Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 14:03, 7 февраля 2008

Сингулярное разложение (Singular Value Decomposition, SVD) — декомпозиция вещественной матрицы с целью ее приведения к следующему каноническому виду.

Теорема. Для любой вещественной $(m\times m)$ -матрицы $A$ существуют две вещественные ортогональные $(m\times m)$ -матрицы $U$ и $V$ такие, что $U^T A V$ — диагональная матрица $\Lambda$ ,

$U^TAV=\Lambda.$

Матрицы $U$ и $V$ выбираются так, чтобы диагональные элементы матрицы $\Lambda$ имели вид

$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_r > \lambda_{r+1}=\ldots=\lambda_m=0,$

где $r$ — ранг матрицы $A$ . В частности, если $A$ невырождена, то

$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \ldots \geq \lambda_m > 0.$

Индекс $r$ элемента $\lambda_r$ есть фактическая размерность собственного пространства матрицы $A$ . Столбцы матриц $U$ и $V$ называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы $\Lambda$ называются сингулярными числами.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BD%D0%B3%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BB%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5»

@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 <p>Индекс&nbsp;<tex>r</tex> элемента&nbsp;<tex>\lambda_r</tex> есть фактическая размерность собственного пространства матрицы&nbsp;<tex>A</tex>. Столбцы матриц&nbsp;<tex>U</tex> и&nbsp;<tex>V</tex> называются соответственно левыми и правыми сингулярными векторами, а значения диагонали матрицы&nbsp;<tex>\Lambda</tex> называются сингулярными числами.
 </p>
-{{Заготовка}}

Сингулярное разложение

Материал из MachineLearning.

Версия 14:03, 7 февраля 2008

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты