Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 13:38, 7 февраля 2008

Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.

Теорема. Для любой вещественной $(m\times m)$ -матрицы $A$ существуют две вещественные ортогональные $(m\times m)$ -матрицы $U$ и $V$ такие, что $U^T A V$ — диагональная матрица $\Lambda$ ,

$U^TAV=\Lambda.$

Матрицы $U$ и $V$ выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы $\Lambda$ имели вид

$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,$

где $r$ — ранг матрицы $A$ . В частности, если $A$ невырождена, то

$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.$

Индекс $r$ элемента $\lambda_r$ есть фактическая размерность собственного пространства матрицы $A$ . Столбцы матриц $U$ и $V$ называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы $\Lambda$ называются сингулярными числами.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<p>Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD)&nbsp;&#151; декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.</p>
+<p>'''Сингулярное разложение''' (Singular Value Decomposition, SVD)&nbsp;&#151; декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.</p>
-<p>Теорема. Для любой вещественной <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>A</tex> существуют две вещественные ортогональные <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> такие, что <tex>U^T A V</tex>&bnsp;&#151; диагональная матрица&nbsp;<tex>\Lambda</tex>, </p>
+<p><b>Теорема</b>. Для любой вещественной <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>A</tex> существуют две вещественные ортогональные <tex>(m\times m)</tex>-матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> такие, что <tex>U^T A V</tex>&nbsp;&#151; диагональная матрица&nbsp;<tex>\Lambda</tex>, </p>
 <p><center><tex>U^TAV=\Lambda.</tex></center></p>
 <p>Матрицы&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> имели вид </p>
-<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=...=\lambda_m=0,</tex></center></p>
+<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,</tex></center></p>
 <p>где&nbsp;<tex>r</tex>&nbsp;&#151; ранг матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. В частности, если&nbsp;<tex>A</tex> невырождена, то </p>
-<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_m > 0.</tex></center></p>
+<p><center><tex>\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.</tex></center></p>
 <p>Индекс&nbsp;<tex>r</tex> элемента&nbsp;<tex>\lambda_r</tex> есть фактическая размерность собственного пространства матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. Столбцы матриц&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> называются сингулярными числами.
 </p>

Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

Версия 13:38, 7 февраля 2008

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты