Алгоритм LOWESS

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(→Локальные веса)
(→Введение)
 
(49 промежуточных версий не показаны.)

Текущая версия

Содержание

Введение

Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания
Рис. 1. Пример применения lowess-сглаживания
Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных.
Локально-линейная модель loess(lowess) может быть записана в виде:
y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t.
Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с бо‘льшим числом независимых переменных.
Параметры \alpha_t и \beta_t локально линейной модели оцениваются с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он к объекту t.
Степень сглаживания определяется параметром сглаживания f, который выбирает пользователь.
Параметр f указывает, какая доля (fraction) данных используется в процедуре. Если f = 0.5, то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если f = 0.8, то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше, чем они ближе к объекту t.
Процедура оценки использует не метод наименьших квадратов, а более устойчивый ( робастный ) метод, который принимает меры против выбросов.
График приближенных значений
\hat{y_t}=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t
от x_t полезен для принятия решения о характере связи между y_t и x_t. Для проверки качества приближения полученного с помощью процедуры устойчивого loess полезно посмотреть на график остатков обычной регрессии, то есть в осях (i) остатки от числа наблюдения (ii) остатки от прибли‘женных значений, (iii) остатки от значений независимой переменной. Как показал Кливленд, может быть предпочтительно использовать график в осях модули остатков от полученных приближенных значений вместо графика (ii) для устойчивого loess сглаживания, чтобы проверить наличие тренда или других систематических особенностей.
Когда m > 100 вычисления могут быть слишком долгими, в этом случае можно сократить количество вычислений, оценивая \hat{\alpha_t} и \hat{\beta_t} только в точках отстоящих друг от друга как минимум на \delta единиц, где параметр \delta может задаваться либо приниматься по умолчанию. Рекомендуемые значения
\delta=0, если m <= 100
\delta=0.03*IQR, если m > 100, где IQR — [межквартильный размах](Interquartile range).
С такими параметрами вычисления будут выполнены для примерно 100 точек.

Примеры

Рис. 2. Задание параметра сглаживания
Рис. 2. Задание параметра сглаживания f
На Рис. 2. Приведена иллюстрация уровня сглаживания в зависимости от значения параметра f
Сглаживание также может быть локально квадратичным, в этом случае модель для y_t имеет вид
y_t=\alpha_t+\beta_t x_t +\gamma_t x_t^2+ \varepsilon_t.

Примеры сглаживания с квадратичным локальным приближением показаны на Рис. 3.

Рис. 3. Локально квадратичное сглаживание
Рис. 3. Локально квадратичное сглаживание

Технические детали алгоритма

Базовое предположение состоит в следующем

y_t=g(x_t)+\varepsilon_t , t=1,\ldots,m

где g(x) - функция сглаживания, остатки \varepsilon_t имеют нулевое математическое ожидание и фиксированную дисперсию. Затем сглаживание g мы приближаем локально-линейной (локально квадратичной, в случае нелинейной модели) функцией, чтобы получить

y_t=\alpha_t + \beta_t x_t + \varepsilon_t.

Для четкого определения алгоритма поясним концепцию локальных весов w(x_t) и робастных весов \delta(x_t).

Локальные веса

Рассмотрим один из широко распространенных примеров – функцию
W(z)=(1-|z|^3)^3, \, \, |z|<=1 \\ W(z)=0, \,\, |z|>1
Для заданного параметра 0 < f < 1 пусть r - ближайшее целое число к произведению f*m. Пусть h_t расстояние до r-того ближайшего соседа объекта x_t. Тогда локальный вес для любого объекта x в окрестности x_t есть
w(x)=W\left(\frac{x-x_t}{h_t}\right).

Замечание

Более общий подход к определению локальных весов состоит в выборе ширины окна h, в общем случае h=h(x_t), то есть зависящей от объекта x_t, и ядровой функции K(x)=K\left(\frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right ). Тогда локальные веса вычисляются по формулам
w(x)=K \left( \frac{\rho(x,x_t)}{h(x_t)} \right ).
В этом случае отпадает необходимость задания параметра сглаживания f и его смысл эквивалентен выбору ширины окна h=h(x_t).

Робастные веса

Пусть

X^m\setminus\{x_t\} – обучающая выборка за исключением элемента x_i,
\hat{y_t}:=a \( x_t;X^m\setminus\{x_t\} \) – ответ алгоритма a, обученного на выборке X^m\setminus\{x_t\} при работе на объекте x_t.
\hat{\varepsilon_t}= \|\hat{y_t}-y_t \| – ошибка алгоритма на объекте x_i(ошибка скользящего контроля).

Пусть s - есть медиана величин\hat{\varepsilon_1},\ldots,\hat{\varepsilon_m}. тогда \delta_t = \bar{K}(\frac{\varepsilon_t}{6s}), где

\bar{K}(z)=\left{ (1-|z|^2)^2, \, \, \, |z|\le 1 \\ 0, \, \, \, |z|>1 \right.

Замечание

Возможны и другие варианты выбора весов \delta_t, например, занулить p штук, соответствующих наибольшим \hat{\varepsilon_t}. Это соответствует ядру
\bar{K}(z)=[z<\hat{\varepsilon}^{(m-p)}],

где \hat{\varepsilon}^{(m-p)} –- (m-p) - тый член вариационного ряда \hat{\varepsilon}^{(1)}<=\ldots<=\hat{\varepsilon}^{(m)}

В качестве весовой ядерной функции можно взять функцию Хубера (Huber, 1964) на которой основаны *[M-оценки]

K(z)= \left{ z^2, \, \, \, |z| \le c\\ 2c|z|-c_2, \, \, \, |z|>c \right. Чтобы вычислить K(z) необходимо выбрать параметр устойчивости c. Одно популярное прикладное правило – c = 1,345 * s , где s – робастная мера масштаба, такая как медианное абсолютное отклонение от медианы (MAD). Это популярное правило обеспечивает 95%-ую эффективность относительно гомоскедастичной нормальной модели в проблеме местоположения.

Алгоритм LOWESS

Вход

X^m - обучающая выборка;
w_t, \,\,\, t=1,\ldots,m весовые функции;

Выход

Коэффициенты \delta_t, \,\,\, t=1,\ldots,m

Алгоритм 1.1

1. Построить линейную регрессию во всех t=1,\ldots,t=m точках, используя весовые функции w_t, тем самым получим оценки для параметров модели \hat{\alpha_t}, \hat{\beta_t}.
А также приближения \hat{y_t}=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t.
2. Инициализируем остатки \hat{\varepsilon_t}= \| \hat{y_t} - y_t \|. Вычислим робастные веса \delta_t =\bar{K}(\hat{\varepsilon_t})
3. повторять
4. Построить линейную регрессию во всех t=1,\ldots,t=m точках, используя весовые функции \delta_t w_t, тем самым получим оценки для параметров модели \hat{\alpha_t}, \hat{\beta_t}. А также приближения \hat{y_t}=\hat{\alpha_t}+\hat{\beta_t}x_t.
5. По новому набору значений \hat{\varepsilon_t}= \| \hat{y_t} - y_t \| вычислить новые значения коэффициентов \delta_t =\bar{K}(\hat{\varepsilon_t}).
6. пока веса \delta_t не стабилизируются

При использовании ядровых функций для оценки локальных весов объектов и робастных весов алгоритм модифицируется следующим образом:

Алгоритм 1.2

1. Инициализировать \delta_1:=\ldots=\delta_m:=1
2. повторять
3. Вычислить оценки скользящего контроля на каждом объекте
\hat{y_t}:=a(x_t; X\setminus\{ x_t\}) = \frac{ \sum_{i=1, i\neq t }^{m} {y_i \delta_i K\left( \frac{\rho(x_i,x_t)}{h(x_t)}\right)} } {\sum_{i=1, i\neq t }^{m} {y_i K\left( \frac{\rho(x_i,x_t)}{h(x_t)}\right)} }
4. По набору значений \hat{\varepsilon_t}= \| \hat{y_t} - y_t \| вычислить новые значения коэффициентов \delta_t.
5. пока веса \delta_t не стабилизируются


Коэффициенты \delta_t, как и ошибки \varepsilon_t, зависят от функции a, которая, в свою очередь, зависит от \delta_t. На каждой итерации строится функция a, затем уточняются весовые множители \delta_t. Как правило, этот процесс сходится довольно быстро. Однако в практических реализациях имеет смысл вводить ограничение на количество итераций, как правило, это 2-3 итерации.

Примеры

Рис. 4. Пример для модельных данных
Рис. 4. Пример для модельных данных
На рисунке 4 представлен пример робастного локально-линейного сглаживания с помощь алгоритма LOWESS. С числом итераций цикла равным 2 и параметром сглаживания f=0.5, то есть для приближения используется k=\left\lfloor n/2 \right\rfloor ближайших точек выборки.

Конечно, подход вычислительно достаточно требовательный, однако этот метод заслуживает внимания тех исследователей, которые обеспокоены наличием выбросов в данных. В частности он активно применяется в биологии в области генетических исследований.

Литература

  1. A.I. McLeod Statistics 259b Robust Loess: S lowess. — 2004.
  2. Хардле В. Прикладная непараметрическая регрессия.. — Мир, 1993.
  3. Воронцов К.В. Лекции по алгоритмам восстановления регрессии. — 2007.
  4. John A Berger, Sampsa Hautaniemi, Anna-Kaarina Järvinen, Henrik Edgren, Sanjit K Mitra and Jaakko Astola Optimized LOWESS normalization parameter selection for DNA microarray data. — BMC Bioinformatics, 2004.
  5. Maronna, A., R. Martin, V. Yohai Robust Statistics: Theory and Methods.. — Wiley, 2006.
  6. Расин, Джеффри «Непараметрическая эконометрика: вводный курс». — Квантиль, №4, стр. 7–56., 2008.
  7. Huber, P.J. Robust estimation of a location parameter. Annals of Statistics 35. — 1964. — С. 73–101.

См. также

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_LOWESS»
Личные инструменты