Вычисление второй производной по одной переменной

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
== Изложение метода ==
== Изложение метода ==
-
При численном дифференцировании функцию <tex>y(x)</tex> аппроксимируют легко вычисляемой функцией <tex>\fi(x;a)</tex> и приближенно полагают <tex>y^{(k)}(x)\approx\fi^{(k)}(x;a)</tex>. При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона
+
При численном дифференцировании функцию <tex>y(x)</tex> аппроксимируют легко вычисляемой функцией <tex>\varphi(x)</tex> и приближенно полагают <tex>y^{(k)}(x)\approx\varphi^{(k)}(x)</tex>. При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона. Вводя обозначение <tex>\xi_i=x-x_i</tex>, запишем это многочлен и продифференцируем его почленно:
 +
 
 +
::<tex>\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2 y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
 +
::<tex>\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
 +
::<tex>\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots</tex>
 +
 
== Числовой пример ==
== Числовой пример ==
== Рекомендации программисту ==
== Рекомендации программисту ==

Версия 17:28, 15 октября 2008

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Допустим, что в некоторой точке x у функции y(x) существует производная 2-го порядка y''(x_0), которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производной функции требуется использовать методы численного дифференцирования.

Изложение метода

При численном дифференцировании функцию y(x) аппроксимируют легко вычисляемой функцией \varphi(x) и приближенно полагают y^{(k)}(x)\approx\varphi^{(k)}(x). При этом можно использовать различные способы аппроксимации. Рассмотрим простейший случай - аппроксимацию интерполяционным многочленом Ньютона. Вводя обозначение \xi_i=x-x_i, запишем это многочлен и продифференцируем его почленно:

\varphi(x)=y(x_0)+\xi_0 y(x_0,x_1)+\xi_0\xi_1 y(x_0,x_1,x_2) + \xi_0\xi_1\xi_2 y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi'(x)=y(x_0,x_1)+(\xi_0+xi_1) y(x_0,x_1,x_2) + (\xi_0\xi_1+\xi_0\xi_2 +\xi_1\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots
\varphi''(x)=2 y(x_0,x_1,x_2) + 2(\xi_0+\xi_1 +\xi_2) y(x_0,x_1,x_2,x_3)+\dots

Числовой пример

Рекомендации программисту

Заключение

Список литературы

  • А.А.Самарский, А.В.Гулин.  Численные методы. Москва «Наука», 1989.
  • Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков.  Численные методы. Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

http://win-web.ru/uchebniki/open/bahvalov_chisl_meth.html

  • Н.Н.Калиткин.  Численные методы. Москва «Наука», 1978.


Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%BE_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B9»
Личные инструменты