Исследование скорости сходимости параметров и гиперпараметров (пример)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Описание метода)
(→Описание метода)
Строка 36: Строка 36:
<center><tex>P(\mathbf{w}|\,D, A, \beta, f)= \frac{P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f) P(\mathbf{w}|\, A, f)}{P(D|\, A, \beta, f)} \propto \exp(-S(\mathbf{w}))</tex></center>
<center><tex>P(\mathbf{w}|\,D, A, \beta, f)= \frac{P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f) P(\mathbf{w}|\, A, f)}{P(D|\, A, \beta, f)} \propto \exp(-S(\mathbf{w}))</tex></center>
-
Таким образом, минимизация <tex> S(\mathbf{w})</tex> по <tex>\mathbf{w}</tex> дает максимум априорной плотности распределения параметров <tex>\mathbf{w}</tex> на выборке <tex>D</tex>.
+
Таким образом, минимизация <tex> S(\mathbf{w})</tex> по <tex>\mathbf{w}</tex> дает максимум априорной плотности распределения параметров <tex>\mathbf{w}</tex> на выборке <tex>D</tex>. Минимизация осуществляется алгоритмом Левенберга-Марквардта.

Версия 18:41, 22 декабря 2010

Содержание

Для фиксированной регрессионной модели исследуется скорость сходимости параметров и гиперпараметров при ее настройке через двухуровневый байесовский вывод.

Постановка задачи

Рассмотрим следующую модель регрессии, описывающую связь между свободной и зависимой переменными:

\mathbf{y} = f(\mathbf{x}, \mathbf{w}) + \mathbf{\varepsilon}

Пусть случайная величина \mathbf{\varepsilon} имеет нормальное распределение \mathbf{\varepsilon} \in N(0, \sigma^2). При этом будем обозначать \mathbf{\beta}=\frac1{\sigma^2}.

Вектор \mathbf{w} называется параметрами модели и рассматривается как многомерная случайная величина. Пусть плотность распределения параметров имеет вид многомерного нормального распределения N(\mathbf{0}, A) с матрицей ковариации A. В данном примере будут рассматриваться 2 случая: A^{-1}=diag(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_W)=diag(\mathbf{\alpha}), где W - число параметров модели, и A^{-1}=\alpha I_W, где I_W - единичная матрица размерности W.

Величины \mathbf{\beta} и \mathbf{\alpha} называются гиперпараметрами модели.

Для нескольких фиксированных функций f, задающих модель, через двухуровневый байесовский вывод происходит настройка параметров и гиперпараметров. Требуется проанализировать изменение параметров и гиперпараметров по мере настройки.


Алгоритм настройки регрессионной модели (двухуровневый байесовский вывод)

Настройка модели происходит через двухуровневый байесовский вывод.

Описание метода

Т.к. \mathbf{\varepsilon} \in N(0, \beta^{-2}), то для фиксированной модели f плотность вероятности появления данных

P(y|\,\mathbf{x},\mathbf{w}, \beta, f)\equiv P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f)=(\frac{2 \pi}\beta)^{-\frac{N}2}\, \exp(-\beta E_D),

где

E_D = \frac12 \sum_{n=1}^N (f(\mathbf{w},\mathbf{x}_n)-y_n)^2

Т.к. \mathbf{w} \in N(\mathbf{0}, A), то

P(\mathbf{w}|\, A, f)=\frac{1}{(2 \pi)^{\frac{W}2}{|A|}^{\frac12}}\,\exp(-E_W),

где

E_W = \frac12 \mathbf{w}^T A^{-1}\mathbf{w}

Тогда, если обозначить S(\mathbf{w})=E_W + \beta E_D = \frac12 \mathbf{w}^T A^{-1}\mathbf{w} + \beta E_D, то

P(\mathbf{w}|\,D, A, \beta, f)= \frac{P(D|\, \mathbf{w}, \beta, f) P(\mathbf{w}|\, A, f)}{P(D|\, A, \beta, f)} \propto \exp(-S(\mathbf{w}))

Таким образом, минимизация S(\mathbf{w}) по \mathbf{w} дает максимум априорной плотности распределения параметров \mathbf{w} на выборке D. Минимизация осуществляется алгоритмом Левенберга-Марквардта.


Считая, что в точке минимума \mathbf{w}^* функционал S(\mathbf{w}) представим в виде:

S(\mathbf{w}) = S(\mathbf{w}^*) + \frac12 \Delta\mathbf{w}^T H \Delta\mathbf{w}, где H=-\nabla\nabla S(w)|_{w=w^*} - гессиан функции ошибок,

получаем, что логарифм функции правдоподобия равен

ln P(D|\,\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta})= - \frac12 ln|A| - \frac{N}2 ln 2\pi + \frac{N}2 ln \beta - \beta E_D - E_W -\frac12 ln|H|


Гиперпараметры \mathbf{\beta} и \mathbf{\alpha} находятся итерационно из условия максимизации полученной функции правдоподобия:

При A^{-1}=diag(\mathbf{\alpha})=diag(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_W)

\alpha_i= \frac{-\lambda_i + \sqrt{\lambda_i^2 + 4 \frac{\lambda_i}{w_i^2}}}2, где \lambda_i - собственные числа матрицы H_D - части Гессиана, не зависящей от A.
\beta= \frac{N-\gamma}{2 E_D}, где \gamma=\sum^W_{j=1}\frac{\lambda_j}{\lambda_j+a_j}


При A^{-1}=\alpha I_W

\alpha = \frac{W-\delta}{\mathbf{w}^T \mathbf{w}}, где \delta=\sum^W_{j=1}\frac{\alpha}{\lambda_j+\alpha}
\beta= \frac{N-\gamma}{2 E_D}, где \gamma=\sum^W_{j=1}\frac{\lambda_j}{\lambda_j+\alpha}

Алгоритм

1) Задаем начальные значения \mathbf{w_0}, \mathbf{\alpha_0} и \mathbf{\beta_0}

2) Ищем локальный минимум функции ошибки S(\mathbf{w}) по \mathbf{w}

3) Ищем локальный максимум функции правдоподобия гиперпараметров P(D|\,\mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}) по \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}

4) Повторяем шаги 2 и 3 до сходимости функционала S(\mathbf{w})

Вычислительный эксперимент

Рассматриваются 6 типов моделей:

1) модель полиномиальной регрессии y=\sum_{i=1}^na_ix^{i-1}

2) модель y = a + b\, ln x

3) модель y = a + \frac{b}{x}

4) модель y = a + b\, e^{-cx}

5) модель трехпараметрического распределения Вейбулла y=abx^{b-1}\exp(-a(x-c)^b)

6) модель с тригонометрическими функциями y=a_0+\sum_{i=1}^n\bigl(a_i\cos(i\omega{x})+b_i\sin(i\omega{x})\bigr)

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%98%D1%81%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D0%B3%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2_%28%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%80%29»
Личные инструменты