Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(/) |
|||
Строка 3: | Строка 3: | ||
=== Постановка математической задачи === | === Постановка математической задачи === | ||
- | Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла | + | :Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла |
- | <tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}</tex> | + | {{ Формула |
+ | |<center><tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx}, </tex></center> | ||
+ | |<tex>(1)</tex> | ||
+ | }} | ||
- | где <tex>f(x)</tex> - заданная на отрезке [a,b] функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число | + | где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число |
- | <tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)}</tex> | + | {{ Формула |
+ | |<center><tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></center> | ||
+ | |<tex>(2)</tex> | ||
+ | }} | ||
- | где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. | + | где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - ''весовые множители'', зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Формула <tex>(2)</tex> называется ''квадратурной формулой''. |
+ | :Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы ''погрешность квадратурной формулы'' | ||
- | + | {{ Формула | |
+ | |<center><tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex></center> | ||
+ | | | ||
+ | }} | ||
- | <tex>D[f]=\ | + | была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. |
+ | Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл <tex>(1)</tex> в виде суммы интегралов по частичным отрезкам: | ||
- | + | {{ Формула | |
+ | |<center><tex>\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.</tex></center> | ||
+ | |<tex>(3)</tex> | ||
+ | }} | ||
- | <tex> | + | Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке <tex>[a,b]</tex> достаточно построить квадратурную формулу для интеграла |
- | + | {{ Формула | |
+ | |<center><tex>\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}</tex></center> | ||
+ | |<tex>(4)</tex> | ||
+ | }} | ||
- | <tex> | + | на частичном отрезке <tex>[x_{i-1},x_i]</tex> и воспользоваться свойством <tex>(3)</tex>. |
- | + | ||
- | + | ||
- | + | ||
- | <tex> | + | |
- | + | ||
- | + | ||
== Изложение метода == | == Изложение метода == |
Версия 14:33, 26 сентября 2008
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
|
где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
|
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Формула называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
|
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
на частичном отрезке и воспользоваться свойством .
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.