Аппроксимация Лапласа (пример)

Материал из MachineLearning.

Версия 23:24, 16 ноября 2010

Аппроксимация Лапласа - простой, но широко используемый способ нахождения нормального (Гауссово) распределения для апроксимации заданой плотности вероятности.

Сэмплирование

Сэмплирование – процесс выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, для дальнейшего его анализа. Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке мат. ожидания сложных вероятностных распределений: , для которых тяжело делать выборку непосредственно из распределения p(z). Однако, можно подсчитать значение p(z) в любой точке z. Один из наиболее простых методов подсчета мат. ожидаия – разбить ось z на равномерную сетку и подсчитать интеграл как сумму ≅. Существует несколько методов сэмплирования для создания подходящей выборки длинны L ???.

Постановка задачи

Задана выборка — множество значений свободных переменных и множество соответствующих им значений зависимой переменной. Необходимо для выбранной регрессионной модели показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: ; построить график и сделать апроксимацию Лапласа для него; найти расстояния между получеными зависимостями, используя метрику Кульбака - Лейблера.

Описание алгоритма

метрика Кульбака - Лейблера:

Вычислительный эксперимент

Обозначим плоность распределения SSE как , а его апроксимация лапласса

Пример 1

Задуманная функция . Берем линейную регрессионную модель с 2-мя параметрами: . Используя МНК находим оптимальное значение и (при которых SSE минимально).

При фиксированном задаем различные значение (500 рандомных значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость:

.

Повторим эксперимент, только теперь варируем сразу оба параметра и :

РИС.1.

РИС.2. Ось log(p) направлена вверх.

апроксимация лапласса:

Laplace approximation

На рис.2 наблюдается зависимость между коэффициентами и . Следовательно, ковариационная матрица cov(w_1,w_2) не будет диагональной.