Участник:EvgSokolov/Песочница

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 08:26, 24 октября 2011

Содержание

1 fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)
- 1.1 Обучение модели
- 1.2 Обработка новых чипов
  - 1.2.1 Один микрочип
  - 1.2.2 Партия микрочипов

fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)

Рассматривается следующая модель уровня экспрессии:

(1)

$Y_{ijkn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \gamma_{jkn} + \varepsilon_{ijkn}$

Здесь используются следующие обозначения:

$k$ — номер партии микрочипов $k \in 1, \dots, K$ . Два чипа относятся к одной партии, если эксперименты с ними были проведены в одной лаборатории в одно и то же время.
$i$ — номер микрочипа $i \in 1, \dots, I_k$ .
$n$ — номер набора проб $n \in 1, \dots, N$ . Также через $n$ мы будем обозначать номер гена, соответствующего $n$ -му набору проб.
$j$ — номер пробы $i \in 1, \dots, J_n$ .
$Y_{ijkn}$ — предобработанная (с вычтенным фоном и нормализованная) логарифмированная интенсивность пробы $j$ из набора проб $n$ микрочипа $i$ из партии микрочипов $k$ .
$\theta_{in}$ — экспрессия гена $n$ на $i$ -м микрочипе.
$\phi_{jn}$ — коэффициент сродства пробы $j$ гену $n$ .
$\gamma_{jkn}$ — случайная ошибка, вызывающая различия между партиями проб.
$\varepsilon_{ijkn}$ — случайная ошибка, вызывающая различия между пробами на чипах одной партии.

В данной модели предполагается, что пробы на разных чипах имеют одинаковую дисперсию случайной ошибки: $\mathbb{D} \varepsilon_{ijkn} = \sigma_{jn}^2$ . Также делается предположение, что $\gamma_{jkn}$ — это случайная величина, дисперсия которой не зависит от партии чипов: $\mathbb{D} \gamma_{jkn} = \tau_{jn}^2$ .

Обучение модели

Для обучения необходимы данные с большого числа микрочипов.

Сначала ко всем микрочипам применяется метод квантильной нормализации, приводящий все данные к одному распределению. В дальнейшем будем называть это распределение «представительным».

Непосредственная настройка модели (1) при наличии выбросов в обучающей выборке крайне сложна, поэтому предлагается перейти к более простой задаче. Рассматривается упрощенная модель

$Y_{ijn} = \theta_{in} + \phi_{jn} + \varepsilon_{ijn}$ .

По обучающей выборке находятся робастные оценки параметров $\hat \theta_{in}$ и $\hat \phi_{jn}$ для данной модели. Затем вычисляются остатки $r_{ijkn} = Y_{ijkn} - \left( \hat \theta_{in} + \hat \phi_{jn} \right)$ , с помощью которых оцениваются дисперсии $\sigma_{jn}^2$ и $\tau_{jn}^n$ :

$\hat \tau_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \left( \bar r_{.jkn} - \bar r_{.j.n} \right)^2$ ;

$\hat \sigma_{jn}^2 = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} \left( r_{ijkn} - \bar r_{.jkn} \right)^2$ ,

где $\bar r_{.jkn} = \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn},\; \bar r_{.j.n} = \frac{1}{K} \sum_{k = 1}^{K} \frac{1}{I_k} \sum_{i = 1}^{I_k} r_{ijkn}$ .

Обработка новых чипов

Рассмотрим процесс обработки новых чипов. Сначала делается фоновая поправка всех чипов методом RMA-свертки, затем с помощью квантильной нормализации интенсивности новых чипов приводятся к представительному распределению, полученному на этапе обучения. Последним шагом является суммаризация, которая подробно описана ниже.

В первую очередь делается поправка интенсивностей проб для учета коэффициента сродства:

(2)

$Y_{ijln}^* = Y_{ijln} - \hat \phi_{jn} \approx \theta_{in} + \gamma_{jln} + \varepsilon_{ijln}$

(здесь $l$ — это индекс новой партии микрочипов).

Далее из скорректированных интенсивностей нужно получить робастную оценку для $\theta$ . Это делается разными способами в зависимости от того, из скольких чипов состоит партия.

Один микрочип

В данном случае индексы $i$ и $l$ могут быть опущены опущены, так как обрабатывается один микрочип и одна партия.

Логарифмированная концентрация оценивается следующим образом:

$\hat \theta_n = \frac{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}} Y_{jn}^*}{\sum_{j = 1}^{J_n} \frac{w_{jn}}{v_{jn}}}$ ,

где $v_{jn} = \hat \tau_{jn}^2 + \hat \sigma_{jn}^2$ — оценка дисперсии скорректированной интенсивности $Y_{jn}^*$ , а $w_{jn}$ — веса, соответствующие некоторой M-оценке.

Данная оценка учитывает с низкими весами выбросы (так как им соответствуют маленькие $w_{jn}$ ) и пробы с большой дисперсией шума.

Партия микрочипов

В данном случае индекс $l$ может быть опущен, так как обрабатывается одна партия микрочипов. Число чипов в новой партии будем обозначать через $I$

Введем следующие обозначения:

${\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I}$ — индикаторная матрица ( $1_{m \times n}$ — матрица из единиц размера $m \times n$ ; ${\mathbf E}_{n \times n}$ — единичная матрица размера $n \times n$ ; $\otimes$ — произведение Кронекера).
${\mathbf \theta} = \left( \theta_{1 n}, \dots, \theta_{I n} \right)$ — вектор экспрессий.
${\mathbf Y_{jn}^*} = \left( Y_{ijn}^* \right)_{i = 1}^{I} \in \mathbb{R}^I$ — вектор интенсивностей пробы $j$ набора $n$ на всех чипах партии.
${\mathbf Y_n^*} = \left( {\mathbf Y_{1,n}^*, \dots, Y_{J_n, n}^* } \right)^T \in \mathbb{R}^{I J_n}$ — вектор интенсивностей всех проб к гену $n$ на всех чипах партии.
${\mathbf \delta} \in \mathbb{R}^{I J_n}$ — вектор случайных ошибок, соответствующих интенсивностям из ${\mathbf Y_n^*}$ .

Тогда модель (2) можно записать в матричном виде:

$\mathbf Y_n^* = X \theta + \delta$

Матрица ковариации вектора случайных ошибок $\mathbf \delta$ задается следующим образом:

${\mathbf \delta}_{i_1 j_1, i_2 j_2} = cov \left( Y_{i_1 j_1 n}^*,\; Y_{i_2 j_2 n}^* \right) = \begin{cases} \tau_{jn}^2 + \sigma_{jn}^2, & \text{if } j_1 = j_2 = j, \; i_1 = i_2, \\ \tau_{jn}^2, & \text{if } j_1 = j_2 = j, \; i_1 \neq i_2, \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

С учетом данного выражения ковариационную матрицу вектора $\mathbf \delta$ можно записать следующим образом:

${\mathbf \Sigma} = diag \left( \tau_{1n}^2, \dots, \tau_{J_n, n}^2 \right) \otimes 1_{I \times I} + diag \left( \sigma_{1n}^2, \dots, \sigma_{J_n, n}^2 \right) \otimes {\mathbf E}_{I \times I}$

Для параметров $\tau_{jn}^2$ И $\sigma_{jn}^2$ уже получены оценки, поэтому матрицу $\mathbf \Sigma$ можно считать известной. Значит, с помощью преобразования $\mathbf Z_n^* = \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^*$ можно добиться независимости случайных ошибок. Тогда робастную оценку для $\mathbf \theta$ можно получить из следующей задачи взвешенных наименьших квадратов:

$W \left\| {\mathbf \left( \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^* - \Sigma^{-\frac{1}{2}} X \theta \right) } \right\|^2 \rightarrow \min_{\mathbf \theta}$ ,

где $\mathbf W$ — диагональная матрица весов, соответствующих некоторой M-оценке.

Решение записывается следующим образом:

${\mathbf \hat \theta} = \left( {\mathbf X^T \Sigma^{-\frac{1}{2}} W \Sigma^{-\frac{1}{2}} X} \right)^{-1} {\mathbf X^T \Sigma^{-\frac{1}{2}} W \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^* }$ .

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:EvgSokolov/%D0%9F%D0%B5%D1%81%D0%BE%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0»

@@ Строка 68: / Строка 68: @@
 Введем следующие обозначения:
-* <tex> {\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I} } </tex> — индикаторная матрица (<tex> 1_{m \times n} </tex> — матрица из единиц размера <tex> m \times n </tex>; <tex> {\mathbf E}_{n \times n} </tex> — единичная матрица размера <tex> n \times n </tex>; <tex> \otimes </tex> — [http://ru.wikipedia.org/wiki/Произведение_Кронекера произведение Кронекера]).
+* <tex> {\mathbf X} = 1_{J_n \times 1} \otimes \mathbf{E}_{I \times I} </tex> — индикаторная матрица (<tex> 1_{m \times n} </tex> — матрица из единиц размера <tex> m \times n </tex>; <tex> {\mathbf E}_{n \times n} </tex> — единичная матрица размера <tex> n \times n </tex>; <tex> \otimes </tex> — [http://ru.wikipedia.org/wiki/Произведение_Кронекера произведение Кронекера]).
 * <tex> {\mathbf \theta} = \left( \theta_{1 n}, \dots, \theta_{I n} \right) </tex> — вектор экспрессий.
 * <tex> {\mathbf Y_{jn}^*} = \left( Y_{ijn}^* \right)_{i = 1}^{I} \in \mathbb{R}^I </tex> — вектор интенсивностей пробы <tex>j</tex> набора <tex>n</tex> на всех чипах партии.
@@ Строка 76: / Строка 76: @@
 Тогда модель {{eqref|2}} можно записать в матричном виде:
 ::<tex> \mathbf Y_n^* = X \theta + \delta </tex>
+Матрица ковариации вектора случайных ошибок <tex> \mathbf \delta </tex> задается следующим образом:
+::<tex> {\mathbf \delta}_{i_1 j_1, i_2 j_2} = cov \left( Y_{i_1 j_1 n}^*,\; Y_{i_2 j_2 n}^* \right) = \begin{cases} \tau_{jn}^2 + \sigma_{jn}^2, & \text{if } j_1 = j_2 = j, \; i_1 = i_2, \\ \tau_{jn}^2, & \text{if } j_1 = j_2 = j, \; i_1 \neq i_2, \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} </tex>
+С учетом данного выражения ковариационную матрицу вектора <tex> \mathbf \delta </tex> можно записать следующим образом:
+::<tex> {\mathbf \Sigma} = diag \left( \tau_{1n}^2, \dots, \tau_{J_n, n}^2 \right) \otimes 1_{I \times I} + diag \left( \sigma_{1n}^2, \dots, \sigma_{J_n, n}^2 \right) \otimes {\mathbf E}_{I \times I} </tex>
+Для параметров <tex> \tau_{jn}^2 </tex> И <tex> \sigma_{jn}^2 </tex> уже получены оценки, поэтому матрицу <tex> \mathbf \Sigma </tex> можно считать известной.
+Значит, с помощью преобразования <tex> \mathbf Z_n^* = \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^* </tex> можно добиться независимости случайных ошибок.
+Тогда робастную оценку для <tex> \mathbf \theta </tex> можно получить из следующей задачи взвешенных наименьших квадратов:
+::<tex> W \left\| {\mathbf  \left( \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^* - \Sigma^{-\frac{1}{2}} X \theta \right) } \right\|^2 \rightarrow \min_{\mathbf \theta} </tex>,
+где <tex> \mathbf W </tex> — диагональная матрица весов, соответствующих некоторой M-оценке.
+Решение записывается следующим образом:
+::<tex> {\mathbf \hat \theta} = \left( {\mathbf X^T \Sigma^{-\frac{1}{2}} W \Sigma^{-\frac{1}{2}} X} \right)^{-1} {\mathbf X^T \Sigma^{-\frac{1}{2}} W \Sigma^{-\frac{1}{2}} Y_n^* } </tex>.

Участник:EvgSokolov/Песочница

Материал из MachineLearning.

Версия 08:26, 24 октября 2011

Содержание

fRMA (Frozen Robust Multi-Array Analysis)

Обучение модели

Обработка новых чипов

Один микрочип

Партия микрочипов

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты