Аппроксимация Лапласа (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Постановка задачи)
(→Постановка задачи)
Строка 14: Строка 14:
Задана выборка — множество <tex>X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\}</tex> значений свободных переменных и множество <tex>\{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\}</tex> соответствующих им значений зависимой переменной.
Задана выборка — множество <tex>X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\}</tex> значений свободных переменных и множество <tex>\{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\}</tex> соответствующих им значений зависимой переменной.
Необходимо для выбранной регрессионной модели <tex>f(\mathbf{w},\mathbf{x})</tex>
Необходимо для выбранной регрессионной модели <tex>f(\mathbf{w},\mathbf{x})</tex>
-
*1) показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: <tex>SSE=SSE(w)</tex>;
+
-1) показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: <tex>SSE=SSE(w)</tex>;
-
*2) построить график и сделать апроксимацию Лапласа для нее;
+
-2) построить график и сделать апроксимацию Лапласа для нее;
-
*3) найти расстояния между получеными зависимостями, используя [http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence расстояние Кульбака - Лейблера].
+
-3) найти расстояния между получеными зависимостями, используя [http://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence расстояние Кульбака - Лейблера].
==Описание алгоритма==
==Описание алгоритма==

Версия 20:02, 21 ноября 2010

Аппроксимация Лапласа - способ оценки параметров нахождения нормального распределения при апроксимации заданой плотности вероятности.

Содержание

Сэмплирование

Сэмплирование – метод выбора подмножества наблюдаемых величин из данного множества, для дальнейшего его анализа. Одно из основных приминений методов сэмплирования заключается в оценке математического ожидания сложных вероятностных распределений:

E[f]=\int f(z)p(z) dz
,

для которых тяжело делать выборку непосредственно из распределения p(z). Однако, можно подсчитать значение p(z) в любой точке z. Один из наиболее простых методов подсчета математического ожидаия – разбить ось z на равномерную сетку и подсчитать интеграл как сумму

E[f] ≅\sum_{l=1}^{L} f(z^{(l)})p(z^{(l)}) dz
.

Существует несколько методов сэмплирования для создания выборки длинны L.

Постановка задачи

Задана выборка — множество X^N=\{{x}_1,\ldots,{x}_N|x\in\R^M\} значений свободных переменных и множество \{y_1,\ldots, y_N| y\in\R\} соответствующих им значений зависимой переменной. Необходимо для выбранной регрессионной модели f(\mathbf{w},\mathbf{x}) -1) показать зависимость среднеквадратичной ошибки от значений параметров модели: SSE=SSE(w); -2) построить график и сделать апроксимацию Лапласа для нее; -3) найти расстояния между получеными зависимостями, используя расстояние Кульбака - Лейблера.

Описание алгоритма

Расстояние Кульбака - Лейблера:

D_{kl}(p,q)=\sum\limits_{x\in \mathcal{X}} p(x) \ln \frac{p(x)}{q(x)}

Вычислительный эксперимент

Обозначим плоность распределения SSE как p_{SSE}, а его апроксимация лапласса p_{lap}

Пример 1

Задуманная функция y=x + sin3x. Берем линейную регрессионную модель с двумя параметрами: y(x)=w_1+w_2x. Используя МНК находим оптимальное значение w_1_{opt} и w_2_{opt} (при которых SSE минимально).

При фиксированном w_1=w_1_{opt} задаем различные значение w_2 (500 случайных значений на отрезке [-1;2]) и строим зависимость:

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=0.0085.

Повторим эксперимент, только теперь варируем сразу оба параметра w_1 и w_2:

Рис. 1.
Рис. 1.
Рис. 2. Ось log(p) направлена вверх
Рис. 2. Ось log(p) направлена вверх

апроксимация Лапласса:

Laplace approximation
Laplace approximation

D_{kl}(p_{SSE},p_{lap})=1.2481

На рис.2 наблюдается зависимость между коэффициентами w_1 и w_2. Следовательно, ковариационная матрица cov(w_1,w_2) не будет диагональной.

Смотри также

Литература

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Евгений Зайцев
Преподаватель: В.В.Стрижов
Срок: 24 декабря 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BF%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты