Методы прямоугольников и трапеций

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Перейти к: навигация, поиск

Версия 17:06, 7 октября 2008

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
2 Изложение метода
- 2.1 Формула прямоугольников
- 2.2 Формула трапеций
3 Числовой пример
4 Рекомендации программисту
- 4.1 Автоматический выбор шага интегрирования
5 Заключение
6 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла

( 1 )

$I=\int_a^b{f(x)dx},$

где $f(x)$ - заданная и интегрируемая на отрезке $[a,b]$ функция. На отрезке вводится сетка $\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<...<x_i<...<x_N=b\}$ и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число

( 2 )

$I_N=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},$

где $f(x_i)$ - значения функции $f(x)$ в узлах $x=x_i$ , где $c_i$ - весовые множители, зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора $f(x)$ . Формула (2) называется квадратурной формулой.

Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов $\{x_i\}$ и таких весов $\{c_i\}$ , чтобы погрешность квадратурной формулы

$\Psi=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = I_N - I$

была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина $\Psi$ зависит от гладкости $f(x)$ ). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.

Введем на $[a,b]$ равномерную сетку с шагом $h$ , т.е. множество точек $\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,...,N,hN=b-a}$ , и представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

( 3 )

$\int_a^b{f(x)dx}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}}.$

Для построения формулы численного интегрирования на всм отрезке $[a,b]$ достаточно построить квадратурную формулу для интеграла

( 4 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}$

на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ и воспользоваться свойством (3).

Изложение метода

Формула прямоугольников

Заменим интеграл (3) выражением $f(x_{i-1/2})h$ , где $x_{i-1/2}=x_{i}-0.5h.$

Геометрически такая замена означает, что площадь криволинейной трапеции $ABCD$ заменяется площадью прямоугольника $ABC'D'$ (см. рис. 1). Тогда получим формулу

( 5 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx f(x_{i-1/2})h,$

которая называется формулой прямоугольников на частичном отрезке $[x_{i-1},x_i].$

Погрешность метода (5) определяется величиной

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h$

которую легко оценить с помощью формулы Тейлора. Действительно, запишем $\psi_{i}$ в виде

( 6 )

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-f(x_{i-1/2}))dx}$

и воспользуемся разложением

$f(x)=f(x_{i-1/2})+(x-x_{i-1/2})f'(x_{i-1/2})+\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi),$

где $\xi_i=\xi_i(x)\in [x_{i-1},x_i]$ . Тогда из (6) получим

$\psi_{i}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}$

Обозначая $M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|$ , оценим $\xi_i$ следующим образом:

$|\xi_i|\le M_{2,i} \int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}dx}=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Таким образом, для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка

( 7 )

$|\xi_i|\le \frac{h^3}{24}M_{2,i}$

т.е. формула имеет погрешность $O(h^3)$ при $h\rightarrow0$ .

Заметим,что оценка (7) является неулучшаемой, т.е. существует функция $f(x)$ , для которой (7) выполняется со знаком равенства. Действительно, для $f(x)=(x-x_{i-1/2})^2$ имеем $M_{2,i}=2, f(x_{i-1/2})=0$ и

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-f(x_{i-1/2})h=\frac{h^3}{24}M_{2,i}$

Суммируя равенства (5) по $i$ от $1$ до $N$ , получим составную формулу прямоугольников

( 8 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

Погрешность этой формулы

$\Psi=\int_{a}^{b}{f(x)dx}-\sum_{i=1}^N{f(x_{i-1/2})h}$

равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам,

$\Psi=\sum_{i=1}^N{\psi_i}=\sum_{i=1}^N{\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1/2})^2}{2}f''(\xi_i)dx}}$

Отсюда, обозначая $M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$ , получим

( 9 )

$|\Psi|\le\frac{M_2Nh^3}{24}=\frac{h^2(b-a)}{24}M_2$

т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть велицина $O(h^2)$ .

В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точнотси.

Формула трапеций

На частичном отрезке эта формула имеет вид

( 10 )

$\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}\approx \frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h$

и получается путем замены подынтегральной функции $f(x)$ интерполяционным многочленом первой степени,постоенным по узлам $x_{i-1},x_i$ , т.е. функцией

$L_{1,i}(x)=\frac{1}{h}((x-x_{i-1})f(x_i)-(x-x_i)f(x_{i-1})).$

Для оценки погрешности достаточно вспомнить,что

$f(x)-L_{1,i}(x)=\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x)).$

Отсюда получим

$\psi_i=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{f(x)dx}-\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{(f(x)-L_{1,i}(x))dx}=\int_{x_{i-1}}^{x_i}{\frac{(x-x_{i-1})(x-x_i)}{2}f''(\xi_i(x))dx}$

и,следовательно,

( 11 )

$|\psi_i|\le \frac{M_{2,i}h^3}{12}$

Оценка (11) неулучшаема, так как в ней достигается равенство, например, для $f(x)=(x-x_i)^2$ .

Составная формула трапеций имеет вид

( 12 )

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}\approx \sum_{i=1}^N{\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}h}=h(0.5f_0+f_1+...+f_{N-1}+0.5f_N),$

где $f_i=f(x_i),i=0,1,...,N,hN=b-a$ .

Погрешность этой формулы оценивается следующим образом:

( 13 )

$|\Psi|\le \frac{h^2(b-a)}{12}M_2,M_2=\underset{x\in [a,b]}{max}|f''(x)|$

Таким образом, формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, $\Psi=O(h^2)$ , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.

Числовой пример

Вычислим по формулам прямоугольников и трапеций при $n=2$ интеграл

( 14 )

$I=\int_{0}^{\pi/2}{\sin(x)dx} = 1$

В данном случае

$P_2=\frac{\pi}{4}(\sin(\frac{\pi}{8})+\sin(\frac{3\pi}{8}))=1.026172$

$T_2=\frac{\pi}{4}(\frac{1}{2}\sin(0)+\sin(\frac{\pi}{4})+\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{2}))=0.948059$

Зная точный ответ (14), найдем погрешности

( 15 )

$\alpha_2=-0.026172,\beta_2=0.051941$

Вторая производная функции $\sin(x)$ на отрезке $[0,\pi/2]$ отрицательна, ее модуль не превышает единицы: $M_2=1$ . Величина погрешностей (15) удовлетворяет неравенствам (9) и (13):

$|\alpha_2|\le \frac{1}{96}(\frac{\pi}{2})^3<0.041,|\beta_2|\le \frac{1}{48}(\frac{\pi}{2})^3<0.081$

Рекомендации программисту

Автоматический выбор шага интегрирования

Величина погрешности численного интегрирования зависит как от шага сетки $h$ , так и от гладкости подынтегральной функции $f(x)$ . Например, в оценку (11), наряду с $h$ , входит величина

$M_{2,i}=\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{max}|f''(x)|,$

которая может сильно меняться от точки к точке и, вообще говоря, заранее неизвестна. Если величина погрешности велика, то ее можно уменьшить путем измельчения сетки на данном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ . Для этого прежде всего надо уметь апостериорно, т.е. после проведения расчета, оценивать погрешность.

Апостериорную оценку погрешности можно осуществить методом Рунге. Пусть какая-то квадратурная формула имеет на частичном отрезке порядок точности $m$ , т.е. $I_i-I_{h,i}\approx c_i h_i^m$ . Тогда

$I_i-I_{h/2,i}\approx c_i (\frac{h_i}{2})^m,$

откуда получим

( 16 )

$I_i-I_{h,i}\approx 2^m (I_i-I_{h/2,i}),$

( 17 )

$I_i-I_{h/2,i}\approx \frac{I_{h/2,i}-I_{h,i}}{2^m-1}$

Возможность апостериорно оценивать погрешность позволяет вычислять интеграл (1) с заданной точностью $\epsilon >0$ путем автоматического выбора шага интегрирования $h_i$ . Пусть используется составная квадратурная формула

$I\approx I_h=\sum_{i=1}^N{I_{h,i}}$

где $I_{h,i}$ - квадратурная сумма на частичном отрезке, причем на каждом частичном отрезке используется одна м та же квадратурная формула (например, формула трапеций). Проведем на каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ все вычисления дважды, один раз - с шагом $h_i$ и второй раз - с шагом $0.5h_i$ и оценим погрешность по правилу Рунге (17).

Если для заданного $\epsilon >0$ будут выполняться неравенства

( 18 )

$|I_i-I_{h/2,i}|\approx \frac{|I_{h/2,i}-I_{h,i}|}{2^m-1} \le \frac{\epsilon h_i}{b-a},i=1,2,...,N,$

то получим

$|I-I_h/2|\le \frac{\epsilon}{b-a}\sum_{i=1}^N{h,i}=\epsilon,$

т.е. будет достигнута заданная точность $\epsilon$ .

Если же на каком-то из частичных отрезков оценка (18) не будет выполняться, то шаг на этом отрезке надо измельчить еще в два раза и снова оценить погрешность. Измельчение сетки на данном отрезке следует проводить до тех пор, пока не будет достигнута оценка вида (18). Заметим, что для некоторой функции $f(x)$ такое измельчение может продолжаться слишком долго. Поэтому в соответствующей программе следует предусмотреть ограничение сверху на число измельчений,а также вожможность увеличения $\epsilon$ .

Таким образом, автоматический выбор шага интегрирования приводит к тому, что интегрирование ведется с крупным шагом на участках плавного изменения функции $f(x)$ и с мелким шагом - на участках быстрого изменения $f(x)$ . Это позволяет при заданной точности $\epsilon$ уменьшить количество вычислений значений $f(x)$ по сравнению с расчетом на сетке с постоянным шагом. Подчеркнем, что для нахождения сумм $I_{h/2,i}$ не надо пересчитывать значения $f(x)$ во всех узлах, достаточно вычислять $f(x)$ только в новых узлах.

Заключение

Список литературы

А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, 1989.
А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, 1982.

Это незавершённая статья. Вы поможете проекту, исправив и дополнив её.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2_%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BF%D0%B5%D1%86%D0%B8%D0%B9»

Категории: Незавершённые статьи | Численное интегрирование

@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 {{ eqno | 1 }}
-<p align="center"><tex>J[f]=\int_a^b{f(x)dx},</tex></p>
+<p align="center"><tex>I=\int_a^b{f(x)dx},</tex></p>
-где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<\ldots<x_i<\ldots<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
+где <tex>f(x)</tex> - заданная и интегрируемая на отрезке <tex>[a,b]</tex> функция. На отрезке вводится сетка <tex>\omega=\{x_i:x_0=a<x_1<...<x_i<...<x_N=b\}</tex> и в качестве приближенного значения интеграла рассматривается число
 {{ eqno | 2 }}
-<p align="center"><tex>J_N[f]=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></p>
+<p align="center"><tex>I_N=\sum_{i=0}^N {c_i f(x_i)},</tex></p>
 где <tex>f(x_i)</tex> - значения функции <tex>f(x)</tex> в узлах <tex>x=x_i</tex> , где <tex>c_i</tex> - ''весовые множители'', зависящие только от узлов, но не зависящие от выбора <tex>f(x)</tex>. Формула {{eqref|2}} называется ''квадратурной формулой''.
@@ Строка 17: / Строка 17: @@
 Задача численного интегрирования при помощи квадратур состоит в отыскании таких узлов <tex>\{x_i\}</tex> и таких весов <tex>\{c_i\}</tex>, чтобы ''погрешность квадратурной формулы''
-<p align="center"><tex>D[f]=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = J_N[f] - J[f]</tex></p>
+<p align="center"><tex>\Psi=\sum_{i=0}^N{c_i f(x_i)} - \int_a^b{f(x)dx} = I_N - I</tex></p>
-была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>D[f]</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
+была минимальной по модулю для функции из заданного класса (величина <tex>\Psi</tex> зависит от гладкости <tex>f(x)</tex>). Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.
-Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,\ldots,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
+Введем на <tex>[a,b]</tex> ''равномерную сетку с шагом <tex>h</tex>'', т.е. множество точек <tex>\omega_h=\{x_i=a+ih, i=0,1,...,N,hN=b-a}</tex>, и представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
 {{ eqno | 3 }}