Участник:Vitsemgol/Биномиальное распределение Буняковского

Материал из MachineLearning.

< Участник:Vitsemgol(Различия между версиями)

Текущая версия

Содержание

1 Определение

Определение

Биномиальное распределение Буняковского — это биномиальное распределение двух независимых случайных величин было впервые получено Виктором Яковлевичем Буняковским путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. ^[1]

Подробности в Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли и в Парадоксы биномиального распределения .

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:

$P(\xi_1=n_1, \xi_1=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},$

$2= k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.$

Биномиальное распределение Буняковского это биномиальное распределение вероятностей двух независимых случайных величин

$\xi_1, \xi_2,$

принимающих целые неотрицательные значения

$n_1, n_2,$

удовлетворяющие условиям

$n_1+n_2=n,$

с вероятностями

$\mathbf{P}(\xi_1=n_1,\xi_2=n_2) = \frac{n!}{n_1!n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2},$

где $p_i \geq 0$ , $\sum_{i=1}^2 p_i = 1$ ; является двумерным дискретным распределением случайного вектора $(\xi_1,\xi_2)$ такого, что $\xi_1+\xi_2=n$ .

Бииномиальное распределение Буняковского появляется в так называемой биномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин $\xi_j$ —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий $x_j, j=1,\ldots,k$ , при повторных независимых экспериментах.

Если в каждом эксперименте вероятность наступления события $x_j$ равна $p_j$ , то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1, x_2$ наступят $n_1, n_2$ раз соответственно.

Каждая из случайных величин $\xi_i$ имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием $np_i$ и дисперсией $np_i(1-p_i)$ .

Случайный вектор $(\xi_1,\xi_2)$ имеет математическое ожидание

$(np_1,np_2)$

и ковариационную матрицу

$B=\| b_{ij} \|$ ,

где

$b_{ij}=\begin{cases} np_i(1-p_i), & i=j,\\-n p_i p_j, & i \not= j.\end{cases}$

Характеристическая функция:

$f(t_1,t_2) = \left( p_1 e^{it_1}+ p_2 e^{it_2}\right)^n.$

При $n\to\infty$ распределение случайного вектора $(\eta_1,\eta_2)$ с нормированными компонентами

$\eta_i=(\xi_i-np_i)/\sqrt{np_i(1-p_i)}$

стремится к некоторому двумерному нормальному распределению, а распределение суммы

$\sum_{i=1}^2 (1-p_i)\eta_i^2,$

которая используется в математической статистике при построении $\chi^2$ -критерия, стремится к $\chi^2$ -распределению.

Имея в виду и разложение полинома, В.Я. Буняковский на с.19 цитируемой книги написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу."

Литература

↑ Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

Связь с другими распределениями

Если $2<k\le n < \infty$ , то мультиномиальное распределение независимых случайных величин (мультиномиальное распределение Буняковского)

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA:Vitsemgol/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%91%D1%83%D0%BD%D1%8F%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE»

@@ Строка 2: / Строка 2: @@
 Биномиальное распределение Буняковского &mdash; это биномиальное распределение '''двух независимых случайных величин''' было впервые получено Виктором Яковлевичем Буняковским  путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. <ref>''Буняковский В. Я.'' ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с. </ref>
+Подробности в [[Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли]] и в [[Парадоксы биномиального распределения ]].
 В современной записи биномиальное  распределение Буняковского имеют следующий вид:
@@ Строка 62: / Строка 64: @@
 которая используется в математической статистике при построении <tex>\chi^2</tex>-критерия, стремится к <tex>\chi^2</tex>-распределению.
+Имея в виду и разложение полинома, В.Я. Буняковский на с.19 цитируемой книги написал: "Так как вся эта теория основана на весьма простом разложении степени многочленного количества, то мы считаем излишним входить в дальнейшие подробности по этому вопросу."
 ===Литература===
@@ Строка 72: / Строка 76: @@
 ===  См. также ===
+*[[Распределение биномиальной выборки]]
 *[[Биномиальное распределение одной случайной величины]]
 *[[Биномиальное распределение двух случайных величин]]

Участник:Vitsemgol/Биномиальное распределение Буняковского

Материал из MachineLearning.

Текущая версия

Содержание

Определение

Литература

Связь с другими распределениями

См. также

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты