Тригонометрическая интерполяция
Материал из MachineLearning.
(→Дискретное преобразование Фурье) |
(→Дискретное преобразование Фурье) |
||
| Строка 17: | Строка 17: | ||
<tex>S_N(x)=\sum_{k=0}^{N-1}a_k exp{2 \pi ikx}</tex> | <tex>S_N(x)=\sum_{k=0}^{N-1}a_k exp{2 \pi ikx}</tex> | ||
| - | Система функций <tex>\phi (x)=2\pi kx, 0\le k <N</tex> является ортогональной, на множестве точек <tex>x_j=j/N, 0\le j<N </tex> при том что <tex>(\phi_k,\phi_k)=N</tex> | + | Система функций <tex>\phi (x)=2\pi kx, 0\le k <N</tex> является ортогональной, на множестве точек <tex>x_j=j/N, 0\le j<N </tex> при том что <tex>(\phi_k,\phi_k)=N</tex>, таким образом разложение имеет место и коэффициенты <tex>a_k</tex> представляются в виде: |
| + | |||
| + | <tex>a_k=\frac{1}{N} \sum_{l=0}^{N-1} f(x_l)exp{-2\pi ikx_l}, 0\le k<N</tex> | ||
==Постановка задачи== | ==Постановка задачи== | ||
Версия 20:15, 17 октября 2008
Содержание |
Дискретное преобразование Фурье
В прикладных задачах часто используются различные преобразования Фурье функций непрерывного аргументся, а также представлений функций с помощью сходящихся тригонометрических рядов.
Всякую непрерывно дифференцируемую фцнкцию можно разложить в ряд Фурье:
коэффициенты находятся по следущим формулам
Но как правила функция задана только в некоторых точках или у нас есть возможность узнать ее значения только в некотором конечном числе точек. Допустим, .В этом случае аналогом функции непрервной интерполяции функции будет дискретный вариант:
Разложение имеет место когда функцию можно приблизить тригонометрическим многочленом следущего вида в заданных нам точках
Система функций является ортогональной, на множестве точек
при том что
, таким образом разложение имеет место и коэффициенты
представляются в виде:
Постановка задачи
Интерполирование функции — приближенное или нахождение точной величины по известным значениям функции в конечном числе точек. В случае тригонометрической интерполяции аппроксимирующая функция ищется в виде
Таким образом, ищется приближение функции тригонометрическими полиномами в смысле Фурье.
Потребность в подобной интерполяции возникает в случае, когда приближаемая функция по своей природе предполагается периодической с известным периодом, например 2π.
