Критерий Фишера
Материал из MachineLearning.
(Новая: '''Критерий Фишера''' применяется для для проверки равенства дисперсий двух выборок. Критерий Фишера ...) |
(→Ссылки) |
||
(13 промежуточных версий не показаны.) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | '''Критерий Фишера''' применяется | + | {{TOCright}} |
+ | '''Критерий Фишера''' применяется для проверки равенства [[Дисперсия случайной величины|дисперсий]] двух выборок. | ||
+ | Его относят к ''критериям рассеяния''. | ||
- | Критерий Фишера основан на | + | При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием [[критерий Стьюдента|критерия Стьюдента]] имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более [[мощность критерия|мощным]] критерием. |
- | + | ||
+ | В [[регрессионный анализ|регрессионном анализе]] критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей. | ||
+ | В частности, он используется в [[шаговая регрессия|шаговой регрессии]] для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель. | ||
+ | |||
+ | В [[Дисперсионный анализ|дисперсионном анализе]] критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия. | ||
+ | |||
+ | Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. | ||
+ | Перед его применением рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]]. | ||
==Примеры задач== | ==Примеры задач== | ||
Строка 12: | Строка 21: | ||
Обозначим через | Обозначим через | ||
- | <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> [[ | + | <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex> [[Дисперсия случайной величины|дисперсии]] выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>, <tex>s_1^2</tex> и <tex>s_2^2</tex> — выборочные оценки дисперсий <tex>\sigma_1^2</tex> и <tex>\sigma_2^2</tex>: |
::<tex>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</tex>; | ::<tex>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</tex>; | ||
::<tex>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</tex>, | ::<tex>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</tex>, | ||
Строка 18: | Строка 27: | ||
::<tex>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</tex> — выборочные средние выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>. | ::<tex>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</tex> — выборочные средние выборок <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex>. | ||
- | '''Дополнительное предположение''': | + | '''Дополнительное предположение''': выборки <tex>x^n</tex> и <tex>y^m</tex> являются [[Нормальное распределение|нормальными]]. |
+ | Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности. | ||
'''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex> | '''[[Нулевая гипотеза]]''' <tex>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</tex> | ||
'''Статистика критерия Фишера''': | '''Статистика критерия Фишера''': | ||
- | |||
::<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex> | ::<tex>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</tex> | ||
- | + | имеет [[распределение Фишера]] с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы. | |
- | имеет распределение Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex>. | + | Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий. |
- | + | Тогда [[критическая область критерия|критической областью критерия]] является правый хвост распределения Фишера, | |
- | + | что соотвествует альтернативной гипотезе <tex>H_1'</tex>. | |
- | сравниваемых дисперсий. | + | |
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | '''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>): | ||
*против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex> | *против альтернативы <tex>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</tex> | ||
- | ::если <tex>F | + | ::если <tex>F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)</tex> или <tex>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex>. |
- | <tex>F | + | |
- | отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1</tex> | + | |
*против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex> | *против альтернативы <tex>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</tex> | ||
- | ::если <tex>F>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается | + | ::если <tex>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</tex>, то нулевая гипотеза <tex>H_0</tex> отвергается в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>; |
- | в пользу альтернативы <tex>H_1'</tex>; | + | |
где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы. | где <tex>F_{\alpha}(n-1,m-1)</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Фишера с <tex>n-1</tex> и <tex>m-1</tex> степенями свободы. | ||
Строка 48: | Строка 53: | ||
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. | # ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с. | ||
- | == | + | == См. также == |
- | * [[Проверка статистических гипотез]] | + | * [[Критерий Стьюдента]] |
+ | * [[Проверка статистических гипотез]] | ||
* [[Статистика (функция выборки)]] | * [[Статистика (функция выборки)]] | ||
- | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера](Википедия). | + | * [[Нормальный дисперсионный анализ]] |
- | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера](Википедия). | + | |
+ | == Ссылки == | ||
+ | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера] (Википедия). | ||
+ | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера] (Википедия). | ||
+ | * [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Homogeneity_variance_1.pdf О применении и мощности критериев однородности дисперсий Фишера, Бартлетта, Кокрена, Хартли, Левене на сайте Новосибирского государственного технического университета] | ||
+ | |||
+ | [[Категория:Регрессионный анализ]] | ||
+ | [[Категория:Дисперсионный анализ]] | ||
+ | [[Категория:Параметрические критерии]] | ||
+ | [[Категория:Энциклопедия анализа данных]] | ||
+ | |||
+ | {{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2009}} |
Текущая версия
|
Критерий Фишера применяется для проверки равенства дисперсий двух выборок. Его относят к критериям рассеяния.
При проверке гипотезы положения (гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках) с использованием критерия Стьюдента имеет смысл предварительно проверить гипотезу о равенстве дисперсий. Если она верна, то для сравнения средних можно воспользоваться более мощным критерием.
В регрессионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость линейных регрессионных моделей. В частности, он используется в шаговой регрессии для проверки целесообразности включения или исключения независимых переменных (признаков) в регрессионную модель.
В дисперсионном анализе критерий Фишера позволяет оценивать значимость факторов и их взаимодействия.
Критерий Фишера основан на дополнительных предположениях о независимости и нормальности выборок данных. Перед его применением рекомендуется выполнить проверку нормальности.
Примеры задач
Описание критерия
Заданы две выборки .
Обозначим через
и
дисперсии выборок
и
,
и
— выборочные оценки дисперсий
и
:
;
,
где
— выборочные средние выборок
и
.
Дополнительное предположение: выборки и
являются нормальными.
Критерий Фишера чувствителен к нарушению предположения о нормальности.
Статистика критерия Фишера:
имеет распределение Фишера с и
степенями свободы.
Обычно в числителе ставится большая из двух сравниваемых дисперсий.
Тогда критической областью критерия является правый хвост распределения Фишера,
что соотвествует альтернативной гипотезе
.
Критерий (при уровне значимости ):
- против альтернативы
- если
или
, то нулевая гипотеза
отвергается в пользу альтернативы
.
- если
- против альтернативы
- если
, то нулевая гипотеза
отвергается в пользу альтернативы
;
- если
где есть
-квантиль распределения Фишера с
и
степенями свободы.
Литература
- Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.
См. также
- Критерий Стьюдента
- Проверка статистических гипотез
- Статистика (функция выборки)
- Нормальный дисперсионный анализ
Ссылки
- Распределение Фишера (Википедия).
- Критерий Фишера (Википедия).
- О применении и мощности критериев однородности дисперсий Фишера, Бартлетта, Кокрена, Хартли, Левене на сайте Новосибирского государственного технического университета
![]() | Данная статья является непроверенным учебным заданием.
До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}. См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе. |