Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 3

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 22:36, 30 марта 2013

Основная статья: Графические модели (курс лекций)

Формулировка задания находится в стадии подготовки. Убедительная просьба не приступать к выполнению задания до тех пор, пока это предупреждение не будет удалено.

Начало выполнения задания: 18 марта 2013 г.;
Срок сдачи: 7 апреля 2013 г. (воскресенье), 23:59.

Среда для выполнения задания — MATLAB. Неэффективная реализация кода может негативно отразиться на оценке.

Содержание

1 Модель авторегрессии
2 Авторегрессионная скрытая марковская модель
3 Формулировка задания
4 Рекомендации по выполнению задания
5 Оформление задания

Модель авторегрессии

Графическая модель авторегрессии 1-го порядка

Случайный процесс с дискретным временем $\{\vec{x}_n\}_{n=1}^N$ , $\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d$ называется авторегрессией первого порядка, если

$\vec{x}_n = \vec{w} + A\vec{x}_{n-1} + \vec{\varepsilon}_n,\quad \vec{\varepsilon}_n\sim\mathcal{N}(\vec{0},\Sigma)$ .

Здесь $\vec{w}\in\mathbb{R}^d$ , $A\in\mathbb{R}^{d\times d}$ , $\Sigma\in\mathbb{R}^{d\times d}$ , шумовые компоненты $\vec{\varepsilon}_n$ являются независимыми. Процесс авторегрессии является стационарным, если все собственные значения матрицы $A$ (включая комплексные) по модулю меньше единицы. Мат.ожидание $\vec{\mu}$ стационарного процесса авторегрессии определяется как

$\vec{\mu} = (I-A)^{-1}\vec{w}$ ,

где $I$ — единичная матрица размера $d\times d$ .

В терминах графических моделей авторегрессия первого порядка представляет собой байесовскую сеть с графом вида цепочка (см. рис.), где совместное распределение задается как

$p(X|\vec{w},A,\Sigma,\vec{x}_0)=\prod_{n=1}^N\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}+A\vec{x}_{n-1},\Sigma)$ ,

а $\vec{x}_0$ — начальная предыстория.

Авторегрессия M-го порядка задается как

$\vec{x}_n = \vec{w}+\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m}+ \vec{\varepsilon}_n,\quad \vec{\varepsilon}_n\sim\mathcal{N}(\vec{0},\Sigma)$ .

Здесь шумовые компоненты $\vec{\varepsilon}_n$ по-прежнему предполагаются независимыми. Очевидно, что авторегрессия M-го порядка может быть сведена к авторегрессии первого порядка как

$\tilde{\vec{x}}_n = \tilde{\vec{w}} + \tilde{A}\tilde{\vec{x}}_{n-1} + \tilde{\vec{\varepsilon}}_n,\quad \tilde{\vec{w}} = \begin{bmatrix}\vec{w}\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix},\quad \tilde{\vec{x}}_n = \begin{bmatrix}\vec{x}_n\\ \vec{x}_{n-1}\\ \vdots \\ \vec{x}_{n-M}\end{bmatrix},\quad \tilde{A} = \begin{bmatrix}A_1 & A_2 & A_3 & \dots & A_{M-1} & A_M\\ I & 0 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & I & 0 & \dots & 0 & 0\\ \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & I & 0 \end{bmatrix},\quad \tilde{\vec{\varepsilon}}_n = \begin{bmatrix}\vec{\varepsilon}_n \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}.$

Поэтому авторегрессия M-го порядка является стационарной, если все собственные значения матрицы $\tilde{A}$ по модулю меньше единицы. Мат.ожидание стационарной регрессии M-го порядка определяется как

$\vec{\mu} = (I-A_1-\dots-A_M)^{-1}\vec{w}$ .

В дальнейшем для удобства набор матриц $A_1,\dots,A_M$ будем обозначать через $\mathcal{A}$ .

Графическая модель авторегрессии 2-го порядка

В терминах графических моделей авторегрессия M-го порядка представляет собой байесовскую сеть с графом, показанном на рис. справа, где совместное распределение задается как

$p(X|\vec{w},\mathcal{A},\Sigma,X_0)=\prod_{n=1}^N\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}+\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m},\Sigma)$ ,

а $X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}$ — начальная предыстория.

Авторегрессионная скрытая марковская модель

Графическая модель авторегрессионной скрытой марковской модели 2-го порядка

Авторегрессионная скрытая марковская модель M-го порядка — это байесовская сеть, граф которой показан на рис. справа, а совместное распределение задается как

$p(X,T|\theta,X_0)=p(t_1)\prod_{n=2}^Np(t_n |t_{n-1})\prod_{n=1}^Np(\vec{x}_n |t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})$ .

Здесь $t_n\in\{1,\dots,K\}$ — скрытые дискретные состояния, $\vec{x}_n\in\mathbb{R}^d$ — непрерывные наблюдаемые переменные. Априорное распределение $p(t_1)$ задается вектором $[\pi_1,\ldots,\pi_K]$ , причем все $\pi_k\ge 0$ и $\sum_k\pi_k=1$ . Распределение $p(t_n |t_{n-1})$ задается матрицей перехода $R$ размера $K\times K$ , где в $ij$ -ой позиции стоит вероятность перехода из состояния $i$ в состояние $j$ . Все элементы этой матрицы неотрицательны, а сумма элементов по каждой строке равна единице. Модель генерации данных соответствует модели авторегрессии, в которой параметры $\vec{w},\mathcal{A},\Sigma$ зависят от текущего состояния $t_n$ . Таким образом,

$p(\vec{x}_n|t_n,\vec{x}_{n-1},\dots,\vec{x}_{n-M})=\mathcal{N}(\vec{x}_n|\vec{w}_{t_n}+\sum_{m=1}^MA_{m,t_n}\vec{x}_{n-m},\Sigma_{t_n})$ .

В результате полный набор параметров модели состоит из $\vec{\pi},R,\{\vec{w}_k,\mathcal{A}_k,\Sigma_k\}_{k=1}^K$ . Глубина авторегрессии $M$ , количество скрытых состояний $K$ , а также начальная предыстория $X_0=\{\vec{x}_0,\vec{x}_{-1},\dots,\vec{x}_{1-M}\}$ задаются пользователем.

Формулировка задания

Для модели авторегрессии M-го порядка:
- Вывести формулы для оценки параметров модели $\vec{w},A,\Sigma$ по наблюдениям $\{\vec{x}_n\}_{n=1}^N$ с помощью метода максимального правдоподобия;
- Реализовать процедуру генерации сигнала из модели авторегрессии;
- Реализовать процедуру оценки параметров $\vec{w},A,\Sigma$ по методу максимального правдоподобия;
- Реализовать процедуру оценки выборочной автокорреляционной функции остатков авторегрессии;
Провести эксперименты с авторегрессией M-го порядка на модельных данных:
- в
Для авторегрессионной скрытой марковской модели:
- Вывести формулы ЕМ-алгоритма для оценки параметров модели $\vec{\pi},B,\{\vec{w}_k,A_k,\Sigma_k}_{k=1}^K$ , при этом предусмотреть ситуации, когда часть параметров известна;
- Реализовать процедуру генерации сигнала из модели;
- Реализовать процедуру оценки параметров модели с помощью EM-алгоритма;
- Реализовать процедуру оценки скрытых состояний по наблюдаемым данным и параметрам модели с помощью алгоритма Витерби;
Провести эксперименты с авторегрессионной скрытой марковской моделью на модельных данных:
Применить авторегрессионную скрытую марковскую модель для моделирования и сегментации движений в базе данных mocap.

Оформление задания

Выполненное задание следует отправить письмом по адресу bayesml@gmail.com с заголовком письма «[ГМ13] Задание 3 <ФИО>». Убедительная просьба присылать выполненное задание только один раз с окончательным вариантом. Также убедительная просьба строго придерживаться заданных ниже прототипов реализуемых функций.

Присланный вариант задания должен содержать в себе:

Файл отчёта в формате PDF с указанием ФИО.
Все исходные коды с необходимыми комментариями.

Генерация выборки из модели авторегрессии

X = ar_generate(N, w, A, Sigma, X0)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, число;

w — параметр сдвига, вектор длины d;

A — набор матриц в форме $[A_1\ A_2\ \dots\ A_M]$ , матрица размера d x Md;

Sigma — матрица ковариации для нормального шума, матрица размера d x d;

X0 — (необязательный параметр) начальная предыстория, матрица размера M x d;

ВЫХОД

X — сгенерированная последовательность, матрица размера N x d.

Если начальная предыстория $X_0$ не задана, то $X_0$ выбирается равной мат.ожиданию процесса авторегрессии.

Оценка параметров авторегрессии

[w, A, Sigma, res, LH] = ar_fit(X, M)

ВХОД

X — наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d, первые M строк соответствуют начальной предыстории;

M — глубина авторегрессии, число;

ВЫХОД

w — параметр сдвига авторегрессии, вектор длины d;

A — набор матриц в форме $[A_1\ A_2\ \dots\ A_M]$ , матрица размера d x Md;

Sigma — матрица ковариации нормального шума, матрица размера d x d;

res — остатки авторегрессии (набор векторов $\vec{x}_n-\vec{w}-\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m}$ ), матрица размера (N-M) x d;

LH — логарифм правдоподобия настроенной модели авторегрессии, число.

Генерация выборки из авторегрессионной скрытой марковской модели

[X, T] = arhmm_generate(N, p, R, W, A, Sigmas, X0)

ВХОД

N — количество точек в генерируемой последовательности, число;

p — априорное распределение на $t_1$ , вектор длины K;

R — матрица перехода размера K x K;

W — параметры сдвига авторегрессии для каждого состояния, матрица размера d x K;

A — авторегрессионные матрицы A для каждого состояния, массив размера d x Md x K;

Sigmas — матрицы ковариации шума для каждого состояния, массив размера d x d x K;

X0 — начальная предыстория, матрица размера M x d;

ВЫХОД

X — сгенерированная наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d;

T — сгенерированная последовательность состояния, вектор длины N.

Если начальная предыстория $X_0$ не задана, то $X_0$ выбирается равной мат.ожиданию процесса авторегрессии, соответствующего сгенерированному состоянию $t_1$ .

Оценка параметров авторегрессионной скрытой марковской модели с помощью ЕМ-алгоритма

[p, R, W, A, Sigmas] = arhmm_fit(X, K, M, param_name1, param_value1, ...)

ВХОД

X — наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d, первые M строк соответствуют начальной предыстории;

K — количество скрытых состояния, число;

M — глубина авторегрессии, число;

(param_name, param_value) — набор необязательных параметров, следующие имена и значения возможны:

'max_iter' — максимальное число итераций ЕМ-алгоритма, по умолчанию = 100;

'num_start' — количество запусков из случайных начальных приближений, по умолчанию = 1;

'p' — известное априорное распределение на состояния, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];

'R' — известная матрица перехода между состояниями, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];

'W' — известный набор параметров сдвига, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];

'A' — известный набор авторегрессионных матриц, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];

'Sigmas' — известный набор матриц ковариации шума, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];

'display' — режим отображения, true или false, если true, то отображается текущая информация, например, номер запуска, номер итерации, текущее значение правдоподобия и т.д.

ВЫХОД

p — априорное распределение на состояние, вектор длины K;

R — матрица перехода между состояниями, матрица размера K x K;

W — параметр сдвига авторегрессий, матрица размера d x K;

A — авторегрессионные матрицы, массив размера d x Md x K;

Sigmas — матрицы ковариации шумов, массив размера d x d x K.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%29/2013/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_3»

Категория: Учебные курсы

@@ Строка 92: / Строка 92: @@
 * Файл отчёта в формате PDF с указанием ФИО.
 * Все исходные коды с необходимыми комментариями.
+&nbsp;
 {|class="standard"
- !''Генерация выборки''
+ !''Генерация выборки из модели авторегрессии''
  |-
- |[X, T] = ARHMM_GENERATE(N, w, A, Mu, Sigma, C)
+ |X = '''ar_generate'''(N, w, A, Sigma, X0)
  |-
  |ВХОД
@@ Строка 102: / Строка 104: @@
  |
  {|border="0"
-  |N — количество точек в генерируемой последовательности, uint32;
+  |N — количество точек в генерируемой последовательности, число;
   |-
-  |w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;
+  |w — параметр сдвига, вектор длины d;
   |-
-  |A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;
+  |A — набор матриц в форме <tex>[A_1\ A_2\ \dots\ A_M]</tex>, матрица размера d x Md;
   |-
-  |Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор  для соответствующего состояния;
+  |Sigma — матрица ковариации для нормального шума, матрица размера d x d;
   |-
-  |Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;
+  |X0 — (необязательный параметр) начальная предыстория, матрица размера M x d;
-  |-
-  |C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;
   |}
  |-
@@ Строка 119: / Строка 119: @@
  |
  {|
-  |X — сгенерированная последовательность, матрица типа double размера N x d
+  |X — сгенерированная последовательность, матрица размера N x d.
   |-
-  |T — последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N
   |}
  |}
-Обратите внимание: в процедуре ARHMM_GENERATE количество признаков, скрытых состояний и глубина авторегрессии определяются неявно по размеру соответствующих элементов.
+Если начальная предыстория <tex>X_0</tex> не задана, то <tex>X_0</tex> выбирается равной мат.ожиданию процесса авторегрессии.
 {|class="standard"
- !''Сегментация''
+ !''Оценка параметров авторегрессии''
  |-
- |T = ARHMM_TEST(X, w, A, Mu, Sigma, C)
+ |[w, A, Sigma, res, LH] = '''ar_fit'''(X, M)
  |-
  |ВХОД
@@ Строка 136: / Строка 135: @@
  |
  {|
-  |X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – количество признаков;
+  |X — наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d, первые M строк соответствуют начальной предыстории;
   |-
-  |w — априорные вероятности, матрица типа double размера 1 x K, где K – количество скрытых состояний;
+  |M — глубина авторегрессии, число;
-  |-
-  |A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;
   |-
-  |Mu — константы в центрах гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор для соответствующего состояния;
-  |-
-  |Sigma — общая матрица ковариации гауссиан, матрица типа double размера d x d;
-  |-
-  |C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M, где M — глубина авторегрессии;
   |}
  |-
@@ Строка 153: / Строка 145: @@
  |
  {|
-  |T — полученная последовательность скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x N
+  |w — параметр сдвига авторегрессии, вектор длины d;
+  |-
+  |A — набор матриц в форме <tex>[A_1\ A_2\ \dots\ A_M]</tex>, матрица размера d x Md;
+  |-
+  |Sigma — матрица ковариации нормального шума, матрица размера d x d;
+  |-
+  |res — остатки авторегрессии (набор векторов <tex>\vec{x}_n-\vec{w}-\sum_{m=1}^MA_m\vec{x}_{n-m}</tex>), матрица размера (N-M) x d;
+  |-
+  |LH — логарифм правдоподобия настроенной модели авторегрессии, число.
   |}
  |}
@@ Строка 160: / Строка 160: @@
 {|class="standard"
- !''Обучение''
+ !''Генерация выборки из авторегрессионной скрытой марковской модели''
  |-
- |[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M)
+ |[X, T] = '''arhmm_generate'''(N, p, R, W, A, Sigmas, X0)
- |-
- |[w, A, Mu, Sigma, C, core] = ARHMM_EM_TRAIN(X, K, M, InputParameters)
  |-
  |ВХОД
@@ Строка 170: / Строка 168: @@
  |
  {|
-  |X — входная последовательность, матрица типа double размера N x d, где N – количество точек в последовательности, d – число признаков;
+  |N — количество точек в генерируемой последовательности, число;
   |-
-  |K — количество скрытых состояний, число типа uint16;
+  |p — априорное распределение на <tex>t_1</tex>, вектор длины K;
   |-
-  |M — глубина авторегрессии, число типа uint16;
+  |R — матрица перехода размера K x K;
   |-
-  |InputParameters — (необязательный аргумент) набор дополнительных параметров, массив типа cell вида ParameterName1, ParameterValue1, ParameterName2, ParameterValue2 и т.д. Возможны следующие параметры:
+  |W — параметры сдвига авторегрессии для каждого состояния, матрица размера d x K;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'w' — задаваемый пользователем вектор априорных вероятностей (соответственно, его не нужно определять в процессе EM-итераций);
+  |A — авторегрессионные матрицы A для каждого состояния, массив размера d x Md x K;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'A' — задаваемая пользователем матрица перехода;
+  |Sigmas — матрицы ковариации шума для каждого состояния, массив размера d x d x K;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'Mu' — задаваемые пользователем центры гауссиан для каждого состояния;
+  |X0 — начальная предыстория, матрица размера M x d;
+  |}
+ |-
+ |ВЫХОД
+ |-
+ |
+ {|
+  |X — сгенерированная наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'Sigma' — задаваемая пользователем матрица ковариации гауссиан;
+  |T — сгенерированная последовательность состояния, вектор длины N.
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'C' — задаваемые пользователем коэффициенты авторегрессии;
+  |}
+ |}
+Если начальная предыстория <tex>X_0</tex> не задана, то <tex>X_0</tex> выбирается равной мат.ожиданию процесса авторегрессии, соответствующего сгенерированному состоянию <tex>t_1</tex>.
+{|class="standard"
+ !''Оценка параметров авторегрессионной скрытой марковской модели с помощью ЕМ-алгоритма''
+ |-
+ |[p, R, W, A, Sigmas] = '''arhmm_fit'''(X, K, M, param_name1, param_value1, ...)
+ |-
+ |ВХОД
+ |-
+ |
+ {|
+  |X — наблюдаемая последовательность, матрица размера N x d, первые M строк соответствуют начальной предыстории;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'num_iter' — максимально допустимое число итераций EM-алгоритма;
+  |K — количество скрытых состояния, число;
   |-
-  |&nbsp;&nbsp;'tol_LH' — минимально допустимая величина отклонения по значению логарифма правдоподобия на одной итерации;
+  |M — глубина авторегрессии, число;
-  |}
+  |-
+  |(param_name, param_value) — набор необязательных параметров, следующие имена и значения возможны:
+  |-
+  |
+   {|
+    |'max_iter' — максимальное число итераций ЕМ-алгоритма, по умолчанию = 100;
+    |-
+    |'num_start' — количество запусков из случайных начальных приближений, по умолчанию = 1;
+    |-
+    |'p' — известное априорное распределение на состояния, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];
+    |-
+    |'R' — известная матрица перехода между состояниями, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];
+    |-
+    |'W' — известный набор параметров сдвига, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];
+    |-
+    |'A' — известный набор авторегрессионных матриц, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];
+    |-
+    |'Sigmas' — известный набор матриц ковариации шума, в случае задания не оптимизируется ЕМ-алгоритмом, по умолчанию = [];
+    |-
+    |'display' — режим отображения, true или false, если true, то отображается текущая информация, например, номер запуска, номер итерации, текущее значение правдоподобия и т.д.
+    |}
  |-
  |ВЫХОД
@@ Строка 197: / Строка 236: @@
  |
  {|
-  |w — априорные вероятности для скрытых состояний, матрица типа double размера 1 x K;
+  |p — априорное распределение на состояние, вектор длины K;
   |-
-  |A — матрица перехода, матрица типа double размера K x K;
+  |R — матрица перехода между состояниями, матрица размера K x K;
   |-
-  |Mu — центры гауссиан для каждого состояния, матрица типа double размера K x d, в которой в каждой строке стоит вектор мат.ожидания для соответствующего состояния;
+  |W — параметр сдвига авторегрессий, матрица размера d x K;
   |-
-  |Sigma — матрица ковариации гауссиан, массив типа double размера d x d;
+  |A — авторегрессионные матрицы, массив размера d x Md x K;
   |-
-  |C — коэффициенты авторегрессии, матрица типа double размера K x M;
+  |Sigmas — матрицы ковариации шумов, массив размера d x d x K.
   |-
-  |Core — все параметры для всех итераций EM-алгоритма, массив структур длины num_iter с полями 'w', 'A', 'Mu', 'Sigma', 'C', 'gamma', 'LH', где gamma – матрица значений gamma для всех точек и всех состояний, LH – логарифм правдоподобия
   |}
  |}
 [[Категория:Учебные курсы]]

Графические модели (курс лекций)/2013/Задание 3

Материал из MachineLearning.

Версия 22:36, 30 марта 2013

Содержание

Модель авторегрессии

Авторегрессионная скрытая марковская модель

Формулировка задания

Рекомендации по выполнению задания

Оформление задания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты