Медиальное множество

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: == Определение == Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: ...)
Текущая версия (21:51, 27 февраля 2011) (править) (отменить)
(→Связь между медиальным и центральным множествами)
 
(12 промежуточных версий не показаны.)
Строка 2: Строка 2:
Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\}</tex> (<tex>\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega</tex> --- дополнение к <tex>\Omega</tex>).
Для каждой точки <tex>x\in\Omega</tex> обозначим <tex>D(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\}</tex> (<tex>\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega</tex> --- дополнение к <tex>\Omega</tex>).
-
'''Медиальным множеством'э' (''medial locus'') <tex>\Omega</tex> называется множество <tex>M_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}</tex>.
+
'''Медиальным множеством''' (''medial locus'') <tex>\Omega</tex> называется множество <tex>M_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}</tex>.
== Медиальное множество (срединная ось) на плоскости ==
== Медиальное множество (срединная ось) на плоскости ==
-
Зачастую медиальное множество называется ''срединной осью'' (''medial axis''), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (<tex>\Omega\subset \mathbb{R}^2</tex>), особенно в русскоязычной терминологии.
+
Зачастую медиальное множество называется ''[[Срединная ось|срединной осью]]'' (''medial axis''), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (<tex>\Omega\subset \mathbb{R}^2</tex>), особенно в русскоязычной терминологии.
В случае, когда ''n''=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества <tex>\Omega</tex>, а накладывают определенные ограничения на границу <tex>\Omega^c</tex>. Множество <tex>\overline{\Omega}</tex> при этом называется [[Плоская фигура|плоской фигурой]].
В случае, когда ''n''=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества <tex>\Omega</tex>, а накладывают определенные ограничения на границу <tex>\Omega^c</tex>. Множество <tex>\overline{\Omega}</tex> при этом называется [[Плоская фигура|плоской фигурой]].
-
Медиальное множество плоской фигуры называют также '''срединной осью''' (''medial axis'') плоской фигуры.
+
Медиальное множество плоской фигуры называют также '''[[Срединная ось|срединной осью]]''' ('''medial axis''') плоской фигуры.
 +
[[Изображение:CentralSet2D.png|thumb|Медиальное множество (срединная ось) плоской фигуры]]
== Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии ==
== Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии ==
-
Строго говоря, определенное выше медиальное множество является ''внутренним медиальным множеством'' множества <tex>\Omega</tex> (''internal medial locus''). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.
+
Строго говоря, определенное выше медиальное множество является '''внутренним медиальным множеством''' множества <tex>\Omega</tex> ('''internal medial locus'''). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.
Для каждой точки <tex>x\in\Omega^c</tex> обозначим <tex>D_e(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}</tex>.
Для каждой точки <tex>x\in\Omega^c</tex> обозначим <tex>D_e(x)</tex> множество ближайших граничных точек: <tex>D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}</tex>.
-
'''Определение'''. ''Внешним медиальным множеством'' <tex>\Omega</tex> (''external medial locus'') называется множество <tex>M^e_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega^c</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}</tex>.
+
'''Внешним медиальным множеством''' <tex>\Omega</tex> ('''external medial locus''') называется множество <tex>M^e_{\Omega}</tex> точек <tex>\Omega^c</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: <tex>M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}</tex>.
Внутреннее медиальное множество обозначается <tex>M^i_\Omega</tex>. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}</tex>, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}</tex>.
Внутреннее медиальное множество обозначается <tex>M^i_\Omega</tex>. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}</tex>, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: <tex>M_{\Omega}=M^i_{\Omega}</tex>.
Строка 22: Строка 23:
Для каждой точки <tex>x\in\mathbb{R}^n</tex> обозначим <tex>D_{sym}(x)</tex> множество ближайших точек границы <tex \Omega^c </tex>: <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}</tex>.
Для каждой точки <tex>x\in\mathbb{R}^n</tex> обозначим <tex>D_{sym}(x)</tex> множество ближайших точек границы <tex \Omega^c </tex>: <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}</tex>.
-
'''Определение'''. ''Множеством симметрии'' <tex>\Omega</tex> (''symmetry set'') называется множество <tex>Sym_{\Omega}</tex> точек <tex>\mathbb{R}^n</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе <tex \Omega^c </tex>: <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}</tex>.
+
'''Множеством симметрии''' <tex>\Omega</tex> (''symmetry set'') называется множество <tex>Sym_{\Omega}</tex> точек <tex>\mathbb{R}^n</tex>, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе <tex \Omega^c </tex>: <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}</tex>.
 +
 
 +
== Связь между медиальным и центральным множествами ==
 +
Для любого связного открытого ограниченного множества <tex>\Omega\subset\mathbb{R}^n</tex> верно, что его медиальное множество является подмножеством его [[Центральное множество|центрального множества]]: <tex> M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} </tex>.
 +
 
 +
При <tex> n=2, <tex> M_{\Omega}=S_{\Omega} </tex>, если <tex>\Omega</tex> --- [[Плоская фигура|многоугольная фигура]].
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Срединная ось]]
 +
* [[Центральное множество]]
 +
* [[Скелет]]
 +
 
 +
==Литература==
 +
* Chazal F., Soufflet R. ''Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton'' // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [http://www.maths.manchester.ac.uk/raag/preprints/0040.pdf]
 +
* Siddiqi K., Pizer K. ''Medial Representations: Mathematics, Algorithms, Applications'', Springer, 2008.
 +
 
 +
[[Категория:Медиальное представление формы]]

Текущая версия

Содержание

Определение

Для каждой точки x\in\Omega обозначим D(x) множество ближайших граничных точек: D(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega^c)\} (\Omega^c = \mathbb{R}^n\setminus\Omega --- дополнение к \Omega).

Медиальным множеством (medial locus) \Omega называется множество M_{\Omega} точек \Omega, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: M_{\Omega}=\{x\in\Omega|Card(D(x))\geq 2\}.

Медиальное множество (срединная ось) на плоскости

Зачастую медиальное множество называется срединной осью (medial axis), хотя лучше такое название применять только к плоским множествам (\Omega\subset \mathbb{R}^2), особенно в русскоязычной терминологии.

В случае, когда n=2, обычно рассматривают не произвольные открытые ограниченные связные множества \Omega, а накладывают определенные ограничения на границу \Omega^c. Множество \overline{\Omega} при этом называется плоской фигурой.

Медиальное множество плоской фигуры называют также срединной осью (medial axis) плоской фигуры.

Медиальное множество (срединная ось) плоской фигуры
Медиальное множество (срединная ось) плоской фигуры

Внутреннее и внешнее медиальное множество, множество симметрии

Строго говоря, определенное выше медиальное множество является внутренним медиальным множеством множества \Omega (internal medial locus). Иногда рассматривают также внешние медиальные множества.

Для каждой точки x\in\Omega^c обозначим D_e(x) множество ближайших граничных точек: D_e(x)=\{y\in\Omega^c: d(x,y)=d(x,\Omega)\}.

Внешним медиальным множеством \Omega (external medial locus) называется множество M^e_{\Omega} точек \Omega^c, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие граничные точки: M^e_{\Omega}=\{x\in\Omega^c|Card(D_e(x))\geq 2\}.

Внутреннее медиальное множество обозначается M^i_\Omega. Иногда под термином медиальное множество понимают объединение внутреннего и внешнего медиальным множеств: M_{\Omega}=M^i_{\Omega}\cup M^e_{\Omega}, но чаще всего медиальное множество --- это именно внутреннее медиальное множество: M_{\Omega}=M^i_{\Omega}.

Для каждой точки x\in\mathbb{R}^n обозначим D_{sym}(x) множество ближайших точек границы : <tex>D_{sym}(x)=\{y\in\partial\Omega^c: d(x,y)=d(x,\partial\Omega^c)\}.

Множеством симметрии \Omega (symmetry set) называется множество Sym_{\Omega} точек \mathbb{R}^n, имеющих, по меньшей мере, две ближайшие точки на границе : <tex>Sym_{\Omega}=\{x\in\mathbb{R}^n|Card(D_{sym}(x))\geq 2\}.

Связь между медиальным и центральным множествами

Для любого связного открытого ограниченного множества \Omega\subset\mathbb{R}^n верно, что его медиальное множество является подмножеством его центрального множества: M_{\Omega}\subseteq S_{\Omega} .

При n=2, <tex> M_{\Omega}=S_{\Omega} , если \Omega --- многоугольная фигура.

См. также

Литература

  • Chazal F., Soufflet R. Stability and finiteness properties of Medial Axis and Skeleton // Journal of Dynamic and Control Systems, Vol. 10, No.2, 2004. pp. 149 -- 170. [1]
  • Siddiqi K., Pizer K. Medial Representations: Mathematics, Algorithms, Applications, Springer, 2008.
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE»
Личные инструменты