Критерий Стьюдента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 19:10, 11 августа 2008

Содержание

1 Сравнение выборочного среднего с заданным значением
2 Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях
3 Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях
4 Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях
5 Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках
6 История
7 Литература
8 Ссылки

t-Критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов), в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух нормальных выборках.

Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить проверку нормальности.

Сравнение выборочного среднего с заданным значением

Задана выборка $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительное предположение: выборка нормальна.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \mu$ (среднее равно $\mu$ ).

Статистика критерия:

$\displaystyle t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt{m}}{s}$

имеет распределение Стьюдента с $m-1$ степенями свободы, где

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i$ — выборочное среднее,

$\displaystyle s^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2$ — выборочная дисперсия.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \mu$

если $|t| > t_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \mu$

если $t < t_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \mu$

если $t > t_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $t_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль распределения Стьюдента с $m-1$ степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки $x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}$ .

Дополнительные предположения:

обе выборки нормальны;
значения дисперсий $\sigma^2_x,\, \sigma^2_y$ известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай, когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза $H_0:\; \bar x = \bar y$ (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

$z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}$ ,

имеет стандартное нормальное распределение $\mathcal{N}(0,1)$ , где

$\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i$ — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости $\alpha$ ):

против альтернативы $H_1:\; \bar x \neq \bar y$

если $|z| > \Phi_{\alpha/2}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H'_1:\; \bar x < \bar y$

если $z < \Phi_{\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

против альтернативы $H''_1:\; \bar x > \bar y$

если $z > \Phi_{1-\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

где $\Phi_{\alpha}$ есть $\alpha$ -квантиль стандартного нормального распределения.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях

Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках

История

Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Литература

Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.

Ссылки

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Student's t-test — статья в англоязычной Википедии.
t-критерий Стьюдента — статья в русской Википедии.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0»

Категории: Незавершённые статьи | Статистические тесты | Параметрические статистические тесты | Популярные и обзорные статьи

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+{{TOCright}}
 '''t-Критерий Стьюдента''' — общее название для [[статистический тест|статистических тестов]]), в которых статистика критерия имеет [[распределение Стьюдента]]. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух нормальных [[выборка]]х.
@@ Строка 4: / Строка 6: @@
 == Сравнение выборочного среднего с заданным значением ==
-Задана выборка <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex> наблюдений <tex>x_i \in X</tex>.
+Задана выборка <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}</tex>.
-Нулевая гипотеза <tex>H_0</tex>: математическое ожидание равно <tex>\mu</tex>.
+Дополнительное предположение: выборка нормальна.
+Нулевая гипотеза <tex>H_0:\; \bar x = \mu</tex> (среднее равно <tex>\mu</tex>).
 Статистика критерия:
-::<tex>t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt(m)}{s_m^2} \sum_{i=1}^m x_i</tex>,
+::<tex>\displaystyle t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt{m}}{s}</tex>
 имеет [[распределение Стьюдента]] с  <tex>m-1</tex> степенями свободы,
 где
-*<tex>\bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i</tex> — выборочное среднее,
+::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i</tex> — выборочное среднее,
-*<tex>s_m^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2</tex> — выборочная дисперсия.
+::<tex>\displaystyle s^2  = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2</tex> — выборочная дисперсия.
+Критерий (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-Критерий:
 * против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \mu</tex>
-::если <tex> |t| > t_{m-1,\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> |t| > t_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 * против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \mu</tex>
-::если <tex> t < t_{m-1,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> t < t_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 * против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \mu</tex>
-::если <tex> t > t_{m-1,1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> t > t_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 где
-<tex> t_{m-1,\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>m-1</tex> степенями свободы.
+<tex> t_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>m-1</tex> степенями свободы.
 == Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях ==
+Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
+Дополнительные предположения:
+* обе выборки нормальны;
+* значения дисперсий <tex> \sigma^2_x,\, \sigma^2_y </tex> известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай, когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан [[#Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях|ниже]].
+Нулевая гипотеза <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны).
+Статистика критерия:
+::<tex>z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}</tex>,
+имеет стандартное [[нормальное распределение]] <tex>\mathcal{N}(0,1)</tex>,
+где
+::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
+Критерий (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
+* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex>
+::если <tex> |z| > \Phi_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex>
+::если <tex> z < \Phi_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \bar y</tex>
+::если <tex> z > \Phi_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+где
+<tex> \Phi_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
 == Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях ==
 == Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях ==