Методы парабол (Симпсона) и более высоких степеней (Ньютона - Котеса)
Материал из MachineLearning.
(→Построение квадратурных формул) |
(→Построение квадратурных формул) |
||
Строка 85: | Строка 85: | ||
<center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center> | <center><tex>L[(s-\frac{1}{2})^3]=\int_0^1{(s-\frac{1}{2})^3ds}=0.</tex></center> | ||
- | Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве <tex>P_m(s)</tex> можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа | + | Формулы [[Методы прямоугольников и трапеций|треугольника и трапеции]] точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве <tex>P_m(s)</tex> можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа |
<center><tex>P_m(s)=\sum_{k=0}^m{l_k^{(m)}(s)f(s_k)},</tex></center> | <center><tex>P_m(s)=\sum_{k=0}^m{l_k^{(m)}(s)f(s_k)},</tex></center> |
Версия 16:29, 26 сентября 2008
автор: Гордеев Дмитрий
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
- Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла
|
где - заданная и интегрируемая на отрезке функция. На отрезке вводится сетка и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
|
где - значения функции в узлах , где - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора . Формула называется квадратурной формулой.
- Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов и таких весов , чтобы погрешность квадратурной формулы
|
была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина зависит от гладкости ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов. Введем на равномерную сетку с шагом , т.е. множество точек , и представим интеграл в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
|
Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке достаточно построить квадратурную формулу для интеграла
|
на частичном отрезке и воспользоваться свойством .
Построение квадратурных формул
- В силу вышеизложенного выше, вычисление приближенного значения интеграла производится при помощи квадратурной формулы
Данную формулу при помощи замены можно привести к стандартному виду
|
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат определению.
Рассмотрим случай, когда узлы заданы и требуется найти веса квадратурной формулы . Будем пользоваться требованием: формула должна быть точной для любого полинома степени . Для того чтобы полином степени удовлетворял данному требованию, достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула была точной для любого одночлена степени . Учитывая, что , получаем уравнение
Эта система имеет единственное решение, так как ее определителем является определитель Вандермонда, отличный от нуля если нет совпадающих узлов, .
Так, полагая , имеем систему , решением которой являются веса формулы Симпсона: . Таким образом, формула Симпсона является точной для полинома второй степени. Однако, в силу симметрии, она является точной и для всех полиномов третьей степени:
так как она точна для :
Формулы треугольника и трапеции точны для линейной функции,т.е. для полинома первой степени, в чем легко убедиться непосредственно. В общем случае в качестве можно выбрать интерполяционный полином Лагранжа
где - интерполяционный коэффициент Лагранжа. Из равенства
видно, что формула верна для полинома степени , если весовые коэффициенты определяются по формуле
|
Формулы такого типа называют квадратурными формулами Котеса.
Изложение метода
Анализ метода
Числовой пример
Рекомендации программисту
Заключение
Список литературы
- А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
- А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.