Критерии однородности

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Текущая версия

Данная статья является непроверенным учебным заданием.

Студент: Участник:Anton

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 8 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Критерии однородности - это критерии проверки гипотез о том, что две (или более) выборки взяты из одного распределения вероятностей. Рассмотрим такую классификацию критериев:

Непараметрические (свободные от распределения) критерии однородности не предполагают присутствие какой-либо фундаментальной информации о законе распределения. Любое распределение можно описать параметром положения, характеризующим центр группирования случайных величин, и параметром масштаба, характеризующим степень рассеяния случайных величин относительно центра группирования. Когда закон распределения неизвестен, гипотезы о параметрах проверяются при помощи специальных критериев сдвига и масштаба. Также существуют двухвыборочные критерии согласия.
1. Непараметрические критерии сдвига.
2. Непараметрические критерии масштаба.
3. Двухвыборочные критерии согласия.
Если же принимаются какие-либо дополнительные предположения о законе распределения вероятностей, то можно применять

параметрические критерии однородности.

Содержание

1 Непараметрические критерии однородности
2 Параметрические критерии однородности
- 2.1 Сравнение параметров нормальных распределений
- 2.2 Сравнение параметров экспоненциальных распределений
  - 2.2.1 Сравнение двух параметров
  - 2.2.2 Сравнение нескольких (k>1) параметров
3 Ссылки
4 Литература
5 См. также

Непараметрические критерии однородности

Непараметрические критерии сдвига

Проверяется гипотеза сдвига, согласно которой распределения двух выборок имеют одинаковую форму и отличаются только сдвигом на константу. Пусть заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ ,взятые из неизвестных непрерывных распределений $F(x)$ и $G(y)$ соответственно.

Нулевая гипотеза: $H_0: \quad F(x) = G(y - \mu)$

Наиболее частая альтернативная гипотеза: $H_1: \quad F(x) \ne G(y - \mu)$ .

Существует большое количество критериев, проверяющих эту гипотезу:

Быстрый критерий Кенуя ^[1]

Ранговые критерии сдвига для двух выборок:

Ранговые критерии сдвига для нескольких (k>2) выборок:

Непараметрические критерии масштаба

Для двух выборок $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ . проверяется гипотеза о том, что они принадлежат одному и тому же распределению, но с разным параметром масштаба. Если плотность распределения первой выборки — $f(x)$ , а второй выборки — $\frac{1}{\tau}f( \frac{x}{\tau})$ , то нулевая гипотеза $H_0: \quad \tau \ne 1$ .

Ранговые критерии масштаба для двух выборок:

Ранговые критерии масштаба нескольких (k>2) выборок:

Критерий Бхапкара-Дешпанде ^[1]

Двухвыборочные критерии согласия

Параметрические критерии однородности

Сравнение параметров нормальных распределений

Сравнение двух средних значений

Имеются две выборки независимых случайных величин $x_1, x_2, \dots, x_n; \qquad y_1, y_2, \dots, y_n.$ Необходимо на основе выборочных данных установить наличие значимой разницы в средних двух совокупностей, из которых извлечены выборки.

Нулевая гипотеза: $H_0:\quad \mu_1 = \mu_2$ .

Альтернативы: $H_1:\quad \mu_1 \neq \mu_2; \qquad H_1': \quad \mu_1 > \mu_2; \qquad H_1'':\quad \mu_1 < \mu_2.$

Сравнение при известных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Сравнение при неизвестных равных дисперсиях осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Сравнение при неизвестных неравных дисперсиях осуществляется при помощи модификаций критерия Стьюдента: критерий Кохрена-Кокса, Критерий Сатервайта, критерий Уэлча.
Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках осуществляется при помощи критерия Стьюдента.
Критерий Уолша ^[1] позволяет проверять гипотезу о принадлежности одного наблюдения нормальному распределению, генерирующему выборку.
Двухступентчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа ^[1]
Критерий Фишера для сравнения двух средних с одинаковыми дисперсиями. ^[1] Эквивалентен критерию Стьюдента и основан на связи между распределениями Стьюдента и Фишера.
О параметрических и непараметрических критериях проверки гипотез об однородности средних и их мощности на сайте Новосибирского государственного технического университета

Сравнение нескольких средних значений

Имеются k выборок из нормально распределенной совокупности $x_{11},\dots,x_{1n_1}, \dots, x_{k1},\dots,x_{kn_k}.$

Нулевая гипотеза $H_0: \quad \mu_1=\dots=\mu_k$

Альтернатива $H_1: \quad |\mu_{i+1} - \mu_0 | > 0 \qquad (i=1,\dots,k).$

Модифицированный критерий Стьюдента ^[1] позволяет решать задачу в случае равных объемов выборок.
Критерий стьюдентизированного размаха ^[1]
Дисперсионный критерий ^[1]
Критерий Полсона ^[1]

решает задачу отделения выборки с наибольшим средним значением от всех остальных.

Сравнение двух дисперсий

Для двух нормально распределенных случайных величин $x_1, \dots, x_n; \qquad y_1, \dots, y_m$ необходимо проверить гипотезу равенства дисперсий, опираясь на их выборочные оценки.

Сравнение нескольких дисперсий

Пусть $\sigma_1^2, \dots, \sigma_k^2$ - дисперсии выборок

Нулевая гипотеза $H_0: \quad \sigma_1^2=\dots=\sigma_k^2$

Альтернатива $H_1:\quad \sigma_1^2 \neq \sigma_i^2 \qquad (i=2,\dots,k).$

Сравнение параметров экспоненциальных распределений

Сравнение двух параметров

Предположим, имеются две выборки из экспоненциальных распределений: $x_1, \dots, x_n; \qquad y_1,\dots, y_m,$ т.е. из распределений с плотностями $f(x) = \frac{1}{\nu_1} \exp{\left( -\frac{x}{\nu_1} \right)}; \qquad g(y) = \frac{1}{\nu_2} \exp{\left( -\frac{y}{\nu_2} \right)}$ . Здесь $\nu_1, \quad \nu_2$ - параметры распределений (средние значения). Иногда на практике (задачи анализа надежности объектов) используют параметр $\lambda = \fra{1}{\nu}$ - интенсивность отказов.

Сравнение нескольких (k>1) параметров

Ссылки

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерии согласия

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8»

Категории: Непроверенные учебные задания | Математическая статистика | Статистические тесты | Прикладная статистика

@@ Строка 96: / Строка 96: @@
 *[[Критерий Волфа| Двухступентчатый двухвыборочный медианный критерий Волфа]] <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 395 </ref>
 *[[Критерий Фишера]] для сравнения двух средних с одинаковыми дисперсиями. <ref> ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006, c. 396 </ref>  Эквивалентен [[Критерий Стьюдента|критерию Стьюдента]] и основан на связи между распределениями Стьюдента и Фишера.
+* [http://ami.nstu.ru/~headrd/seminar/publik_html/Homogeneity_averages.pdf О параметрических и непараметрических критериях проверки гипотез об однородности средних и их мощности на сайте Новосибирского государственного технического университета]
 === Сравнение нескольких средних значений ===