} \approx O$ (13)
Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10), ссылаясь на то, что из ортогональности $V$ следует $V^T_N V_S = O$ . Это значит что полученная нами матрица $X_S$ содержит всю информацию и только ее, входящую в $X$ , и при этом свободна от коллинеарности, связанной с остальными $(p-s)$ собственными векторами.
Соответственно $X_N$ содержит только информацию связанную с коллинеарностью. Она порождает дополнительное пространство $\mathbb R^{\mathrm (p-s)}$ . Это пространство, связанное с элементами матрицы $D_N$ близкими к нулю, называется квази-нулевым пространством.
Следовательно, предложенное разложение выделяет $X_S$ , часть $X$ , содержащую $s$ основных компонентов, которые в меньшей степени коллинеарны. $X^N$ же содержит информацию связанную с $p-s$ компонентами которые участвуют в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы $V_N$ . Вектор $\beta$ минимизирует ошибку методом наименьших квадратов:
$\beta=(X^T X)^{-1} X^T y = X^{+}y$ (14)
где $X^{+}$ -- псевдообратная матрица $X$ . Последнее равенство выполняется только если $X$ имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:
$(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+}.$ (15)
Последнее равенство использует то, что $X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T$ -- сингулярное разложение $X^T_S X_S$ и, следовательно, $(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T$ . Для $(X^T_N X_N)^{+}$ аналогично.
Подставляя (15) и (7) в (14) получаем выражение для параметров модели:
$\beta=V_S D^{-1}_S U_S^T y + V_N D^{-1}_N U_N^T y=X^{+}_S y + X^{+}_N y = {\beta}_S + {\beta}_N$ (16)
Окончательно модель:
$y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e.$ (17)
Здесь $e$ -- вектор регрессионных остатков.
Из (15) получаем выражение для ковариации параметров модели:
$Cov(\beta) = {\sigma}^2 (X^T X)^{-1}= {\sigma}^2 [V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T]={\sigma}^2 [(X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+} ] = Cov({\beta}_S) + Cov({\beta}_N)$ (18)
Элементы на главной диагонали $(X^T_N X_N)^{-1}$ это VIF, которые могут быть разложены на компоненты, соответствующие каждому ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni} (i=1,2,...,p).$

Выявление мультиколлинеарности

Когда есть мультиколлинеарность одино или более собственных значений близко к нулю, и соответствующие им собственные вектора содержат информацию о зависимостях между признаками. Выведеное разложение помогает выявить какие переменные показывают наибольшую вовлеченность в зависимости.
Из (16) получаем:
${\beta}_i={\beta}_{Si}+{\beta}_{Ni}=\sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l} + \sum^{n}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}} \sum^{n}_{l=1} { {u}_{lj}}{y_l}$ (19)
где $V=({\upsilon}_{ij})$ и $U=({u}_{ij})$ . Значения ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ зависят от элементов $U$ и $y$ , и от соотношений $\frac{{\upsilon}_{ij}}{d_j}$ которые играют основную роль в объяснении соотношений между признаками. $d_j$ всегда больше нуля(мы считаем что ранг $X$ равен p), тогда как ${\upsilon}_{ij}$ принимает значения от -1 до 1. Отрицательные значения ${\upsilon}_{ij}$ могут вести к ${\beta}_{Si}$ и ${\beta}_{Ni}$ разных знаков, и один из них может иметь абсолютное значение больше $\beta$ . Что касается собственных векторов соответствующих очень малым значениям собственных значений, то известно, что ${\upsilon}_{ij}$ с большими абсолютными значениями озночают что соответствующие переменные сильно вовлечены в мультиколлинеарность. Если несколько собственных значений близки к нулю, то мы можем увеличить порядок (p-s) $\mathcal N$ по шагам используя разложение (7) и обычно мы будем наблюдать уменьшение абсолютных значений ${\beta}_{Si}$ и увеличение ${\beta}_{Ni}$ . Когда (p-s) соответствует числу индексов обусловленности показывающих существование зависимостей ${\beta}_{Si}$ может рассматриваться как общие значения параметров метода наименьших квадратов. Это актуально, когда знак какого-либо параметра не является таким как ожидалось, и в целом это зависит от мультиколлинеарности.С помощью разложения, как уже отмечалось, мы можем получить что ${\beta}_{Si}$ будет иметь нужный знак, в то время как часть значения перешедшего ${\beta}_{Ni}$ (благодаря коллинеарности) будет иметь противоположный знак и большее абсолютное значение.
Чтобы исследовать влияние коллинеарности на параметры линейной регрессии лучше, ковариационная матрица может быть переписана:
$Cov({\beta}_{Si})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{s}_{l=1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{s}_{l=1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$ (20)
и
$Cov({\beta}_{Ni})={\sigma}^2 \left( \begin{array}{ccc} \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l}^2}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{1l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}}\\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{2l}^2}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{2l} {\upsilon}_{pl}}{d_l^2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{1l}}{d_l^2}} & \sum^{p}_{l=s+1}{ \frac{{\upsilon}_{pl} {\upsilon}_{2l}}{d_l^2}} & \cdots & \sum^{p}_{l=s+1} { \frac{{\upsilon}_{pl}^2}{d_l^2}} \\ \end{array} \right)$ (21)
Отклонение каждого ${\beta}_{i}$ может быть выражено как
$Var({\beta}_{i})= {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$ (22)
Из (18) мы можем разделить отклонение:
$Var({\beta}_{i})=Var({\beta}_{Si})+Var({\beta}_{Ni})= {\sigma}^2 [{VIF}_{Si} +{VIF}_{Ni}]= {\sigma}^2 \sum^{s}_{j=1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}+ {\sigma}^2 \sum^{p}_{j=s+1} { \frac{{\upsilon}_{ij}^2}{d_j^2}}$ (23)
Так как сингулярные значения $d_{s+1}...d_p$ близки к нулю,то если соответствующие ${\upsilon}_{ij}$ не очень малы, второй член будет больше первого, т.к отклонение ${\beta}_{Ni}$ будет больше чем ${\beta}_{Si}$ .Тогда по мере увеличения размерности квази-нуль пространства, мы можем ожидать, что переменные, которые более активно участвовуют в коллинеарных отношениях, связанных с собственными векторами принадлежащими этому пространству должны будут уменьшать значения $Var({\beta}_{Si})$ и увеличивать $Var({\beta}_{Ni})$ .

Смотри также

Литература

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%91%D0%B5%D0%BB%D1%81%D0%BB%D0%B8»

@@ Строка 4: / Строка 4: @@
 Рассматривается линейная регрессионная модель: <br />
 <tex>y=X \beta + \varepsilon,</tex>       (1)<br />
-где <tex>y</tex> -– <tex>n</tex>-мерный вектор ответа(зависимой переменной), <tex>X</tex> -- <tex>n \times p</tex> <tex>(n>p)</tex> матрица признаков, <tex>\beta</tex> -- <tex>p</tex>-мерный вектор неизвестных коэффициентов, <tex>\varepsilon</tex> -- <tex>p</tex>-мерный вектор случайного возмущения с нулевым матожиданием и ковариационной матрицей <tex>{\sigma}^2 I</tex>, где <tex>I</tex> это <tex>n \times n</tex> единичная матрица, а <tex>{\sigma}^2>0</tex>. Будем считать что <tex>X</tex> имеет ранг <tex>p</tex>.
+где <tex>y</tex> -– <tex>n</tex>-мерный вектор зависимой переменной, <tex>X</tex> -- <tex>n \times p</tex>, <tex>(n>p)</tex> матрица признаков, <tex>\beta</tex> -- <tex>p</tex>-мерный вектор неизвестных коэффициентов, параметров линейной регрессионной модели.
-Если есть коллинеарность между признаками согласно Belsley имеет смысл использовать сингулярное разложение(SVD), чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения <tex>X</tex> определяется как: <br/>
+Предполагается, что <tex>n</tex>-мерный вектор  случайного возмущения <tex>\varepsilon</tex> имеет нулевое матожидание и ковариационную матрицу <tex>{\sigma}^2 I</tex>, где <tex>I</tex> -- <tex>n \times n</tex> единичная матрица, а <tex>{\sigma}^2>0</tex>. Будем считать что <tex>X</tex> имеет ранг <tex>p</tex>.
+Если есть коллинеарность между признаками согласно Бэлсли имеет смысл использовать [[сингулярное разложение]](SVD), чтобы определить вовлеченные переменные. Матрица сингулярного разложения <tex>X</tex> определяется как: <br/>
 <tex>X=UDV^T.</tex>      (2)<br/>
-Здесь <tex>U</tex> -- <tex>n \times p</tex> ортогональная матрица, <tex>D</tex> -- <tex>p \times p</tex> верхняя диагональная матрица, чьи неотрицательные элементы являются сингулярными значениями <tex>X</tex>, <tex>V</tex> -- <tex>p \times p</tex> ортогональная матрица, чьи колонки это собственные вектора <tex>X^T X</tex>. Если существует коллинеарная зависимость, то
+Здесь матрица <tex>U</tex> -- <tex>n \times p</tex> ортогональная. Матрица <tex>D</tex> -- <tex>p \times p</tex> диагональная прямоугольная, на диагонали которой стоят неотрицательные числа,  сингулярными значениями <tex>X</tex>. Диагональной прямоугольной назовем матрицу, ненулевые элементы  которой имеют координаты вида <tex>(i,i), i \in {1, \dots, p}. </tex>Матрица <tex>V</tex> -- <tex>p \times p</tex> ортогональная, ее столбцы -- собственные вектора <tex>X^T X</tex>.
-некоторые сингулярные значения, скажем, <tex>(р - s)</tex>, близки к нулю.
+Существование коллинеарной зависимости влечет близость к нулю некоторых сингулярных значений.
+Будем считать, что <tex>(р - s)</tex> сингулярных значений близки к нулю.
 Предположим, что <tex>d_{jj}</tex>, или просто <tex>d_{j}</tex>, элементы матрицы <tex>D</tex> упорядочены так, что <br/>
 <tex>d_{1} \geq d_{2} \geq ...\geq d_{s} \geq ... \geq  d_{p} \geq 0 </tex><br/>
-И рассмотрим разбиение<br/>
+Рассмотрим разбиение<br/>
 <tex>
-D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix},
+D=\begin{pmatrix} D_{s\times s} & O_{s \times (p-s)} \\ O_{(p-s) \times s} & D_{(p-s)\times (p-s)} \end{pmatrix}.
 </tex> (3)
-где <tex>D_{s\times s}</tex> и <tex>D_{(p-s)\times (p-s)}</tex> диагональные, и недиагональные блоки нулевые. <tex>D_{s\times s}</tex>, или просто <tex>D_{S}</tex>, содержит достаточно большие сингулярные значения, а <tex>D_{(p-s)\times (p-s)}</tex>, или <tex>D_{N}</tex>, содержит близкие к нулю сингулярные значения.
+Для такого разбиения <tex>D_{s\times s}</tex> и <tex>D_{(p-s)\times (p-s)}</tex>  -- диагональные матрицы, а оставшиеся два недиагональных блока -- нулевые.
-Теперь разделим <tex>U</tex> и <tex>V</tex> соответственно: <br/>
+Матрица <tex>D_{s\times s} = D_S</tex> содержит достаточно большие сингулярные значения, а <tex>D_{(p-s)\times (p-s)} = D_N</tex> содержит близкие к нулю сингулярные значения.
+Теперь разделим <tex>U</tex> и <tex>V</tex>: <br/>
 <tex>
-U=(U_{n\times s}  U_{n \times (p-s)}) = (U_{S} U_{N})
+U=(U_{n\times s}  U_{n \times (p-s)}) = (U_S U_N)
 </tex><br/>
 <tex>
-V=(V_{p\times s}  V_{p \times (p-s)}) = (V_{S} V_{N}),
+V=(V_{p\times s}  V_{p \times (p-s)}) = (V_S V_N),
 </tex> (4) <br/>
-где <tex>U_{S}</tex> и <tex>V_{S}</tex> соответствуют первым <tex>s</tex> наибольшим сингулярным значениям, а <tex>U_{N}</tex> и <tex>V_{N}</tex> содержат <tex>(p-s)</tex> векторов соответствующих малым сингулярным значениям.
+где <tex>U_{S}</tex> и <tex>V_{S}</tex> соответствуют первым <tex>s</tex> наибольшим сингулярным значениям, а <tex>U_{N}</tex> и <tex>V_{N}</tex> содержат <tex>(p-s)</tex> векторов, соответствующих малым сингулярным значениям.
-Матрица <tex>U</tex>  ортогональна, т.е <tex>U^T U=I_{p \times p}</tex>, так же как и <tex>U_{S}</tex> и <tex>U_{N}</tex>. Таким образом <br/> <tex>U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}</tex> <br/>
+Матрица <tex>U</tex>  ортогональна, т.е. <tex>U^T U=I_{p \times p}</tex>, так же как и <tex>U_{S}</tex> и <tex>U_{N}</tex>. Таким образом <br/> выполнено
+<tex>U^{T}_{S} U_{S}=I_{s \times s}</tex> <br/>
 <tex>U^{T}_{N} U_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}</tex> <br/>
 <tex>U^{T}_{S} U_{N}=O_{s \times (p-s)}</tex> <br/>
 <tex>U^{T}_{N} U_{S}=O_{(p-s) \times s}</tex> (5)<br/>
-Т.к <tex>V</tex> тоже ортогональна, то <br/>
+Так как <tex>V</tex> тоже ортогональная, то верно<br/>
 <tex>V^{T}_{S} V_{S}=I_{s \times s}</tex> <br/>
 <tex>V^{T}_{N} V_{N}=I_{(p-s) \times (p-s)}</tex> <br/>
 <tex>V^{T}_{S} V_{N}=O_{s \times (p-s)}</tex> <br/>
-<tex>V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}</tex> (6)<br/>
+<tex>V^{T}_{N} V_{S}=O_{(p-s) \times s}.</tex> (6)<br/>
-Таким образом разложение нам дает: <br/>
+Здесь <tex>O_n</tex> -- нулевая матрица размера <tex>n</tex>.
+Таким образом, используя (2)-(6), запишем разложение: <br/>
 <tex>X=UDV^T=U_{S} D_{S} V_{S}^T + U_{N} D_{N} V_{N}^T</tex> (7)<br/>
 Обозначим слагаемые в правой части как <br/>
 <tex>X_{S}=U_{S} D_{S} V_{S}^T</tex><br/><br/>
 <tex>X_{N}=U_{N} D_{N} V_{N}^T</tex> (8)<br/>
-Заметим что получившиеся матрицы ортогональны, т.е :<br/>
+Заметим что получившиеся матрицы ортогональны:<br/>
 <tex>X_{S}^{T} X_{N} = O, </tex>(9) <br/>
 что обеспечивает возможность ортогонального разложения <tex>X</tex> :<br/>
 <tex>X=X_{S}+X_{N}.</tex> (10)<br/>
-Здесь все матрицы имеют размер <tex>n \times p</tex>, и полагая что <tex>X</tex> имеет ранг <tex>p</tex>, а <tex>X_{S}</tex> и <tex>X_{N}</tex> имеют ранг <tex>s</tex> и <tex>(p-s)</tex> соответственно. Тогда для разложения (2) :<br/>
+Согласно нашим предположениям <tex>X</tex> имеет ранг <tex>p</tex>, и, следовательно, <tex>X_{S}</tex> и <tex>X_{N}</tex> имеют ранг <tex>s</tex> и <tex>(p-s)</tex> соответственно. Тогда для разложения (2) :<br/>
 <tex>X(V_{S} V_{N})=(U_{S} U_{N}) \begin{pmatrix}
 D_{S} & O \\
 O & D_{N} \\
 \end{pmatrix}</tex> (11)<br/>
-Далее мы получаем <br/>
+Далее получаем <br/>
 <tex>X V_{S}=X_{S} V_{S}=U_{S} D_{S} </tex> (12)<br/>
 и <br/>
 <tex>X V_{N}=X_{N} V_{N}=U_{N} D_{N} \approx O </tex> (13)<br/>
-Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10), ссылаясь на то, что из ортогональности <tex>V</tex> следует <tex>V^T_N V_S = O</tex>. Это значит что <tex>X_S</tex> содержит всю информацию и только ее, входящую в <tex>X</tex>, которая свободна от коллинеарности связанной с остальными <tex>(p-s) </tex> собственными векторами.<br/>
+Равенства в (12) и (13) получаются из (8) и (10), ссылаясь на то, что из ортогональности <tex>V</tex> следует <tex>V^T_N V_S = O</tex>.
-Соответственно <tex>X_N</tex> содержит только информацию связанную с коллинеарностью делая прогноз на дополнительное пространство <tex> \mathbb R^{\mathrm (p-s)}</tex>. Это пространство связанное с элементами матрицы <tex>D_N</tex> близкими к нулю называется квази-нулевым пространством<br/>
+Это значит что полученная нами матрица <tex>X_S</tex> содержит всю информацию и только ее, входящую в <tex>X</tex>, и при этом свободна от коллинеарности, связанной с остальными <tex>(p-s) </tex> собственными векторами.<br/>
-Следовательно, предложенное разложение подчеркивает <tex>X_S</tex> как часть <tex>X</tex> полученную из <tex>s</tex> основных компонентов, которые в меньшей степени участвуют в коллинеарности. <tex>X^N</tex> же содержит информацию связанную с <tex>p-s</tex> компонентами которые участвуют в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы <tex>V_N</tex>.
+Соответственно <tex>X_N</tex> содержит только информацию связанную с коллинеарностью.
-Вектор <tex>\beta</tex> минимизирующего ошибку в метода наименьших квадратов:<br/>
+Она порождает дополнительное пространство <tex> \mathbb R^{\mathrm (p-s)}</tex>.
+Это пространство, связанное с элементами матрицы <tex>D_N</tex> близкими к нулю, называется квази-нулевым пространством.<br/>
+Следовательно, предложенное разложение выделяет <tex>X_S</tex>, часть <tex>X</tex>, содержащую <tex>s</tex> основных компонентов, которые в меньшей степени коллинеарны.
+<tex>X^N</tex> же содержит информацию связанную с <tex>p-s</tex> компонентами которые участвуют в коллинеарных зависимостях. Переменные, входящие в коллинеарности, это те, которые имеют наибольшие координаты в столбцах матрицы <tex>V_N</tex>.
+Вектор <tex>\beta</tex> минимизирует ошибку методом наименьших квадратов:<br/>
 <tex>\beta=(X^T X)^{-1} X^T y = X^{+}y</tex> (14)<br/>
-где <tex>X^{+}</tex> -- псевдообратная матрица <tex>X</tex>, и последнее равенство выполняется только если <tex>X</tex> имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:<br/>
+где <tex>X^{+}</tex> -- псевдообратная матрица <tex>X</tex>. Последнее равенство выполняется только если <tex>X</tex> имеет полный ранг. Используя предыдущее разложение может быть показано что:<br/>
-<tex>(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+} </tex>(15)<br/>
+<tex>(X^T X)^{-1}=V D^{-2} V^T =V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T= (X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+}. </tex>(15)<br/>
-Последнее равенство получается из того что
+Последнее равенство использует то, что
-<tex>X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T</tex> - сингулярное разложение <tex>X^T_S X_S</tex> и следовательно <tex>(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T</tex>. Для <tex>(X^T_N X_N)^{+} </tex> аналогично.<br/>
+<tex>X^T_S X_S=V_S D^{2}_S V_S^T</tex> -- сингулярное разложение <tex>X^T_S X_S</tex> и, следовательно, <tex>(X^T_S X_S)^{+}=V_S D^{-2}_S V_S^T</tex>. Для <tex>(X^T_N X_N)^{+} </tex> аналогично.<br/>
-Подставляя (15) и (7) в (14) получаем: <br/>
+Подставляя (15) и (7) в (14) получаем выражение для параметров модели: <br/>
 <tex>\beta=V_S D^{-1}_S U_S^T y + V_N D^{-1}_N U_N^T y=X^{+}_S y + X^{+}_N y = {\beta}_S + {\beta}_N</tex>(16)<br/>
 Окончательно модель:<br/>
-<tex>y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e</tex>(17)<br/>
+<tex>y=(X_S + X_N)({\beta}_S + {\beta}_N) +e.</tex>(17)<br/>
-Где <tex>e</tex> это вектор остатков.<br/>
+Здесь <tex>e</tex> -- вектор регрессионных остатков.<br/>
-Из (15) получаем:<br/>
+Из (15) получаем выражение для ковариации параметров модели:<br/>
 <tex>Cov(\beta) = {\sigma}^2 (X^T X)^{-1}= {\sigma}^2 [V_S D^{-2}_S V_S^T + V_N D^{-2}_N V_N^T]={\sigma}^2 [(X^T_S X_S)^{+} +(X^T_N X_N)^{+} ] = Cov({\beta}_S) + Cov({\beta}_N)</tex>(18)<br/>
-Элементы на главной диагонали <tex>(X^T_N X_N)^{-1} </tex> это [[Фактор инфляции дисперсии|VIF]], которые могут быть разложены на компоненты соответствующие каждому <tex>{\beta}_{Si}</tex> и <tex>{\beta}_{Ni} (i=1,2,...,p).</tex>
+Элементы на главной диагонали <tex>(X^T_N X_N)^{-1} </tex> это [[Фактор инфляции дисперсии|VIF]], которые могут быть разложены на компоненты, соответствующие каждому <tex>{\beta}_{Si}</tex> и <tex>{\beta}_{Ni} (i=1,2,...,p).</tex>
 ==Выявление мультиколлинеарности==

Метод Белсли

Материал из MachineLearning.

Версия 15:27, 28 августа 2010

Содержание

Разложение линейной модели

Выявление мультиколлинеарности

Смотри также

Литература

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты