Статистика (функция выборки)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 10:57, 6 августа 2008

Содержание

1 Определение
2 Моменты
3 Порядковые статистики
4 Литература
5 Ссылки

Статистика — это измеримая функция выборки.

Также статистика — это область знаний (и соответствующие ей учебные дисциплины), в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.

Определение

Пусть задана случайная выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ наблюдений $x_i \in X$ .

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки $T:\: X^m \to \mathbb{R}$ .

Любой статистический критерий основан на вычислении некоторой статистики и затем проверке, попадает ли её значение в область наиболее вероятных значений. Если не попадает, то нулевая гипотеза данного критерия отвергается.

Ниже приводятся примеры наиболее часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения являются числовыми, $X = \mathbb{R}$ . В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.

Моменты

Выборочное среднее

$\bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i.$

Выборочная дисперсия

$s^2 = \frac1m \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2.$

Несмещённая оценка дисперсии:

$s^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2.$

Выборочный момент k-го порядка

$M^k = \frac1m \sum_{i=1}^m x^k_i.$

Выборочное среднее есть момент первого порядка.

Выборочный центральный момент k-го порядка

$\overset{\circ}M^k = \frac1m \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^k.$

Выборочная дисперсия есть центральный момент второго порядка.

Несмещённые оценки:

$\overset{\bullet}M^3 = \frac{m^2}{(m-1)(m-2)} \overset{\circ}M^3.$

$\overset{\bullet}M^4 = \frac{m(m^2-2m+3)\overset{\circ}M^4 + 3m(2m-3)\overset{\circ}(M^2)^2}{(m-1)(m-2)(m-3)}.$

Выборочный коэффициент асимметрии

$\gamma_1 = \overset{\circ}M^3 / s^3.$

Если плотность распределения симметрична, то $\gamma_1 = 0$ .

Если левый хвост распределения тяжелее, то $\gamma_1 > 0$ .

Если правый хвост распределения тяжелее, то $\gamma_1 < 0$ .

Выборочный коэффициент асимметрии часто используется для предварительной проверки выборки на нормальность.

Выборочный коэффициент эксцесса

$\gamma_2 = \overset{\circ}M^4 / s^4 - 3.$

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс, $\gamma_2 = 0$ .

Если хвосты распределения «легче» (соответственно, пик острее), чем у нормального, то $\gamma_2 < 0$ .

Если хвосты распределения «тяжелее» (соответственно, пик более «приплюснутый»), чем у нормального, то $\gamma_2 > 0$ .

Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для предварительной проверки выборки на нормальность.

Порядковые статистики

Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m)$ путём упорядочивания её элементов по возрастанию:

$x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.$

Значение $x^{(k)}$ называется k-й порядковой статистикой.

Выборочная квантиль

Выборочная $\lambda$ -квантиль при $0\leq\lambda < 1$ есть

$x^{(m\lambda+1)}.$

Размах выборки

$\Delta = x^{(m)} - x^{(1)}.$

Выборочная медиана

$\mu = \begin{cases} \frac12 \left(x^{(k)}+x^{(k+1)}\right),& m=2k;\\ x^{(k+1)},& m=2k+1.\end{cases}$

Литература

Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Википедия:Статистика

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0_%28%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BA%D0%B8%29»

@@ Строка 33: / Строка 33: @@
 ::<tex>\overset{\circ}M^k = \frac1m \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^k.</tex>
 Выборочная дисперсия есть центральный момент второго порядка.
+Несмещённые оценки:
+::<tex>\overset{\bullet}M^3 = \frac{m^2}{(m-1)(m-2)} \overset{\circ}M^3.</tex>
+::<tex>\overset{\bullet}M^4 = \frac{m(m^2-2m+3)\overset{\circ}M^4 + 3m(2m-3)\overset{\circ}(M^2)^2}{(m-1)(m-2)(m-3)}.</tex>
 === Выборочный [[коэффициент асимметрии]] ===
 ::<tex>\gamma_1 = \overset{\circ}M^3 / s^3.</tex>
-Несмещённая оценка:
-::<tex>\gamma_1 = \frac{}{}\overset{\circ}M^3 / s^3.</tex>
 Если плотность распределения симметрична, то <tex>\gamma_1 = 0</tex>.
@@ Строка 49: / Строка 51: @@
 === Выборочный [[коэффициент эксцесса]] ===
 ::<tex>\gamma_2 = \overset{\circ}M^4 / s^4 - 3.</tex>
-Несмещённая оценка:
 [[Нормальное распределение]] имеет нулевой эксцесс, <tex>\gamma_2 = 0</tex>.
-Если пик распределения острее, чем у нормального, то <tex>\gamma_2 > 0</tex>,
+Если хвосты распределения «легче» (соответственно, пик острее), чем у нормального, то <tex>\gamma_2 < 0</tex>.
-иначе <tex>\gamma_2 < 0</tex>.
+Если хвосты распределения «тяжелее» (соответственно, пик более «приплюснутый»), чем у нормального, то <tex>\gamma_2 > 0</tex>.
 Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для предварительной [[Критерии нормальности|проверки выборки на нормальность]].
@@ Строка 69: / Строка 72: @@
 Выборочная <tex>\lambda</tex>-квантиль при <tex>0\leq\lambda < 1</tex> есть
 ::<tex>x^{(m\lambda+1)}.</tex>
 === Размах выборки ===
 ::<tex>\Delta = x^{(m)} - x^{(1)}.</tex>
 === Выборочная медиана ===
 ::<tex>\mu = \begin{cases} \frac12 \left(x^{(k)}+x^{(k+1)}\right),& m=2k;\\ x^{(k+1)},& m=2k+1.\end{cases}</tex>