Экстраполяция Ричардсона, оценки по Рунге и Эйткену, вычисление интегралов с заданной точностью
Материал из MachineLearning.
(→Изложение метода) |
(орфография, категория) |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
:<tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)</tex> | :<tex>\int\limits_a^b f(x)\,dx=\sum_{k=0}^n c_k f(x_k)</tex> | ||
- | называется <i>квадратурной формулой</i>, а сумма вида {{eqref|2}} - <i> | + | называется <i>квадратурной формулой</i>, а сумма вида {{eqref|2}} - <i>квадратурной суммой</i>. Точки <tex>x_i</tex> называются <i>узлами квадратурной формулы</i>. |
Разность | Разность | ||
Строка 32: | Строка 32: | ||
Предположим, что для вычисления интеграла {{eqref|1}} отрезок <tex>[a, b]</tex> разбит на <tex>N</tex> равных отрезков длины | Предположим, что для вычисления интеграла {{eqref|1}} отрезок <tex>[a, b]</tex> разбит на <tex>N</tex> равных отрезков длины | ||
- | <tex>h = \frac{b-a}N</tex> и на каждом частичном отрезке применяется одна и та | + | <tex>h = \frac{b-a}N</tex> и на каждом частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная формула. Тогда исходный интеграл <tex>I</tex> |
- | заменяется некоторой квадратурной суммой <tex>I_h</tex>, | + | заменяется некоторой квадратурной суммой <tex>I_h</tex>, причём возникающая погрешность зависит от шага сетки <tex>h</tex>. |
- | Для некоторых квадратурных формул | + | Для некоторых квадратурных формул удаётся получить разложение погрешности <tex>I_h - I</tex> по степеням <tex>h</tex>. Предположим, |
что для данной квадратурной суммы <tex>I_h</tex> существует разложение: | что для данной квадратурной суммы <tex>I_h</tex> существует разложение: | ||
Строка 45: | Строка 45: | ||
:<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex> | :<tex>I(\frac{h}{r}) = I_0 + a_1\,\frac{h^{\alpha _1}}{r^{\alpha 1}} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha 2}} + \ldots</tex> | ||
- | Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, | + | Чтобы избавиться от степени <tex>h^{\alpha _1}</tex>, составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагаемое при <tex>h^{\alpha _1}</tex> является наибольшим), вычислим величину <tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}r) - I(h)</tex>. Имеем: |
:<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex> | :<tex>r^{\alpha _1}\,I(\frac{h}{r}) - I(h) = r^{\alpha _1}\,I_0 - I_0 + a_1 h^{\alpha _1} - a_1 h^{\alpha _1} + a_2\,\frac{h^{\alpha _2}}{r^{\alpha _2 - \alpha _1}} - a_2 h^{\alpha _2} + \ldots</tex> | ||
Строка 99: | Строка 99: | ||
{{stub}} | {{stub}} | ||
[[Категория:Численное интегрирование]] | [[Категория:Численное интегрирование]] | ||
+ | [[Категория:Учебные задачи]] |
Версия 19:53, 19 октября 2008
Содержание |
Введение
Постановка математической задачи
Задача численного интегрирования состоит в приближенном нахождении значения интеграла
где - заданная и интегрируемая на функция. В качестве приближенного значения рассматривается число
где - числовые коэффициенты и - точки отрезка , . Приближенное равенство
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) - квадратурной суммой. Точки называются узлами квадратурной формулы. Разность
называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора коэффициентов.
Изложение метода
Общие сведения
Предположим, что для вычисления интеграла (1) отрезок разбит на равных отрезков длины и на каждом частичном отрезке применяется одна и та же квадратурная формула. Тогда исходный интеграл заменяется некоторой квадратурной суммой , причём возникающая погрешность зависит от шага сетки . Для некоторых квадратурных формул удаётся получить разложение погрешности по степеням . Предположим, что для данной квадратурной суммы существует разложение:
- ,
где и коэффициенты не зависят от . При этом величины предполагаются известными. Теперь предположим:
Чтобы избавиться от степени , составляющей ошибку (ибо среди всех слагаемых, составляющих ошибку, слагаемое при является наибольшим), вычислим величину . Имеем:
Отсюда
то есть имеем более точное приближение к интегралу .
Таким образом, рекуррентную формулу можно записать в виде:
Заметим, что - величина, на которую мы делим размер шага при каждом новом вычислении . Разумно положить , т.к. большие значения могут вызвать резкое увеличение количества вычислений.
Для наглядности представим процесс экстраполирования следующей таблицей: