Прогнозирование функциями дискретного аргумента (пример)

Материал из MachineLearning.

Версия 09:24, 6 сентября 2011

Введение

В статье представлена попытка прогнозирования таких специфических временных рядов, как монофонические мелодии. Были осуществлены три различных подхода: экспоненциальное сглаживание, локальное прогнозирование и поиск постоянных закономерностей.

Предлагается опробовать первый метод в традиционной его форме, чтобы ответить на вопрос, пригоден ли он для решения данной задачи. Затем предлагается во втором методе проверить работоспособность коэффициента корреляции Пирсона в качестве меры сходства. Третий будет использоваться в упрощенном варианте.

Постановка задачи

Мелодия есть функция , где — позиция ноты, — конечное множество нот, занумерованных в порядке увеличения тона, — длительность ноты, в секундах. Таким образом, будем работать с пучком из двух временных рядов.

Предполагается, что мелодия дана законченная, но без нескольких финальных нот(в данной статье одной). Необходимо их предсказать.

Пути решения задачи

Экспоненциальное сглаживание

Пусть — временной ряд.

Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле:

Чем меньше , тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда и шума. Если последовательно использовать рекуррентное это соотношение, то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда .

После появления работ Р. Брауна экспоненциальное сглаживание часто используется для решения задачи краткосрочного прогнозирования временных рядов следующим способом. Пусть задан временной ряд: . Необходимо решить задачу прогнозирования временного ряда, т.е. найти

— горизонт прогнозирования, необходимо, чтобы

.

Предположим, что D - невелико (краткосрочный прогноз), то для решения такой задачи используют модель Брауна. . Если рассматривать прогноз на 1 шаг вперед, то — погрешность этого прогноза, а новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки — суть адаптации.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить новые изменения и в то же время как можно лучше "очистить" ряд от случайных колебаний. Т.о. следует увеличивать вес более свежих наблюдений: . С другой стороны, для сглаживания случайных отклонений, нужно уменьшить: . Т.о. эти два требования находятся в противоречии. Мы будем брать из интервала (0,0.5).

Локальные методы прогнозирования

Музыкальный временной ряд отличается от обычного хаотического: он почти не хаотичен. В нем встречаются похожие, повторяющиеся и прочие регулярные структуры.

Регулярной структурой назовем кусок временного ряда, обладающий автономностью по отношению к остальному временному ряду, склонный к повторению в немного искаженной форме. Очевидно, что "немного" должно определяться некой функцией близости. В работе использовался вариант коэффициента корреляции Неймана-Пирсона:

где интеграл понимается в смысле суммы в силу дискретности функций. Прогноз будет строиться на естественном предположении компактности регулярных структур: у похожих кусков временного ряда должны быть похожие продолжения. Воспользуемся самым простым локальным алгоритмом, который ищет ближайшего соседа к прогнозируемому участку.

Поиск постоянных закономерностей

Рассмотрим один из подходов к поиску закономерностей в пучках временных рядов, который предполагает отсутствие изменений в закономерностях с течением времени. Для простоты будем рассматривать единственный временной ряд длины вместо пучка.

Маской на отрезке назовем булеву строку длины (здесь параметр определяет максимальный отступ по времени). Число единиц в маске будем называть весом маски и обозначать . Элемент маски, находящийся на -ом месте будем обозначать или . Закономерностью назовем пару , где маска указывает на значения ряда, являющиеся аргументами функции , а частично-определенная функция задает зависимость значений целевого ряда от переменных, на которые указывает маска .

где означает, что функция не определена на соответствующем наборе переменных.

Зафиксировав теперь маску , построим множество пар , где , а .

Полученное множество пар записывается в виде таблицы частот с числом строк, равным числу всех возможных наборов из , и числом столбцов, равным . Элемент таблицы частот — это число раз, которое значение встречается во входных данных на наборе c номером из .

(Предполагается, что наборы расположены в лексикографическом порядке.)

Обозначим

и

(в случае, если максимум достигается на нескольких значениях, выбирается среди этих значений произвольным образом).

Обозначим также

и

.

На основе таблицы частот порождается закономерность , где частично-определенная функция задается на каждом наборе из следующим образом:

Здесь символ обозначает отсутствие значения на данном наборе, а — параметр алгоритма, .

Вычислительный эксперимент

На следующих изображениях представлены изначальный временной ряд Медиа:Гуси.mid и его экспоненциальное сглаживание и тот же временной ряд с уже предсказанной точкой

Для экспоненциального сглаживания была выбрана , при которой среднеквадратичное отклонение ряда от его сглаживания было минимальным. Это значение оказалось равным . Экспоненциальное сглаживание не справилось с поставленной задачей.

Локальное прогнозирование оказалось успешней. В случае первой мелодии оно не только правильно нашло похожий кусок мелодии и правильно предсказало финальную ноту, но и в случае многократной прогонки алгоритма повторяло последнее предложение мелодии. Результаты работы алгоритма представлены в файлах Медиа:out1.mid и Медиа:out2.mid.

Литература

Данная статья является непроверенным учебным заданием. Студент: Егор Будников Преподаватель: В.В.Стрижов Срок: 24 мая 2010 До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.